于春蕾， 冀浩杰， 孟忠良,3， 盧紀麗， 徐 偉， C.Chiu

(1.棗莊學院 機電工程學院，山東 棗莊 277160；2.北京航空航天大學 電子信息工程學院， 北京 100191； 3.山東大學 海洋研究院，山東 青島 266237)

曲梁結構的結構形式多種多樣，常見的結構主要包括圓弧曲梁、橢圓曲梁、拋物曲梁和雙曲曲梁等。曲梁結構以其形狀易改變、力學性能優(yōu)良、承載能力強等一系列優(yōu)點，在復雜管路建模方面能夠很好的對彎曲管路進行曲梁結構等效并進行動態(tài)分析，例如：對航空器中的輸油管路、液壓管路[1]等。此外，曲梁結構還廣泛地應用于建筑、橋梁、機械、船舶等領域。其中，曲梁結構的振動行為不僅影響自身承載能力和穩(wěn)定性，同時其直接影響與其相連結構的動力學特性。因此，開展曲梁結構的振動特性研究，為其結構設計和優(yōu)化提供理論基礎和技術支持具有十分重要的意義。

葉康生等[2-3]基于p型超收斂算法研究了Timoshenko曲梁和Euler曲梁結構的自由振動特性。武蘭河等[4-5]采用微分容積法和空間迭代法研究了圓弧梁面內的振動特性。葉康生等[6]采用動力剛度法研究了平面曲梁的面外自由振動特性。許杠[7]基于求積元法推導了曲梁結構的剛度矩陣，研究了曲梁結構的非線性動力學特性。趙翔等[8]運用格林函數建立Timoshenko曲梁的振動方程并對其進行了強迫振動分析。孫廣俊等[9]采用微分求積法研究了單跨圓形、回旋緩和曲線梁的固有振動特性，同時研究了邊界條件、剛度比和翹曲系數對其振動頻率的影響。陳明飛等[10]基于一階剪切變形理論和等幾何有限元法建立了任意曲率功能梯度曲梁的分析模型，并對其自由振動特性開展了參數化研究。張建書等[11]基于浮動框架有限元法和哈密爾頓原理建立了空間大運動曲梁的動力學模型，研究了應力剛化效應對其動力學特性的影響規(guī)律。

Corrêa等[12]采用廣義有限元法研究了薄壁和厚壁彎曲梁模型的自由振動特性。Jockovic等[13]采用等幾何法研究了伯努利-歐拉曲線梁和瑞利曲線梁的自由振動特性。Luu等[14]基于剪切變形理論建立了橢圓曲梁等的幾何模型，同時研究了幾何參數對其非線性屈曲和后屈曲行為的影響。Lee等[15-16]基于Timoshenko梁理論，采用龍格庫塔法和行列式搜索等方法研究了彈性地基下非規(guī)則曲梁(橢圓、正弦和拋物曲梁)的彎曲和扭轉振動特性。Chen等[17]采用等幾何法建立了功能梯度壓電彎曲梁的動力學模型，同時就其結構參數對功能梯度壓電彎曲梁的振動特性和瞬態(tài)響應的影響進行了研究。Beg等[18]基于有效分層理論，采用哈密爾頓方法系統(tǒng)地研究了功能梯度深曲梁的動力學特性。Ye等[19]提出了一種精確的光譜采樣表面方法，研究了變曲率彎曲梁結構的振動特性?？紤]剪切變形和轉動慣量的影響，Tseng等[20]基于Timoshenko曲梁理論研究了變曲率復合材料層合梁的自由振動特性。

此外，在工程應用中結構經常處于彈性支撐或半剛性連接(螺栓連接)中。當結構處于復雜工作環(huán)境下，邊界條件可能會產生變化，例如：螺栓連接中螺栓的松動。因此，彈性邊界引起了研究人員廣泛的關注。Ye等[21]基于廣義哈密爾頓原理和諧波平衡法研究了曲梁在非線性邊界下的非線性振動特性。Su等[22]采用改進變分法建立了彈性邊界條件下功能梯度多孔壓電曲梁的動力學模型，研究了其振動特性。Sun等[23]提出彈性邊界下具有大曲率梁的數學模型，并研究了其渦激振動和渦激發(fā)散響應。

綜上所述，現有研究多采用等幾何法和有限元等方法對曲梁結構的振動特性進行分析且其所建模型存在只能求解特定結構的曲梁結構等局限性。鑒于現有研究的不足，本文基于一階剪切變形理論和哈密爾頓原理建立了復雜邊界條件下四種典型曲梁結構的統(tǒng)一動力學分析模型，研究了復雜邊界條件下任意變曲率曲梁結構的自由振動特性和受迫響應。本文建立的曲梁結構模型具有收斂性好、計算效率高和計算精度高等優(yōu)點。本文研究內容主要包括三部分：首先，建立四種典型曲梁結構的統(tǒng)一動力學分析模型并驗證模型的收斂性。然后，與現有文獻結果和有限元軟件ABAQUS仿真結果進行對比分析，驗證所建模型的準確性。最后，開展曲梁結構參數、邊界條件以及脈沖載荷類型對其穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應的影響研究，為曲梁結構的結構設計和優(yōu)化提供理論和技術支持。

1 理論推導

1.1 曲梁結構模型介紹

曲梁結構及其邊界條件示意圖，如圖1所示。選取正交坐標系對曲梁結構進行描述，考慮3個方向的自由度x,y,z。u,v,w分別表示對應于x,y,z3個方向上的位移分量。曲梁的中性面被視作參考平面，其中心線表示曲梁的中心線。為便于描述中心線的變化規(guī)律，選用φ代替x進行描述。h和b分別表示曲梁的厚度和寬度。Rφ表示曲率半徑，當Rφ=∞時，曲梁可以被視作直梁。此外，如圖1所示本文曲梁結構的約束條件采用邊界彈簧進行施加，ku,kw,kφ分別表示邊界彈簧的3個方向的彈簧剛度。

圖1 曲梁結構及邊界條件示意圖Fig.1 Schematic diagram of curved beam structure and boundary condition

為了方便起見，本文假定曲梁均是以中心線為變化特征，僅考慮xz平面內的變形。同時指出，本文主要研究對象包括圓弧、橢圓、拋物和雙曲曲梁四種典型的曲梁結構，其具體結構如圖2所示。

圖2 四種典型曲梁結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of four typical curved beam structures

圓弧曲梁的結構示意圖見圖2(a)。圖2(a)中：φ0和φ1分別為圓弧曲梁的起始和終止角度；R(φ)為曲率半徑，對于圓弧曲梁來說，曲率半徑是一個定值，即R(φ)=R。

橢圓曲梁的結構示意圖見圖2(b)。圖2(b)中：φ0和φ1分別為橢圓曲梁的起始和終止角度；ae和be分別為橢圓的長半軸和短半軸的長度；R(φ)為曲率半徑，其具體表達式如式(1)所示

(1)

拋物曲梁的結構示意圖見圖2(c)。圖2(c)中：φ0和φ1分別為拋物曲梁的起始和終止角度，其表達式如下所示；L為拋物曲梁沿x軸方向的長度；R0和R1分別為拋物曲梁起始和終止點的半徑；R(φ) 為曲率半徑，其具體表達式如式(2)所示

(2)

式中，k為拋物線曲率的特征參數。

雙曲曲梁的結構示意圖見圖2(d)。圖2(d)中：φ0和φ1分別為雙曲曲梁的起始和終止角度，其表達式如下所示；R0和R1分別為雙曲曲梁起始和終止點的半徑；L0和L1分別為雙曲曲梁起始和終止點到坐標原點的距離；L為雙曲曲梁沿x軸方向的長度；Rs為旋轉軸x′到幾何軸x之間的垂直距離；ah為雙曲線半橫軸的長度；Rs為雙曲曲梁的曲率半徑，其具體表達式如式(3)所示

(3)

式中，bh為雙曲線共軛半軸的長度。

1.2 曲梁結構模型建立

根據一階剪切變形梁理論，曲梁上任意一點的位移函數可以寫成

U(φ,y,z,t)=u(φ,y,t)+zψφ(φ,y,t),
W(φ,y,z,t)=w(φ,y,t)

(4)

式中：U和W分別為曲梁上任意一點沿φ和z方向的位移分量；u和w分別為曲梁中性面上相應點的位移分量；ψφ為φ軸法線方向繞曲梁中性面的旋轉分量。

根據曲梁結構應變與位移之間的線性關系，曲梁結構的應變可以寫成

(5)

(6)

根據一階剪切變形梁理論，曲梁的本構方程可以寫成

σ=Aε,

(7a)

(7b)

式中：σ為應力向量；N為由面內應力、彎曲和扭轉組成的應力向量；Nφ，Ny和Nφy為面內應力；My為彎矩；Mφy為扭矩；ε為由中性面上應變和曲率組成應變向量；κ為剪切變形因子，一般取值為5/6；A為應變與應力之間的變換矩陣，A矩陣中Aij，Bij和Cij(i,j=1, 2, 6)的具體表達式為

(8a)

(8b)

(9a)

(9b)

根據能量原理，曲梁結構的應變能可以定義為

(10)

同理，曲梁結構的動能可以定義為

(11)

式中：“·”為對時間t求一階導數；ρ為曲梁結構的密度。同時指出，在研究曲梁結構的受迫振動時，應該考慮由外載荷引起的勢能，其具體表達式為

(12)

式中，fu，fw和ψφ分別為外載荷力和力矩。由上所述，本文選用邊界彈簧來模擬曲梁結構的邊界條件，所以必須考慮邊界彈簧的勢能，具體表達式為

(13)

式中：kLu,kLw和kLφ為曲梁結構左側邊界彈簧的彈簧剛度；kRu,kRw和kRφ為曲梁結構右側邊界彈簧的彈簧剛度。

綜上所述，本節(jié)已經給出了曲梁結構的應變能、動能、外力勢能和邊界彈簧勢能的表達式。根據哈密爾頓原理，拉格朗日函數Π的表達式為

Π=U-T+W+Ub

(14)

1.3 曲梁結構模型求解

為了便于對上述模型進行求解，提高收斂速度，本文選取切比雪夫多項式和傅里葉級數來描述曲梁結構的位移容許函數，其具體表達式為

(15)

式中：u為曲梁位移分量組成的列向量；Um為與位移分量相對應的假定位移系數組成的列向量；ω為角頻率；t為時間變量；M為位移容許函數的最高階次(截斷數)；Pm(φ) 為關于位移分量的第m階切比雪夫多項式，其具體表達式為

P0(φ)=1，P1(φ)=φ

(16a)

Pt(φ)=2φPt(φ)-Pt-1(φ)，2≤t≤M

(16b)

通過使用Ritz方法，可以得到

(17)

進而得到了曲梁結構的質量矩陣和剛度矩陣

(18a)

(18b)

通過添加外部載荷后可以得到曲梁結構的特征方程，具體表達式為

(19)

式中：q為廣義位移列向量；M和K分別為曲梁結構的質量矩陣和剛度矩陣；Kb為由邊界彈簧引起的剛度矩陣；F為外載荷矩陣。假定曲梁做諧波運動，在不考慮外載荷的情況下，曲梁的特征方程將變換成

(20a)

(20b)

通過式(19)和式(20)可以求解曲梁結構的自由振動和受迫響應(穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應)。為了便于直觀描述本文模型的求解過程，本節(jié)給出了曲梁結構振動特性求解的流程圖，如圖3所示。

圖3 模型求解流程圖Fig.3 Flow chart of model solving

2 算例分析

2.1 模型收斂性驗證

曲梁結構的收斂性驗證主要包括2個方面：一方面是關于截斷數的收斂性驗證；另一方面是關于邊界彈簧剛度的收斂性驗證。前者是為了確定模型求解的最佳截斷數，后者是為了確定模型求解的最佳邊界彈簧剛度，具體求解結果如圖4和圖5所示。本文所用曲梁結構的幾何參數為：圓弧曲梁——B=h=0.1 m,L=1 m,φ0=-π/3,φ1=π/3,R=L/(φ1-φ2)；橢圓曲梁——B=h=0.1 m,ae=1 m,be=0.5 m,φ0=-π/2,φ1=π/2；拋物曲梁——B=h=0.06 m,R0=1 m,R1=2 m,L=1.5 m；雙曲曲梁——R0=R1=0.5 m,Rs=4 m,ah=3 m,L0=1 m,L1=1 m,L=2 m,B=h=L/25。曲梁結構的材料參數為：E=70 GPa,ρ=2 702 kg/m3,v=0.3。曲梁結構的邊界條件為自由邊界。

從圖4可以看出，四種典型曲梁結構的一階無量綱頻率隨著截斷數的增加均趨向于某一定值。上述模型結果趨于定值現象說明模型結果已經收斂。為了保證模型收斂的速度和求解精度，本文選取模型截斷數M為8。同時指出，無量綱頻率Ω的表達式為

圖4 曲梁結構的無量綱頻率隨截斷數的變化規(guī)律Fig.4 Variation of dimensionless frequency of curved beam structure with truncation number

(21)

式中：f為曲梁結構的頻率；L為曲梁的長度，對于橢圓曲梁來說，其長度為ae。

從圖5可以看出，曲梁結構的一階無量綱頻率隨著邊界彈簧剛度的增加呈現出先保持不變，緊接著增加，后保持不變的變化趨勢。上述現象表明當邊界彈簧剛度增加到1014時，模型結果已經收斂。根據上述變化規(guī)律，可以確定曲梁結構在施加相應邊界條件下的彈簧剛度取值。曲梁結構邊界條件的定義如下所示：自由邊界F-F(ku=kw=kφ=0)；固支邊界C-C(ku=kw=kφ=1014)；簡支邊界S-S(kw=1014,ku=kφ=0)；彈性邊界E1-E1(ku=108,kw=kφ=1014),E2-E2(kw=108,ku=kφ=1014),E3-E3(kφ=108,ku=kw=1014),E4-E4(kw=ku=kφ=108)。

圖5 曲梁結構的無量綱頻率隨邊界彈簧剛度的變化規(guī)律Fig.5 Variation of dimensionless frequency of curved beam structure with boundary spring stiffness

綜上所述，本文所建曲梁結構模型具有良好的收斂性。此外，通過上述分析確定了模型求解過程中截斷數和邊界彈簧剛度的取值。

2.2 模型準確性驗證

基于上述對曲梁結構模型收斂性的驗證，本節(jié)對其準確性進行驗證。模型準確性驗證分為固有頻率驗證、穩(wěn)態(tài)響應驗證、瞬態(tài)響應驗證3個部分。模型準確性驗證的具體措施是將本文模型求解結果與現有文獻結果和有限元軟件ABAQUS分析結果進行對比。模型固有頻率的驗證結果如表1所示，其曲梁模型的結構參數與圖4曲梁結構相同。

表1 曲梁結構模型的固有頻率對比驗證Tab.1 Comparison and verification of natural frequencies of curved beam structure model

從表1可以看出，本文模型在不同邊界條件下求解得到一階固有頻率與已有文獻和有限元軟件ABAQUS中相應的計算結果具有較好的一致性，其中有限元方法采用的是ABAQUS中的殼單元，因為殼單元和本文所提出的梁單元都忽略了厚度的影響，所以這兩類方法具有很好的一致性。單元數徑向劃分為85個單元，軸向劃分為2個單元，單元總數為85×2。通過對比可以說明本文模型求解曲梁結構自由振動特性的準確性、穩(wěn)定性和通用性。

曲梁結構模型的穩(wěn)態(tài)響應對比結果，如圖6所示。在模型穩(wěn)態(tài)響應驗證之前，首先對模型的幾何參數、載荷大小以及施加位置進行說明。圓弧曲梁：B=h=0.1 m,L=1 m,φ0=π/6,φ1=5·π/6,R=L/(φ1-φ2)；載荷的施加位置[R·cos(π/3), 0.5,R·sin(π/3)]；載荷大小(0,0,-1); 測點位置(0,0.5,R)；掃頻范圍200～1 600 Hz。橢圓曲梁：B=h=0.1 m,ae=2 m,be=1 m,φ0=-π/2,φ1=π/2；載荷的施加位置(0,0.5,1)；載荷大小(0,0,-1); 測點位置(0,0.5,1)；掃頻范圍200～1 200 Hz。拋物曲梁：B=h=0.1 m,R0=1 m,R1=2 m,L=2 m；載荷的施加位置(1, 0.5, 0.707 1)；載荷大小(0.447 ,-0.894 ,0)；測點位置(0.5, 0.5, 0.5)；掃頻范圍200～1 000 Hz。雙曲曲梁：R0=R1=0.5 m,Rs=4 m,ah=3 m,L0=1 m,L1=1 m,L=2 m,B=h=0.1 m；載荷的施加位置(0, 0.5, 1)；載荷大小(0, 0.5, -1)；測點位置(0, 0.5, -1)；掃頻范圍200～1 600 Hz。掃頻間距均為1 Hz。曲梁模型的材料參數與圖4曲梁模型定義相同，曲梁模型邊界條件是均為固支邊界。

圖6 曲梁結構穩(wěn)態(tài)響應的對比結果Fig.6 Comparison results of steady-state response of curved beam structure

從圖6可以看出，本文曲梁結構模型求解的穩(wěn)態(tài)響應結果與有限元模型預測結果具有較好的一致性。對于拋物曲梁結構，其在高頻段的穩(wěn)態(tài)響應結果與有限元結果存在明顯誤差，但兩者的變化趨勢基本一致。分析上述現象，其主要原因為拋物曲梁結構的具有幾何不對稱的特性，在有限元模擬中可能會因其結構的復雜性產生仿真誤差，但誤差在可接受的范圍內。同時指出，圖6中的位移響應是根據實際位移結果換算得到的，具體換算公式為

X=lg[abs(x)]

(22)

式中：x為實際位移響應的計算結果；X為換算后的位移響應結果。

曲梁結構模型的瞬態(tài)響應對比結果，如圖7所示。曲梁模型的結構參數與圖6曲梁模型的參數相同，脈沖載荷的類型為矩形脈沖載荷。對于不同類型的曲梁結構，施加脈沖載荷的時間不同，但其時間步長相同且均為200。

從圖7可以看出，本文曲梁結構模型求解的瞬態(tài)響應結果與有限元模型的預測結果吻合較好。但對于拋物曲梁，其瞬態(tài)響應求解結果與有限元分析結果存在明顯誤差，產生上述誤差的原因與拋物曲梁穩(wěn)態(tài)響應出現的誤差原因相同。

圖7 曲梁結構瞬態(tài)響應的對比結果Fig.7 Comparison results of transient response of curved beam structure

綜上所述，本文所建曲梁結構統(tǒng)一動力學模型可實現對不同類型曲梁結構的振動特性(自由振動、穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應)進行有效預測。

2.3 模型參數化研究

由上所述，本文對已建立的曲梁結構模型進行了收斂性和準確性驗證。驗證結果表明，本文所建曲梁結構統(tǒng)一動力學分析模型具有較好的收斂性，同時其可實現對復雜邊界條件下不同類型曲梁結構模型振動特性的快速高精度求解?；诒疚乃ㄇ航Y構模型，本節(jié)開展曲梁幾何參數、邊界條件以及脈沖載荷類型對穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響影響的研究，為工程應用中曲梁結構的設計和優(yōu)化提供理論基礎和技術支持。

曲梁結構幾何參數對其穩(wěn)態(tài)響應的影響，如圖8所示。除了曲梁結構厚度h以外，曲梁結構模型的模型參數與圖6所用的模型參數相同。

圖8 曲梁結構穩(wěn)態(tài)響應隨結構厚度的變化規(guī)律Fig.8 Variation of steady-state response of curved beam structure with structural thickness

從圖8可以看出，曲梁結構位移響應水平的變化規(guī)律為：①曲梁結構位移響應水平隨著曲梁厚度的增加而明顯降低；②曲梁結構位移響應峰值隨著曲梁厚度的增加向高頻段移動；③曲梁位移響應峰值的數量隨著曲梁厚度的增加而減少。分析結果表明，增加曲梁厚度將使曲梁結構的共振頻率向高頻方向移動，有效提高其穩(wěn)定性。

曲梁結構邊界條件對位移響應的影響結果，如圖9所示。本文研究的邊界條件是指彈性邊界，曲梁結構模型的參數與圖7中所用的模型參數相同。

圖9 曲梁結構穩(wěn)態(tài)響應隨邊界條件的變化規(guī)律Fig.9 Variation of steady-state response of curved beam structure with boundary conditions

從圖9中可以看出，曲梁結構位移響應水平和峰值數量隨著彈性邊界的變化基本保持不變，但是曲梁結構位移響應峰值會發(fā)生移動。此外，隨著彈性邊界由E1-E1變化E4-E4，曲梁結構位移響應峰值會逐漸向低頻方向移動。分析結果表明，曲梁結構在彈性邊界E1-E1下的穩(wěn)定性最好，而在E4-E4邊界下穩(wěn)定性最差。

脈沖載荷類型對曲梁結構瞬態(tài)響應的影響結果如圖10所示。除了脈沖載荷類型以外，曲梁結構模型的模型參數與圖7所用的模型參數相同，脈沖載荷類型的定義見文獻[25]。

從圖10可以看出，曲梁瞬態(tài)響應隨脈沖載荷的變化規(guī)律為：①在矩形脈沖和指數脈沖載荷下，曲梁結構瞬態(tài)響應的變化趨勢相同，但兩者的瞬態(tài)響應峰值有所不同；②在三角形和半正弦脈沖下，曲梁結構瞬態(tài)響應的變化趨勢基本相同，整體呈正余弦規(guī)律變化且位移響應峰值相差不大。分析結果表明，不同的脈沖載荷類型對曲梁結構穩(wěn)態(tài)響應的影響程度的不同，矩形脈沖和三角形脈沖的影響最為顯著。

圖10 曲梁結構瞬態(tài)響應隨脈沖載荷的變化規(guī)律Fig.10 Variation of transient response of curved beam structure with pulse load

3 結 論

(1) 本文基于一階剪切變形梁理論和哈密爾頓原理建立了復雜邊界條件下曲梁結構的統(tǒng)一動力學分析模型，考慮了4個典型的曲梁結構，即圓弧曲梁、橢圓曲梁、拋物曲梁和雙曲曲梁。

(2) 本文建立的曲梁結構統(tǒng)一動力學分析模型具有較好的收斂性和較高的求解精度，可以有效預測復雜邊界條件下曲梁結構模型的振動特性，包括自由振動、穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應。

(3) 對曲梁結構模型的結構厚度、彈性邊界條件以及脈沖載荷類型開展了參數化研究。分析結果表明，隨著曲梁結構厚度的增加其穩(wěn)定性會提高且共振頻率向高頻方向移動；隨著彈性邊界條件的變化，曲梁結構在彈性邊界E1-E1下的穩(wěn)定性最好，在彈性邊界E4-E4下的穩(wěn)定性最差；相較于三角形和半正弦脈沖，矩形脈沖和三角形脈沖載荷對曲梁結構模型的影響顯著。