陳應(yīng)舒，朱淳逸

1 引言

柔性鉸鏈?zhǔn)侨犴槞C(jī)構(gòu)中重要的組成部分。隨著柔順機(jī)構(gòu)的在微精密機(jī)械、光學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的快速普及使得對(duì)柔性鉸鏈的研究逐漸引起了國(guó)內(nèi)外眾多研究人員的重視。近十幾年來(lái)人們對(duì)柔性鉸鏈的研究逐漸細(xì)化，各種形狀各異的柔性鉸鏈被提出與研究。目前，對(duì)直梁型柔性鉸鏈的研究最為透徹，不論是文獻(xiàn)[1]所提到的深切口橢圓柔性鉸鏈，文獻(xiàn)[2]中的圓弧形柔性球鉸，還是文獻(xiàn)[3]中所提及的單邊型柔性鉸鏈。從本質(zhì)來(lái)看，這些均為等截面或變截面的直梁。國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)對(duì)于直梁柔性鉸鏈的分析研究方法也已經(jīng)相當(dāng)完備。對(duì)直梁柔性鉸鏈的應(yīng)用也是做了大量研究，如文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種基于柔性鉸鏈的微位移放大機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)并分析了一種三自由度的精密定位平臺(tái)等等。

考慮到設(shè)計(jì)要求與工作場(chǎng)合等實(shí)際情況，單純使用直梁柔性鉸鏈作為鉸鏈單元所組成的柔順機(jī)構(gòu)可能并不能滿足某些工作需要。而曲梁柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝糟q鏈作為梁彎曲的中性面在自然狀態(tài)之下呈現(xiàn)曲面的一類柔性鉸鏈，能夠?yàn)樨S富柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)思路，對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供一些構(gòu)型上的補(bǔ)充。近年來(lái)，也有相當(dāng)一部分文獻(xiàn)對(duì)曲梁柔性鉸鏈的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[6-8]使用橢圓積分法對(duì)大變形狀態(tài)下的曲簧片進(jìn)行了力學(xué)分析；文獻(xiàn)[9]對(duì)曲梁三角柔性鉸鏈進(jìn)行了力學(xué)建模與分析；文獻(xiàn)[10]對(duì)鐵摩辛柯梁理論變形下的曲梁柔性單元平面外彎曲與扭轉(zhuǎn)鎖定現(xiàn)象進(jìn)行了分析等等。研究了等截面圓弧曲梁柔性鉸鏈，基于線彈性與小變形理論以及歐拉伯努利梁理論，利用卡氏第二定理給出了圓弧曲梁柔性鉸鏈的柔度矩陣公式，并選取了合適幾何點(diǎn)給出了精度公式。并使用有限元分析軟件ANSYS14.0對(duì)柔度公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)建立了一種應(yīng)用曲梁柔性鉸鏈的多環(huán)平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)模型，該平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)區(qū)別于其他平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的地方在于其可以水平和豎直兩個(gè)方向上進(jìn)行導(dǎo)向，該機(jī)構(gòu)可以應(yīng)用于某些精密測(cè)量裝置中完成對(duì)正交物理量的測(cè)量。

2 曲梁柔性鉸鏈

直梁柔性鉸鏈，如圖1所示。常見的有直梁型、圓弧形、單邊型等幾種類型。

圖1 三種常見的柔性鉸鏈Fig.1 Three Common Kinds of Flexure Hinge

其共同特點(diǎn)為中性面為平面。而曲梁柔性鉸鏈，如圖2所示。

圖2 曲梁柔性鉸鏈Fig.2 Curve Beam Flexure Hinge

由圖可知，曲梁柔性鉸鏈的中性面為曲面。由于一般的曲梁柔性鉸鏈的彎曲變形在理論計(jì)算的復(fù)雜性，只選擇最簡(jiǎn)單的圓弧曲梁給出其柔度矩陣公式。

2.1 圓弧曲梁柔度矩陣公式推算

圖3 圓弧曲梁鉸鏈參數(shù)模型Fig.3 Parameter Model of Circular Arc Curve Beam Hinge

圓弧曲梁詳細(xì)的參數(shù)模型，如圖3所示。為曲梁在任意徑向截面下的慣性矩，A=（b-a）l是曲梁任意徑向截面的面積。E為彈性模量。

2.2 曲梁柔性鉸鏈的精度

柔性鉸鏈的精度是除柔度之外重要的參數(shù)，柔性鉸鏈的精度在一定程度上決定了整個(gè)機(jī)構(gòu)的精度。對(duì)于直梁柔性鉸鏈，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在計(jì)算鉸鏈精度時(shí)普遍采用柔性鉸鏈幾何對(duì)稱中心的位移來(lái)表示柔性鉸鏈的精度。而精度模型隨著選取的計(jì)算量的不同而不同。采用曲梁圓弧弧線中點(diǎn)處的柔度矩陣表示其精度，如圖4所示。

圖4 假想力示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Fictitious Force

在A點(diǎn)位置的施加一對(duì)垂直的假想力Fr、Fθ以及一個(gè)假想力矩MA，力Fr是指向弧線曲率中心的徑向力，F(xiàn)θ則是與弧線相切的切向力，對(duì)此應(yīng)用卡氏第二定理可得：

3 有限元驗(yàn)證及性能分析

使用比較常用的45Mn鋼作為柔性鉸鏈的驗(yàn)證材料，此時(shí)E=200GPa。分別取 A：a=2mm，b=3mm，l=8mm；B：a=2mm，b=4mm，l=8mm；C：a=3mm，b=3.5mm，l=8mm；三組作為驗(yàn)證對(duì)象，分別將此三組數(shù)據(jù)帶入理論公式計(jì)算和ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行有限元分析。運(yùn)用ANSYS進(jìn)行有限元分析時(shí)在WORKBENCH里建立兩條路徑（Path1，Path2），如圖 5所示。

圖5 有限元分析圖Fig.5 The Finite Element Analysis

利用近似計(jì)算公式θ=tanθ計(jì)算Path1的轉(zhuǎn)角作為曲梁柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角，并將Path2在x、y軸方向上的位移作為曲梁柔性鉸鏈分別在x、y軸方向上的位移。將理論公式計(jì)算結(jié)果和有限元分析對(duì)比結(jié)果列在表1中。由表1以可知：B組理論計(jì)算數(shù)據(jù)與有限元得到的數(shù)據(jù)相差較遠(yuǎn)，其根本原因是上述柔度計(jì)算公式是在忽略了剪力對(duì)變形造成的影響的條件下導(dǎo)出的，因此對(duì)于比較薄的梁結(jié)構(gòu)柔性鉸鏈，工程實(shí)踐證明，大多數(shù)情況下都可以不考慮建立對(duì)變形的影響，因此針對(duì)薄臂長(zhǎng)粱應(yīng)用上述伯努利梁理論模型，能夠得到較為精確地結(jié)果。而對(duì)于厚臂短梁結(jié)構(gòu)柔性鉸鏈，由于剪力對(duì)變形的影響比較大，大多數(shù)情況下，建立的影響不能被忽略，其分析計(jì)算已超出了上述公式的實(shí)用范圍，因而不建議適用上面推導(dǎo)的理論公式進(jìn)行分析計(jì)算。由以上柔度公式進(jìn)一步分析可知：柔度公式的各個(gè)分量在形式上具有相似性，而柔度分量的大小主要與曲梁中性面的半徑R，梁的厚度b-a，梁的跨度l有關(guān)系。

表1 理論解與有限元解結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of Compliances Between Theoretical Results and Finite Element Analysis Results

4 曲梁柔性機(jī)構(gòu)的應(yīng)用舉例

曲梁柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)尺寸與角度相比直梁柔性鉸鏈更加豐富，從而在柔性機(jī)構(gòu)的某些結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)應(yīng)用上更加豐富與方便。應(yīng)用了曲梁柔性鉸鏈的任意類型的四桿以及五桿機(jī)構(gòu)，如圖6所示。

圖6 由曲梁柔性鉸鏈所組成的機(jī)構(gòu)Fig.6 Mechanism Made by Curve Beam Flexure Hinge

這些四桿機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)更多單純使用直梁柔性鉸鏈設(shè)計(jì)的柔順機(jī)構(gòu)所不能完成的任務(wù)。而圖7所設(shè)計(jì)的多環(huán)平行柔順機(jī)構(gòu)能夠體現(xiàn)出曲梁相對(duì)于直梁在功能上的優(yōu)越性。

圖7 多環(huán)平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)Fig.7 Parallel Guiding Mechanism with Multiple Links

該機(jī)構(gòu)左邊下方第一個(gè)桿件為固定桿。而在圖示位置安裝有兩個(gè)與平行機(jī)構(gòu)，如圖7所示。

圖8 水平力作用下的機(jī)構(gòu)變形Fig.8 Mechanism Deformation Acted by Horizontal Force Fx

桿件緊密貼合的擋板，在自然狀態(tài)下?lián)醢迮c桿件沒有相互作用力。兩個(gè)擋板分別限制了與其：貼合的桿件的水平向左方向和豎直向下方向的運(yùn)動(dòng)，該機(jī)構(gòu)在分別受到水平向右的作用力以及豎直向上的作用力時(shí)可以依靠曲梁柔性鉸鏈的變形來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)垂直方向上的平行導(dǎo)向功能。受水平力作用時(shí)變形圖，如圖8所示。其中紅色虛線部分為機(jī)構(gòu)變形后的形狀。當(dāng)其受到豎直方向向上的作用力作用時(shí)，機(jī)構(gòu)的變形情況，如圖9所示。紅色虛線部分為變形后的輪廓。由圖8、圖9的變形情況來(lái)看文章所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)在水平方向的整體柔度與豎直方向上的整體柔度并不相同，但均可實(shí)現(xiàn)平行導(dǎo)向的功能。這一功能特點(diǎn)單純應(yīng)用直梁柔性鉸鏈無(wú)法完成。該機(jī)構(gòu)如果附加轉(zhuǎn)動(dòng)裝置則可可以應(yīng)用到某些精密檢測(cè)裝置或者精密儀器之中，完成對(duì)任意正交方向物理量的檢測(cè)。

圖9 豎直力作用下的機(jī)構(gòu)變形Fig.9 Mechanism Deformation Acted by Vertical Force Fy

在UG中設(shè)計(jì)建立了上述平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)以及固定底座的模型，如圖10所示。

上述平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)長(zhǎng)度為10cm，寬度6cm，厚度為2cm。鉸鏈厚度為1mm，內(nèi)圓弧半徑為3mm。將兩個(gè)部件裝配之后進(jìn)行有限元分析，其分析結(jié)果，如圖11所示。從縫隙結(jié)果可以看出，該機(jī)構(gòu)可以滿足雙向平行導(dǎo)向的作用。

圖11 平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的有限元分析Fig.11 FEA of Parallel Guide Mechanism

5 結(jié)論

基于線彈性和小變形以及歐拉伯努利梁理論，研究了等截面圓弧曲梁柔性鉸鏈，運(yùn)用卡氏第二定理給出了該柔性鉸鏈的柔度矩陣公式以及精度公式。使用ANSYS進(jìn)行了驗(yàn)證，有限元分析結(jié)果與理論值相比較表明，所推導(dǎo)的柔度公式在長(zhǎng)而薄的梁鉸鏈上運(yùn)用足夠精確；而對(duì)于短而厚的梁鉸鏈，由于超出了本公式的使用范圍，若勉強(qiáng)使用，則必然會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，因此不建議使用所導(dǎo)出的公式對(duì)短而厚的梁鉸鏈進(jìn)行分析計(jì)算。

所設(shè)計(jì)建立的應(yīng)用曲梁柔性鉸鏈的多環(huán)平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)模型有別于其他平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的地方在于該機(jī)構(gòu)由兩個(gè)四桿機(jī)構(gòu)使用一個(gè)公共桿件并聯(lián)而成，其力學(xué)模型可以等效為長(zhǎng)而薄的梁鉸鏈結(jié)構(gòu)。對(duì)該機(jī)構(gòu)所進(jìn)行的有限元分析結(jié)果表明：該機(jī)構(gòu)既能夠?qū)崿F(xiàn)在水平方向上的平行導(dǎo)向又能夠?qū)崿F(xiàn)豎直方向上的平行導(dǎo)向。該機(jī)構(gòu)如果附加轉(zhuǎn)動(dòng)裝置則可實(shí)現(xiàn)任意正交方向上的平行導(dǎo)向功能。實(shí)驗(yàn)證明，利用所導(dǎo)出的公式進(jìn)行分析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的導(dǎo)向結(jié)果，其導(dǎo)能力及導(dǎo)向精度其導(dǎo)向精度基本吻合。