江蘇海門(mén)市通源小學(xué) 曹曉丹/執(zhí)教

江蘇海門(mén)市能仁小學(xué) 楊慧娟/評(píng)析

【課前慎思】

圓對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是一次思維的飛躍，從學(xué)習(xí)一維的點(diǎn)、線(xiàn)到學(xué)習(xí)二維的面，一直接觸的都曲為直”仍是一個(gè)大挑戰(zhàn)，學(xué)生不知如何轉(zhuǎn)化成他們所熟悉的直線(xiàn)圖形成為本課的一大難點(diǎn)。

曾經(jīng)在課堂上，問(wèn)題一提出是直線(xiàn)圖形。雖然在學(xué)習(xí)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，對(duì)“化曲為直”的思想有所體會(huì)和運(yùn)用，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，用轉(zhuǎn)化的方法實(shí)現(xiàn)圓的“化就有學(xué)生立刻回答道：“平均分成16份，再拼成一個(gè)平行四邊形?！边@種近似標(biāo)準(zhǔn)答案的回答，讓我非常驚嘆。課后調(diào)查得知，這部分學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過(guò)書(shū)本，只是照搬方法而已。如果是這樣，那么課堂上熱鬧的動(dòng)手操作，只是一群操作工的假探究。

如何讓思維真正發(fā)生？站在兒童的立場(chǎng)去思考，去感受他們的困難。面對(duì)學(xué)生們對(duì)于“轉(zhuǎn)化圓”的無(wú)從下手，我努力尋找與圓的面積貼近的生活原型。如果把從外太空拍攝到的地球照片上的邊線(xiàn)看作近似的圓，那么與之對(duì)應(yīng)的地球上拍攝到的地平線(xiàn)部分卻是直的，借助這樣一種曲直關(guān)系，在圓的面積轉(zhuǎn)化中，抽象的“化曲為直”就有了實(shí)物經(jīng)驗(yàn)的支撐，學(xué)生的思維從眼見(jiàn)為實(shí)走向想象探秘。

在想象探秘的過(guò)程中，學(xué)生靜靜地想，慢慢地試，充分地交流合作，運(yùn)用不同方法“無(wú)限分割”，或折或剪拼或拉伸，把圓“化曲為直，化整為零，積零為整，逐漸逼近精確值”，這種內(nèi)隱的思維在操作探索中得以生長(zhǎng)。正所謂：腳不能到達(dá)的地方，眼睛可以到達(dá)，眼睛不能到達(dá)的地方，思想可以到達(dá)。

【教學(xué)過(guò)程及意圖】

一、估計(jì)與猜想

數(shù)學(xué)的世界充滿(mǎn)了神奇與美麗，今天我們來(lái)研究被譽(yù)為最美的幾何圖形——圓的面積。（板書(shū)課題：圓的面積）

學(xué)生觸摸圓的面積，思考圓的面積與什么有關(guān)？

生1：半徑（出示兩條半徑）。

生2：直徑。 生3：周長(zhǎng)。

師：古人研究圓時(shí)得出的經(jīng)驗(yàn)是“圓出于方”，出示正方形。這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是——？根據(jù)這一大一小正方形，你估計(jì)圓的面積大約是多少？（板書(shū)：r2的4倍，r3的3倍）

師：雖然看不出一個(gè)準(zhǔn)確的倍數(shù)關(guān)系，但根據(jù)研究圓周長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)，大膽猜測(cè)圓的面積是半徑平方的多少倍？

周長(zhǎng)是一維空間，與直徑成倍數(shù)關(guān)系，面積是二維空間，與半徑的平方成倍數(shù)關(guān)系，僅利用推導(dǎo)得出圓的面積計(jì)算公式，往往會(huì)忽視圓面積與半徑平方之間的這種關(guān)系。因此，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)“半徑?jīng)Q定圓的大小”出發(fā)，以一大一小兩個(gè)正方形面積為拐杖，幫助學(xué)生估計(jì)圓的面積大小與半徑平方的關(guān)系。雖然沒(méi)有精準(zhǔn)的答案，但這樣一個(gè)大概的范圍引領(lǐng)我們不斷逼近真相。

二、猜想與驗(yàn)證

1.初次嘗試，感受困難

師：這個(gè)大膽的猜想是否正確呢？需要我們細(xì)心求證。在大腦中搜索一下，以前我們研究一個(gè)新圖形的面積時(shí)，用過(guò)什么好方法？

師：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想。把未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，平行四邊形、三角形和梯形都通過(guò)轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出面積計(jì)算公式，但是把圓轉(zhuǎn)化成什么？怎么轉(zhuǎn)化？值得我們思考，在小組里商量一下。

師：先說(shuō)說(shuō)做了哪些嘗試，遇到什么困難？

生1：我們組打算轉(zhuǎn)化成正方形（展示折好的圖形），但是折去的這部分還是不好計(jì)算。

生2：我們打算轉(zhuǎn)化成三角形（展示折好的扇形），但這個(gè)底是彎曲的。

師：以前，我們研究平行四邊形、三角形、梯形時(shí)都很輕松地轉(zhuǎn)化了，為什么圓那么困難呢？

生：因?yàn)閳A的邊是曲的，不好變直。

2.借助原型，激活聯(lián)想

師：這是一個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題，怎樣由曲變直呢？（板書(shū)：曲→直）

來(lái)看一組照片，這是從外太空拍到的地球的照片，看它的邊是什么形狀？這是從地球上拍到的一段地平線(xiàn)，什么形狀？同樣是地球，為什么曲的變直了？

生：因?yàn)槲覀兛吹降倪@段地平線(xiàn)只是圓上的一小部分。

師：的確，圓上足夠小的一段是直的。再看咱們常吃的比薩，四份、八份，找到靈感了嗎？小組里再商量一下。

全班交流轉(zhuǎn)化方法。

生1：我們打算把圓折成很多份的小扇形，這個(gè)扇形會(huì)是近似的三角形。

生2：我們打算把圓平均分后拼成一個(gè)圖形。

3.再次嘗試，尋找聯(lián)系

師：有了想法，我們就來(lái)實(shí)踐。

小組探究要求

（1）小組議——把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的某種平面圖形。

（2）齊動(dòng)手——選擇學(xué)具，動(dòng)手操作。

（3）找聯(lián)系——轉(zhuǎn)化后的圖形與原來(lái)的圓有什么關(guān)系。

“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想在前面面積計(jì)算的研究過(guò)程中已經(jīng)多次體驗(yàn)，通過(guò)回顧方法激活學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。但僅僅激活還不夠，因?yàn)閳A是一個(gè)曲線(xiàn)圖形，與以往研究的直線(xiàn)圖形有很大差別，這給學(xué)生的自主探究帶來(lái)了很大困惑。在困惑之處需要老師適時(shí)地點(diǎn)撥引導(dǎo)，通過(guò)兩張不同位置拍攝的地球照片比較，分比薩餅的經(jīng)驗(yàn)，激活學(xué)生潛在的數(shù)學(xué)記憶，感悟到曲與直的關(guān)系。再借助小組合作，在交流中產(chǎn)生思維的火花，大膽嘗試逐步解決難題。

三、操作與推理

學(xué)生展示轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

生1：我們組把圓平均分成8份，拼成了近似的平行四邊形，只是這個(gè)底邊還有點(diǎn)彎。又把圓平均分成16份，再拼，底邊比剛才直了一點(diǎn)。

追問(wèn)：想要更直怎么辦？請(qǐng)電腦來(lái)幫忙分一分，展示平均分成32份、64份。

回頭看看拼的過(guò)程，分成8份時(shí)，底邊是怎樣的？（用手勢(shì)表示）分成16份時(shí)？分成32份時(shí)？閉上眼睛，想象分成64份、128份，分的份數(shù)越來(lái)越多，分成無(wú)限份，你腦中拼成新圖形的底邊是什么樣的？太神奇了，眼睛到達(dá)不了的地方，思想可以到達(dá)。借助想象，我們化曲為直，把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

師：轉(zhuǎn)化后，形狀變了，什么沒(méi)變？（板書(shū)：長(zhǎng)方形的面積=圓的面積）

轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形和圓還有什么聯(lián)系？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑。

師：如果圓的半徑是r，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)怎樣表示？寬呢？和同桌說(shuō)說(shuō)：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法怎樣計(jì)算圓的面積。（板書(shū)：S=πr2）

交流不一樣的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)方法。

生：把圓紙片對(duì)折4次，得到很小的扇形，如果繼續(xù)對(duì)折，這段弧會(huì)越來(lái)越直，可以看成三角形。

師：用折的方法，把圓轉(zhuǎn)化成n個(gè)三角形。那這一個(gè)小三角形的面積怎么求呢？（板書(shū)：S=2πr÷n×r÷2×n）

總結(jié)：用折成三角形的方法也推導(dǎo)出S=πr2，真是條條大路通羅馬?；仡^再看看我們猜測(cè)圓的面積是半徑平方的π倍，正確嗎？修改為：圓的面積是半徑平方的π倍。

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其探索過(guò)程理性反思的結(jié)果，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最為本質(zhì)的內(nèi)核，怎樣讓學(xué)生感受“分割無(wú)窮多份時(shí)底邊就直了”這樣的極限思想呢？為了讓底邊更直，學(xué)生想盡辦法折、剪、拼。在學(xué)生操作遇到困難，不能繼續(xù)折下去和拼下去的窘境中，進(jìn)行分析推理和無(wú)限想象，這種內(nèi)隱的思維可以走得更遠(yuǎn)，再輔助以手勢(shì)，從無(wú)形到有形，讓學(xué)生用想象的翅膀觸摸極限思想的神奇。

四、實(shí)踐與應(yīng)用

讓我們走進(jìn)生活來(lái)看看圓面積的應(yīng)用。

1.出示例9

指出：先算5的平方。為了計(jì)算方便，還可以這樣算，π不取近似值，直接用字母π參與運(yùn)算。

2.出示圓形桌面

口答圓桌的面積，為了方便夾菜，在中間加了一個(gè)玻璃圓盤(pán)，這個(gè)圓盤(pán)的面積是多少？同樣是求圓的面積，解決問(wèn)題時(shí)有什么不一樣的地方？

總結(jié)：求圓的面積一般要知道它的半徑。

3.變式練習(xí)

圖中正方形的面積為25cm2，圓的面積是多少平方厘米？

本片段分層練習(xí)，一是解決生活中圓的面積計(jì)算，感知圓的面積計(jì)算公式的價(jià)值，二是在變式練習(xí)中體會(huì)圓的面積與半徑平方的關(guān)系，打破一定得知道半徑才能求圓的面積的思維定式。

五、學(xué)習(xí)回顧

千金難買(mǎi)回頭看，回顧今天的學(xué)習(xí)，我們是怎樣得出圓的面積計(jì)算公式的？圓面積的研究過(guò)程與平行四邊形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？關(guān)于圓面積的推導(dǎo)，看看其他同學(xué)還有什么奇思妙想，來(lái)看一段微視頻。（介紹沿半徑剪開(kāi)，再拉直轉(zhuǎn)化成三角形的推導(dǎo)方法）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。在交流收獲的時(shí)候注重解決問(wèn)題思想方法的回顧，讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

【評(píng)析】

“靜靜地想,慢慢地試”是曹曉丹老師《圓的面積》一課的設(shè)計(jì)理念，她是這么想的也是這么做的，是曹老師的課堂留給大家的真實(shí)感受，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上的落地生根。在她的課堂上，我們看到的是直抵學(xué)生內(nèi)心的活動(dòng)、思維，不急不躁、不慌不忙，無(wú)論是操作、思考還是表達(dá)，沒(méi)有趕場(chǎng)沒(méi)有表演，給足時(shí)間，真操作、真思考、真辨析，數(shù)學(xué)思維步步展開(kāi)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)漸漸形成、數(shù)學(xué)智慧悄悄生長(zhǎng)。

一、經(jīng)歷探究過(guò)程，直抵思維內(nèi)核

課始，曹老師讓學(xué)生猜想“圓的面積會(huì)和什么有關(guān)”，當(dāng)學(xué)生漫無(wú)目的地瞎猜時(shí)，教師引入古語(yǔ)“圓出于方”，從而讓學(xué)生的思維之路慢慢調(diào)整到正確的方向上來(lái)，然后結(jié)合著大、小正方形進(jìn)行估計(jì)，從而得出圓的面積，這時(shí)的估計(jì)已經(jīng)方向明確。接著，“圓的面積與半徑有什么關(guān)系”“怎樣把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形”“如何根據(jù)轉(zhuǎn)化后圖形與圓的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式”三個(gè)緊密聯(lián)系又環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的探究熱情，思維在問(wèn)題鏈中深入淺出。整個(gè)過(guò)程都是以學(xué)生為主體，教師在充分尊重學(xué)生思維發(fā)展的過(guò)程中，適時(shí)加以引導(dǎo)、點(diǎn)撥，使學(xué)生學(xué)習(xí)的方向始終清晰明確。課中能讓學(xué)生探的盡量讓學(xué)生去探，能讓學(xué)生說(shuō)的盡量讓學(xué)生去說(shuō)。在探究的過(guò)程中，學(xué)生思維活躍，爭(zhēng)相交流，不斷迸發(fā)出創(chuàng)新思維的火花，真正體會(huì)到了數(shù)學(xué)探究的魅力。

“化曲為直”、從有限進(jìn)入無(wú)限等數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重大轉(zhuǎn)折點(diǎn),也是今天學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想隱藏在顯性知識(shí)的“背后”，學(xué)生需要通過(guò)教師的挖掘和親身體驗(yàn)來(lái)感悟。對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的“厚度”，是數(shù)學(xué)知識(shí)上升為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“最后一公里”。

二、開(kāi)放交流空間，直面思維疑點(diǎn)

規(guī)律、公式性教學(xué)總經(jīng)歷這樣的過(guò)程：

具體問(wèn)題具體素材初步的猜想可能的結(jié)論 檢驗(yàn)與改進(jìn) 改進(jìn)了的猜想 證明 結(jié)論

其中“檢驗(yàn)與改進(jìn)”往往被簡(jiǎn)單化，原因可能就是我們總是站在成人的角度觀察引導(dǎo)。在曹老師的課堂上我們欣喜地看到，她從兒童的視角出發(fā)，在動(dòng)手操作之后并不急著交流展示個(gè)別學(xué)生的成功之作，而是關(guān)照更多學(xué)生在動(dòng)手操作思考中的真實(shí)困惑。“先說(shuō)說(shuō)做了哪些嘗試？遇到什么困難？”果不其然，那些沒(méi)有能在第一次操作中如轉(zhuǎn)化平行四邊形、三角形般輕松轉(zhuǎn)化的學(xué)生，對(duì)于如何“化曲為直”有著深深的困惑。韓愈說(shuō)：“師者，傳道授業(yè)解惑也?！边@個(gè)“惑”怎樣解呢？弗賴(lài)登塔爾說(shuō)：“泄露一個(gè)可以由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的秘密，那是‘壞的’教學(xué)法，甚至是罪法?！笨磥?lái)直接告知，是下下策。曹老師出示了一組照片，一幅是從遙遠(yuǎn)的外太空拍到的地球全景照，另一幅是站在地球上拍到的地平線(xiàn)的一小段。無(wú)須多言，學(xué)生在觀察、思辨中感悟到了曲與直的內(nèi)在聯(lián)系。正是不急于求成的心態(tài)，從理解兒童、研究?jī)和霭l(fā)，開(kāi)放交流的空間讓學(xué)生可以暢所欲言，有機(jī)會(huì)真實(shí)地提出自己的困惑，發(fā)表各自的見(jiàn)解，為下面把圓“化整為零，積零為整”做好充分的思維上的準(zhǔn)備。

三、凸顯想象反思，直擊思維品質(zhì)

本課中，教者安排了小組探究，通過(guò)“小組議、齊動(dòng)手、找聯(lián)系”等環(huán)節(jié)，激活學(xué)生的探究欲望，在交流中共享共進(jìn)，正是動(dòng)手之后的動(dòng)腦，敞亮內(nèi)隱的認(rèn)識(shí)，明晰外顯的操作行為。隨后組織小組展示，選取不同種類(lèi)的轉(zhuǎn)化方法，從“眼見(jiàn)”到“想象”，從無(wú)形到有形，極限思想從“實(shí)物—圖像—想象—比畫(huà)”的軌跡中愈發(fā)清爽和明亮。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)：“你能不能觀察到眼前的現(xiàn)象，不僅僅取決于你的肉眼，還取決于你用什么樣的思維，思維決定你到底能觀察到什么。”

千金難買(mǎi)回頭看，一堂課下來(lái)，我們究竟學(xué)了什么？“我們是怎樣得出圓的面積計(jì)算公式的？圓面積的研究過(guò)程與平行四邊形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？”三個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生回顧的不僅是知識(shí)，還有方法、思想。重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思，提高反思的意識(shí)和水平，形成長(zhǎng)時(shí)間思考的習(xí)慣。因?yàn)閿?shù)學(xué)不是單純的工具，而是關(guān)系到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別是人類(lèi)理性精神的發(fā)展。

鄭毓信教授說(shuō)：“通過(guò)數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，即將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來(lái)?！薄坝盟季S方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)?！笨梢?jiàn)，思維是數(shù)學(xué)能力之 “核”，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之魂。我們看到的是，曹老師的課堂上心里裝著學(xué)生，她正努力帶著學(xué)生“靜靜地想,慢慢地試”，讓學(xué)生的思維不斷地沉潛、沉潛、再沉潛。