李為民，李嘉賓，張建軍，馮少輝

1 引言

拼接鏡面技術(shù)的發(fā)展，使天文望遠(yuǎn)鏡的口徑突破了鏡坯材料的限制。該技術(shù)通過將多個(gè)小鏡面拼接成一個(gè)大口徑鏡面，解決了大型光學(xué)鏡面的澆鑄加工難度大，鏡面易變形的問題[1]。在高海拔宇宙線觀測(cè)站LHAASO項(xiàng)目的廣角大氣熒光切倫科夫光探測(cè)器陣列（WFCTA），由十二臺(tái)廣角切倫科夫望遠(yuǎn)鏡[2-3]組成。該望遠(yuǎn)鏡的鏡面面積約為6m2，為節(jié)省成本，每臺(tái)望遠(yuǎn)鏡都采用了拼接鏡面技術(shù)。與傳統(tǒng)的望遠(yuǎn)鏡相比，采用拼接技術(shù)的望遠(yuǎn)鏡的子鏡支撐調(diào)節(jié)有了新的技術(shù)要求和難度[4]，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定支撐和精密調(diào)節(jié)的需要使其必須同時(shí)滿足大剛度和高精度的要求。

研究以滿足廣角切倫科夫望遠(yuǎn)鏡子鏡支撐調(diào)節(jié)要求為目標(biāo)，選擇合適的機(jī)構(gòu)，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與位置反解；通過仿真機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系，設(shè)計(jì)出該機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)過程近似解耦的安裝布置方式和調(diào)節(jié)方法；然后進(jìn)行鏡片共焦實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證該支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)是否滿足要求。

2 子鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)的要求

廣角切倫科夫望遠(yuǎn)鏡擬采用單球面反射系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案，反射主鏡由20塊對(duì)角長(zhǎng)為600mm的正六邊形球面子鏡及5塊相應(yīng)的半子鏡拼接而成，鏡面布置，如圖1所示。

望遠(yuǎn)鏡的子鏡通過支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)連接在一定曲率的支撐架上，鏡面曲率半徑為5800mm，各鏡片之間邊緣間距為（5～12）mm，反射鏡及三角鏡架質(zhì)量約25kg。支撐機(jī)構(gòu)在支撐架上要穩(wěn)定支撐，角度調(diào)整需精確，以保證每塊子鏡片的焦點(diǎn)能夠方便調(diào)節(jié)到指定的光電倍增管（PMT）上；可將子鏡片單獨(dú)安全調(diào)整至任意位置，調(diào)節(jié)過程中各鏡片不能發(fā)生碰撞干涉[5]。電氣控制調(diào)節(jié)過程系統(tǒng)復(fù)雜，成本較高，而拼接鏡安裝調(diào)好后各鏡片位置相對(duì)固定，不需要實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，所以采用手動(dòng)調(diào)節(jié)的方式。支撐架是有一定曲率的10mm厚的鋼板，為方便手動(dòng)調(diào)節(jié)，要求調(diào)節(jié)時(shí)人的位置和子鏡支撐機(jī)構(gòu)位置在鋼板的兩側(cè)。

結(jié)合實(shí)際需求進(jìn)行簡(jiǎn)要計(jì)算，得出廣角切倫科夫望遠(yuǎn)鏡對(duì)子鏡支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的技術(shù)要求如下：

調(diào)整自由度：2自由度轉(zhuǎn)動(dòng)

角度調(diào)整精度：±0.2°

調(diào)節(jié)方式：手動(dòng)調(diào)節(jié)

3 機(jī)構(gòu)選擇與運(yùn)動(dòng)分析

3.1 支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)選擇

并聯(lián)機(jī)構(gòu)憑借結(jié)構(gòu)剛度大、承載能力高、穩(wěn)定性強(qiáng)、動(dòng)力響應(yīng)快、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，已成為機(jī)構(gòu)學(xué)的一個(gè)重要研究分支[6]。針對(duì)要求進(jìn)行分析后采用2-PSS/U二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為子鏡的支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，如圖2（a）所示。該機(jī)構(gòu)具有精度高，剛度好，穩(wěn)定性強(qiáng)的特點(diǎn)，將鏡片固連在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上，支撐架作為機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)，驅(qū)動(dòng)二個(gè)移動(dòng)副可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，并且在調(diào)節(jié)過程中控制端和子鏡支撐結(jié)構(gòu)分別位于支撐架的兩側(cè)，手動(dòng)調(diào)節(jié)方便。為增強(qiáng)機(jī)構(gòu)剛度，設(shè)計(jì)一條輔助支鏈，機(jī)構(gòu)改進(jìn)為3-PSS/U二自由度轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖2（b）所示。

圖2 2-PSS/U三維實(shí)體圖與3-PSS/U機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 3D Model of the 2-PSS/U and Schematic Diagram of 3-PSS/U Parallel Mechanism

3-PSS/U機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)，靜平臺(tái)以及連接動(dòng)，靜平臺(tái)的3條PSS支鏈和1條U支鏈組成。PSS支鏈一端通過球鉸鏈S與動(dòng)平臺(tái)相連，另一端通過移動(dòng)副P與靜平臺(tái)相連，且移動(dòng)副的導(dǎo)路方向正交于靜平臺(tái)所在平面。此外，動(dòng)、靜平臺(tái)通過虎克鉸U直接相連接。調(diào)節(jié)過程中，輔助支鏈松開，角度調(diào)好后，拉緊支鏈，從而提高機(jī)構(gòu)剛度。移動(dòng)副采用螺旋傳動(dòng)的方式，要求子鏡模塊的調(diào)整精度為±0.2°，計(jì)算得2點(diǎn)螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的直線位移精度大約需要0.3mm，而這種精度的螺旋傳動(dòng)不難實(shí)現(xiàn)。

3.2 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系建立

按照?qǐng)D2（b）所示在動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)o和虎克鉸中心點(diǎn)O分別建立固接于動(dòng)、靜平臺(tái)的動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz和靜坐標(biāo)系OXYZ。設(shè)動(dòng)、靜平臺(tái)分別為以點(diǎn)o和點(diǎn)P為幾何中心的正三角形，Oo、OP分別與動(dòng)、靜平臺(tái)所在平面正交固接。動(dòng)坐標(biāo)系中x軸平行于ca，z軸垂直于動(dòng)平臺(tái)所在平面，且垂直向上，y軸滿足右手定則。類似地，靜坐標(biāo)系中的X軸平行于CA，Z軸垂直于靜平臺(tái)所在平面，且垂直向上，Y軸滿足右手定則?；⒖算q其中一個(gè)轉(zhuǎn)軸安裝后朝向固定，設(shè)此轉(zhuǎn)軸為定軸，另一個(gè)轉(zhuǎn)軸設(shè)為動(dòng)軸，安裝時(shí)將虎克鉸的定軸朝向定坐標(biāo)系的X軸，動(dòng)軸平行于動(dòng)坐標(biāo)系的y軸。h為動(dòng)靜坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離，l0為正三角形中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離，L0是各支鏈上兩球副之間的距離。cFC是輔助的PSS支鏈，只起增大機(jī)構(gòu)剛度的作用，不參與調(diào)節(jié)，以下只分析2-PSS/U機(jī)構(gòu)。

3.3 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

2-PSS/U機(jī)構(gòu)中移動(dòng)副，連桿，球副構(gòu)成PSS鏈，約束軸為中間的U鏈，支鏈中兩球副之間的連桿可繞其自身的軸線旋轉(zhuǎn)，故該機(jī)構(gòu)的局部自由度為2，根據(jù)Kutzbach-Grübler公式[7]，得到機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)：

式中：n—構(gòu)件數(shù)；g—運(yùn)動(dòng)副數(shù)；f—第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副具有的自由度數(shù)；k—局部自由度數(shù)。

該機(jī)構(gòu)中的虎克鉸限制了機(jī)構(gòu)的移動(dòng)和一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，所以機(jī)構(gòu)具有繞二個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。

3.4 機(jī)構(gòu)建模與位置反解

位置反解是指已知?jiǎng)悠脚_(tái)繞靜平臺(tái)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，反求機(jī)構(gòu)中各驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)量，在本機(jī)構(gòu)中即為求解移動(dòng)副將各支鏈中間球鉸中心驅(qū)動(dòng)到的坐標(biāo)位置。

當(dāng)負(fù)荷功率分別為2 MVA、4 MVA、6 MVA，功率因數(shù)為0.85，XC=0時(shí)，串補(bǔ)裝置處節(jié)點(diǎn)電壓分別為9.57 kV、8.89 kV、8.19 kV，若加入補(bǔ)償度k=2.25的補(bǔ)償電容時(shí)，補(bǔ)償點(diǎn)電壓分別提升1.272 kV、1.591 kV、1.668 kV。結(jié)果如圖4所示：容量與電流的平方成正比，而串聯(lián)電容器補(bǔ)償?shù)碾妷号c線路電流成正比。因此，當(dāng)線路容量增大時(shí)，電流增大，補(bǔ)償?shù)碾妷阂搽S之增大。這就是串補(bǔ)的負(fù)荷自適應(yīng)特性，也是其他無功補(bǔ)償均不具備的特性。

采用繞固定軸X-Y-Z（α，β，γ）旋轉(zhuǎn)的方式表示動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)[8]。按照?qǐng)D2建立的坐標(biāo)系，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

式中：cα=cosα；sα=sinα；A—靜坐標(biāo)系；B—?jiǎng)幼鴺?biāo)系。

根據(jù)齊次變換公式A可以將點(diǎn) a，b，D，E 在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示出來，由2條支鏈PSS中兩個(gè)球副S之間的距離相等且長(zhǎng)度固定為L(zhǎng)0，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到方程組。

方程組中有二個(gè)未知數(shù)分別是點(diǎn)D，E在靜坐標(biāo)系中沿Z方向的坐標(biāo)，也是螺旋驅(qū)動(dòng)需要將球鉸中心驅(qū)動(dòng)到的位置。此方程組為二元二次線性方程，求得方程組中二個(gè)未知數(shù)解的表達(dá)式為：

由上式求得機(jī)構(gòu)的位置反解，共4組。根據(jù)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)和球面副轉(zhuǎn)動(dòng)角度的限制，可以得到確定的解。

4 機(jī)構(gòu)輸入輸出關(guān)系的運(yùn)動(dòng)仿真

為考察機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征，本節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系進(jìn)行MATLAB仿真。該機(jī)構(gòu)中的約束鏈?zhǔn)腔⒖算q，限制了機(jī)構(gòu)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在仿真過程中動(dòng)平臺(tái)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為0。按照?qǐng)D2建立的坐標(biāo)系，設(shè)α是動(dòng)平臺(tái)繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，β是動(dòng)平臺(tái)繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。y1，y2分別為球面副D，E幾何中心的Z坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，β為機(jī)構(gòu)輸出，y1，y2為機(jī)構(gòu)輸入，各輸入輸出關(guān)系仿真結(jié)果，如圖3所示。其中l(wèi)0=215mm；L0=40mm；h=20mm。

圖3 機(jī)構(gòu)輸入輸出關(guān)系仿真Fig.3 Simulation Analysis of Relation Between the Structure Input and Output

通過以上仿真獲得機(jī)構(gòu)輸入與輸出的關(guān)系，為機(jī)構(gòu)的安裝調(diào)節(jié)提供依據(jù)。由圖看出機(jī)構(gòu)在調(diào)節(jié)時(shí)，移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)量與動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度是近似線性的，而且當(dāng)α角度固定時(shí)，β角度的調(diào)整幾乎只與其中一條支鏈有關(guān)，說明該機(jī)構(gòu)在小角度調(diào)節(jié)時(shí)是近似解耦并且調(diào)節(jié)過程是穩(wěn)定漸變的。根據(jù)仿真出的機(jī)構(gòu)特征，對(duì)機(jī)構(gòu)近似解耦調(diào)節(jié)的布置方式進(jìn)行設(shè)計(jì)，按照鏡筒水平放置下進(jìn)行分析，如圖4所示。此時(shí)支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)側(cè)向安裝，讓靜平臺(tái)上移動(dòng)副B和定平臺(tái)中心點(diǎn)P呈水平布置，則定坐標(biāo)系的Y軸在水平面上，Z軸指向支撐架的曲率中心。鏡片固連在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上，推動(dòng)移動(dòng)副B，動(dòng)平臺(tái)繞虎克鉸定軸X和虎克鉸動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)，鏡片焦點(diǎn)在水平和豎直方向移動(dòng)。推動(dòng)移動(dòng)副A，動(dòng)平臺(tái)繞虎克鉸的動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)，另外支鏈bEB中桿bE會(huì)繞球副E擺動(dòng)，導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)繞虎克鉸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)?；⒖算q的動(dòng)軸平行于動(dòng)坐標(biāo)系的y軸，其在動(dòng)平臺(tái)的角度調(diào)節(jié)范圍以內(nèi)基本水平，動(dòng)平臺(tái)繞虎克鉸動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，焦點(diǎn)水平方向的移動(dòng)距離最多為：

圖4 支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)安裝Fig.4 Installation of the Support Adjustment Segment

而在動(dòng)平臺(tái)的角度變化范圍±2°內(nèi)，因桿bE的擺動(dòng)使鏡片焦點(diǎn)水平移動(dòng)的距離最多為：

兩者之和為0.78mm，小于鏡片焦點(diǎn)的位置調(diào)節(jié)精度，可以認(rèn)為推動(dòng)移動(dòng)副A，焦點(diǎn)只有豎直位置發(fā)生改變。這種機(jī)構(gòu)布置方式使得鏡片焦點(diǎn)豎直位置的調(diào)節(jié)只對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)的一個(gè)驅(qū)動(dòng)，能夠使鏡片焦點(diǎn)的調(diào)節(jié)過程近似解耦。

5 鏡片安裝與共焦實(shí)驗(yàn)

5.1 鏡片安裝調(diào)節(jié)

鏡筒水平放置情況下對(duì)鏡片及支撐機(jī)構(gòu)進(jìn)行安裝調(diào)節(jié)，鏡片固連在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上，支撐架作為支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)，接收光的裝置是由多個(gè)光電倍增管（PMT）組成的矩形陣列，各鏡片的焦點(diǎn)需要到達(dá)對(duì)應(yīng)的光電倍增管（PMT）上。根據(jù)鏡片焦點(diǎn)需要到達(dá)的目標(biāo)位置計(jì)算出各鏡片調(diào)節(jié)后需要的位姿，由以上仿真出的位姿與驅(qū)動(dòng)之間的關(guān)系，求得所需位姿對(duì)應(yīng)的鏡片安裝后驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)量。按照計(jì)算出的驅(qū)動(dòng)量和上節(jié)介紹的解耦調(diào)節(jié)布置方式安裝機(jī)構(gòu)后，由于建模和運(yùn)動(dòng)副間隙以及機(jī)械元件誤差等原因，鏡片焦點(diǎn)一般并沒有在指定的位置，此時(shí)需要支撐機(jī)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)。鏡筒水平放置，調(diào)節(jié)過程中，首先推動(dòng)移動(dòng)副B，使得焦點(diǎn)位置與焦點(diǎn)目標(biāo)位置豎直對(duì)齊，然后推動(dòng)移動(dòng)副A，調(diào)節(jié)焦點(diǎn)豎直位置，使得焦點(diǎn)位置與焦點(diǎn)目標(biāo)位置重合。依次將所有鏡片進(jìn)行安裝調(diào)節(jié)，直至所有鏡片安裝完畢。

5.2 共焦裝調(diào)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證該支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的可行性，進(jìn)行鏡片共焦實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)沒必要將所有鏡片進(jìn)行安裝，如果能夠成功安裝三面鏡片，并且通過調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)使各鏡面焦點(diǎn)聚焦到一點(diǎn)，就足夠說明該支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)是可行的[9]。實(shí)驗(yàn)通過鏡片聚焦作用形成光斑，調(diào)節(jié)支撐機(jī)構(gòu)使光斑移動(dòng)，觀察光斑重合程度驗(yàn)證各鏡片焦點(diǎn)是否聚焦到一點(diǎn)，要求光斑重合后的直徑不大于20mm。實(shí)驗(yàn)步驟如下：（1）將光源射出的光束射到紙板上，紙板將光進(jìn)行漫反射，漫反射的一部分平行光照在鏡片上，通過鏡片的聚焦作用形成光斑。（2）把接收板放到鏡片焦點(diǎn)附近，使光斑映射到接收板上。（3）按照上節(jié)敘述的調(diào)節(jié)方式進(jìn)行調(diào)節(jié)，將光斑調(diào)到目標(biāo)位置。

實(shí)驗(yàn)中三面鏡片的支撐機(jī)構(gòu)都按照動(dòng)平臺(tái)繞X軸和Y軸各轉(zhuǎn)動(dòng)2°計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行安裝。第一、二面鏡子安裝后光斑聚焦到刻度板上，如圖5（a）所示。將第一面鏡子光斑設(shè)為目標(biāo)位置。調(diào)節(jié)第二面鏡子的支撐機(jī)構(gòu)，推動(dòng)移動(dòng)副B，使得光斑位置與目標(biāo)位置豎直對(duì)齊，如圖5（b）所示。再推動(dòng)移動(dòng)副A，使兩光斑重合，如圖5（c）所示。同樣方法調(diào)節(jié)支撐機(jī)構(gòu)使得第三面鏡子的光斑與第一、二面鏡子的光斑重合，調(diào)節(jié)過程，如圖6所示。

圖5 第一、二面鏡子光斑位置Fig.5 The Light Spot Position of the First and the Second Mirror

圖6 第三面鏡子光斑位置Fig.6 The Light Spot Position of the Third Mirror

5.3 共焦裝調(diào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)建模計(jì)算出來的輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行安裝，各鏡片之間沒有發(fā)生干涉，并且安裝后光斑位置在目標(biāo)位置附近。手動(dòng)調(diào)節(jié)后光斑位置能夠到達(dá)目標(biāo)位置，調(diào)節(jié)過程近似解耦，調(diào)節(jié)一面鏡片所需要的時(shí)間大約為兩分鐘。使用該支撐調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié)，光斑重合直徑大約是5mm，小于20mm。實(shí)驗(yàn)說明此機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)簡(jiǎn)單方便，精度較高，滿足實(shí)驗(yàn)要求。

6 結(jié)論

針對(duì)廣角切倫科夫望遠(yuǎn)鏡的鏡片支撐調(diào)節(jié)要求，分析設(shè)計(jì)了一種大剛度帶有冗余支鏈的拼接子鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)和調(diào)節(jié)方法。對(duì)支撐機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置反解和輸入輸出關(guān)系仿真，設(shè)計(jì)了一種通過合理布置機(jī)構(gòu)使調(diào)節(jié)過程近似解耦的方式。通過共焦實(shí)驗(yàn)證明設(shè)計(jì)的支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有可行性，調(diào)節(jié)過程簡(jiǎn)單方便，精度較高，滿足實(shí)驗(yàn)對(duì)拼接主鏡的技術(shù)要求。該支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)造價(jià)較低，節(jié)省了項(xiàng)目成本，推動(dòng)了LHAASO項(xiàng)目的進(jìn)展，對(duì)以后的拼接鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有重要的參考價(jià)值。