付 遠，張友亮，劉小紅，程香平

1 引言

動力學(xué)分析是機械設(shè)計行業(yè)非常重要的環(huán)節(jié)，尤其在汽車制造業(yè)，航空航天，國防工業(yè)領(lǐng)域非常普遍。零件設(shè)計中其中一個非常重要的動力學(xué)特性就是模態(tài)分析和設(shè)計，零件的模態(tài)，是設(shè)計產(chǎn)品的固有屬性，它對零件的動力學(xué)響應(yīng)具有非常重要的意義。模態(tài)的理論基礎(chǔ)是在機械阻抗和導(dǎo)納的概念中發(fā)展起來的。由于自動控制理論中的頻率響應(yīng)函數(shù)的引入，對模態(tài)研究的發(fā)展起了很大的推動作用[1]，這種頻率響應(yīng)函數(shù)反映了系統(tǒng)中的輸入與輸出之間的關(guān)系，它是系統(tǒng)的固有特性，也是系統(tǒng)在頻域中的一個非常重要的特征量和識別模態(tài)參數(shù)的依據(jù)。

在實際的模態(tài)優(yōu)化迭代過程中，通常情況下，一次優(yōu)化結(jié)果很難滿足零件的動力學(xué)設(shè)計要求。從而需要在一次或多次優(yōu)化的基礎(chǔ)上進行再次優(yōu)化設(shè)計和迭代運算，最終實現(xiàn)設(shè)計目標(biāo)。不僅如此，通常的模態(tài)優(yōu)化方法都僅僅是對單一模態(tài)頻率的再設(shè)計，可是，由于結(jié)構(gòu)動力學(xué)阻尼的相關(guān)特性和原理的關(guān)聯(lián)性，單階模態(tài)的優(yōu)化不能很好地滿足動力學(xué)設(shè)計需求。以汽車油盤為研究對象，通過對初始設(shè)計的油盤的殼體，并采用優(yōu)化權(quán)重因子同時針對多階模態(tài)進行二次分步動力學(xué)優(yōu)化[2]，最終實現(xiàn)了改善其本征頻率的分布規(guī)律，從而確保了汽車油盤的動力學(xué)設(shè)計要求。

2 試驗及方法

2.1 模態(tài)分析理論及方法

在汽車制造，航空航天等行業(yè)，不同設(shè)計零件都具有獨特的動力學(xué)特性，因此在實際的應(yīng)用中，需要考慮模態(tài)的動力學(xué)響應(yīng)問題，防止結(jié)構(gòu)在工作狀況下發(fā)生共振，從而導(dǎo)致零件的動力學(xué)過快失效及相關(guān)的噪聲控制。研究背景是汽車油盤的模態(tài)分析，通過對初始設(shè)計的油盤樣件進行形貌模態(tài)優(yōu)化，來改變其特征頻率的分布。

根據(jù)模態(tài)分析的理論可知，由于結(jié)構(gòu)模態(tài)中存在模態(tài)阻尼[3]，這些阻尼的存在會影響和削弱結(jié)構(gòu)共振的產(chǎn)生，但是，這樣的影響隨著模態(tài)階數(shù)的遞增呈現(xiàn)指數(shù)的增強。因此在通常的動力學(xué)設(shè)計中，只需考慮前若干階影響較大的模態(tài)的特征頻率。所以，優(yōu)化研究以油盤樣件中對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性影響較大的前12階特征頻率為優(yōu)化目標(biāo)，并進行相應(yīng)的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計。初始設(shè)計的油盤模型，如圖1所示。它的長寬和高的尺寸分別為（540×345×50）mm，油盤的厚度均為2mm，在有限元計算中，該模型的有限單元為正方形殼單元，邊長為2mm。

圖1 初始設(shè)計的模型尺寸Fig.1 Dimensions of Original Designed Model

由于在實際的工作狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)真實特征模態(tài)是帶阻尼模態(tài)。因此，油盤的模態(tài)阻尼特性，我們用Rayleigh阻尼來表征，該阻尼模型是較為常用的黏性阻尼模型，它也可以稱為比例阻尼，其表達式為[4]：

式中：α—質(zhì)量矩陣系數(shù)，或者稱為α阻尼；β—材料剛度矩陣系數(shù)，或者稱為β阻尼；［M］和［K］—結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

通常來說α，β的值需要通過模態(tài)阻尼比的測定或計算才可以獲得精確結(jié)果，并且任意一階的模態(tài)阻尼比εi與其對應(yīng)的自振圓頻率的關(guān)系式為[5-6]：

式中：ωi—第i階模態(tài)的自振圓頻率。

所以，通常來說，只需要實驗測得任意兩階的模態(tài)阻尼比和對應(yīng)的自振圓頻率就能夠通過（2）式計算出相應(yīng)結(jié)構(gòu)的α，β阻尼?？墒菍嶋H上，選取的這兩階模態(tài)不能過于接近，因為相鄰的兩階模態(tài)并不能全局反應(yīng)結(jié)構(gòu)整體的動力學(xué)特點。一般情況下，選取的這兩階模態(tài)均為設(shè)計者所關(guān)心的模態(tài)區(qū)間的最大階本征頻率和最小階本征頻率（例如需要選取1階和12階）。由于油盤材料為不銹鋼材料，那么在這里，油盤結(jié)構(gòu)的α，β阻尼根據(jù)其材料特性，分別取值為3.39和3.16×10-5。以這兩個結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為模態(tài)阻尼條件，來求解油盤的前12階帶阻尼模態(tài)。

2.2 優(yōu)化算法的表達方式

通過兩步優(yōu)化法實現(xiàn)了油盤動力學(xué)特性的再設(shè)計。而這兩步優(yōu)化并不屬于同一優(yōu)化形式。第一次優(yōu)化是將前12階特征頻率最大化提升。它屬于多重特征頻率關(guān)于多個設(shè)計變量同時變化的靈敏度優(yōu)化。第二步優(yōu)化是將前12階頻率驅(qū)離某一特定頻率范圍（600Hz），它屬于結(jié)構(gòu)頻率的帶隙優(yōu)化。

首先考慮結(jié)構(gòu)的特征頻率最大化問題，該問題通常采用Maxmin模型描述，對設(shè)計區(qū)域進行有限元離散化的數(shù)學(xué)模型為：

式3可分解為如下四項：

式中：ρe—單元的相對體積密度；Ne—優(yōu)化單元總數(shù)。約束中的式5為材料體積約束；α—預(yù)先給定的材料體積上限V*與相對設(shè)計域體積V0的體積比。特征值λj＝ω2j表示為第j階特征頻率的平方，滿足結(jié)構(gòu)振動廣義特征值方程（式4），并且有 0＜ω1≤ω2≤…≤ωJ，φj為第 j階特征模態(tài)，它滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M的正交歸一化條件（式5）。

對于第一步優(yōu)化，單重特征頻率的設(shè)計變量同時以各自微小增量Δρe變化時，該增量用向量形式可以表示為：

由于單一特征頻率是可微分的，相應(yīng)的第K階特征值增量可由線性化（省略高階無窮小項）的泰勒展開式表示為：

式中：▽λk—特征值的梯度向量。

由于多重特征頻率不具備Frechet意義上的可微性，當(dāng)多個設(shè)計變量同時變化時，不可用采用類似于單一特征值增量（或微分）表達式（式9）來計算多重特征值的增量。為此，需要引入方向?qū)?shù)進行運算，把所有關(guān)心特征頻率的設(shè)計變量依次排列為向量形式。

以及所對應(yīng)的特征值，特征向量、剛度和質(zhì)量矩陣的表達（忽略高階無窮?。?/p>

采用單變量變化過程的推導(dǎo)，可得出多變量同時變化時的N重特征值靈敏度方程：

式中：fsk（s，k＝n，…，n+N-1）被稱為廣義梯度向量，由下式計算：

方程（12）是一個關(guān)于N重特征值λ~的增量Δλ的方程，一般情況是一個N階的非線性代數(shù)方程，通?？梢圆捎媒馕龇ǎ∟較小時）或者數(shù)值法求解。在這里，N＞1，且有：

此時，方程8種的行列式的非對角項均為0，方程簡化為：

而對于第二次帶隙優(yōu)化，采用的是矩陣攝動法。它采用的是基于結(jié)構(gòu)單元剛度和質(zhì)量矩陣的有限差分法的半解析敏感度分析算法來計算。其表達式如下：

2.3 初始模態(tài)振型

通過帶阻尼模態(tài)的有限元分析，獲得了初始設(shè)計模型的前12階本征頻率和對應(yīng)的振型，如圖2所示。

圖2 初始設(shè)計的油盤前12階模態(tài)振型（順序從左至右，從上至下）Fig2 The First 12th Modal Shape of Original Designed Oil Pan

從計算結(jié)果，表1和圖2可知，初始設(shè)計的油盤前12階本征頻率最小值為131.21Hz，最大值為818.5Hz。

3二 次動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計

殼體形貌優(yōu)化的設(shè)計約束條件[7]包括三種，如圖3所示。它們分別是濾波半徑和濾波高度。其中，濾波高度分為兩類，一類是在殼體頂面增長（Growth），一類是在殼體底面增長（Shrinkage）。

圖3 殼體形貌優(yōu)化的約束條件Fig.3 Constraint Conditions of Shell Shape Optimization

由于設(shè)計車型發(fā)動機的啟動頻率在（0～200）Hz之間，穩(wěn)定工作頻率在600Hz附近，因此，優(yōu)化任務(wù)是使得油盤的最小特征頻率大于200Hz，來規(guī)避啟動時的共振，并且達到穩(wěn)定工作狀態(tài)時使得任意一階特征頻率遠離600Hz的區(qū)間。但是，初始設(shè)計模型的前12階特征頻率在（131.21～818.5）Hz之間。這個頻率區(qū)間是不符合設(shè)計要求的。并且通常的一次模態(tài)優(yōu)化不能完成設(shè)計目標(biāo)。在這里需要采用2次優(yōu)化才可實現(xiàn)目的，第一次優(yōu)化需要讓所有階本征頻率盡可能高，盡可能遠離（0～200）Hz這個區(qū)間范圍。隨后第二次模態(tài)優(yōu)化采用帶隙優(yōu)化，帶隙優(yōu)化是將所有關(guān)心的本征頻率區(qū)間均驅(qū)離600Hz這個頻率范圍。

可是，還存在一個問題，那就是雖然第一次模態(tài)優(yōu)化可以使得最低階頻率高于200Hz，但是可能存在第二次優(yōu)化后，低階頻率發(fā)生再次逆轉(zhuǎn)，其頻率區(qū)段重新低于200Hz。當(dāng)然，出現(xiàn)這種現(xiàn)象是肯定的。為了避免此類現(xiàn)象的產(chǎn)生，對于研究多頻率特性的殼體形狀的模態(tài)優(yōu)化還需要提出一個概念，那就是多階模態(tài)優(yōu)化的權(quán)重系數(shù)。它的定義是這樣的，在對前N階模態(tài)優(yōu)化迭代過程中，需要在每一階模態(tài)上添加一個權(quán)重系數(shù)e[8]。它們滿足如下關(guān)系：

式中：ei、en—第i和第n階本征頻率的權(quán)重系數(shù)；Δfi—第i階本征頻率在優(yōu)化前后的變化值。

通過對所關(guān)心的本征頻率設(shè)定相應(yīng)的優(yōu)化權(quán)重系數(shù)[9]，就可以很好地控制多特征頻率優(yōu)化迭代過程，使得最終優(yōu)化結(jié)果符合設(shè)計需要。在這里，每一階模態(tài)的優(yōu)化權(quán)重系數(shù)，如表2所示。還存在一個疑問，那就是為何不能直接采用一次帶隙優(yōu)化完成整個模態(tài)優(yōu)化任務(wù)？理由是，帶隙優(yōu)化是將感興趣的前N階模態(tài)針對某一特定頻率進行驅(qū)離，它的優(yōu)化原理是以驅(qū)離頻率為界限（600Hz），將感興趣的N階特征頻率在高于或低于驅(qū)離頻率的兩個頻域區(qū)間按照相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)重分配。而這里的第1階初始頻率遠低于600Hz，且低于200Hz，它在帶隙優(yōu)化中的頻率改變的路徑肯定是向低頻驅(qū)離（優(yōu)化前低于/高于驅(qū)離頻率的，優(yōu)化后會朝著低頻/高頻方向驅(qū)離），這樣在優(yōu)化之后，必定會導(dǎo)致最低階頻率低于200Hz，所以直接采用帶隙優(yōu)化是不符合設(shè)計要求的。因此首先需要在帶隙優(yōu)化之前，整體提升前12階頻率，使得最低階頻率高于200Hz，只有這樣，在帶隙優(yōu)化中可以使得最低階頻率有一個頻率降低的冗余范圍[10]，并且通過權(quán)重系數(shù)的調(diào)節(jié)，可以使最低階頻率經(jīng)過帶隙優(yōu)化后，既能規(guī)避驅(qū)離頻率，又不至于將低階頻率的重分配值低于200Hz。

另外，有一點需要說明，那就是為何第一次優(yōu)化需要整體提升感興趣的前12階模態(tài)，而不僅僅提升低于200Hz或在200Hz附近的模態(tài)頻率呢？假如第一次優(yōu)化中，僅最大化提升前2階頻率，這樣會導(dǎo)致前3階模態(tài)頻段過于“擁擠”，這種相鄰頻段過擁擠的現(xiàn)象會導(dǎo)致在后續(xù)的帶隙優(yōu)化過程中產(chǎn)生模態(tài)干涉[11]，并且優(yōu)化計算很難收斂，所以相鄰頻段需要保持一定的頻率區(qū)間是最合適的。

油盤的模態(tài)優(yōu)化設(shè)計響應(yīng)，約束條件，和目標(biāo)函數(shù)，如表1所示。

幽門螺桿菌感染小鼠模型Th17細胞及IL-17表達變化的研究…………………………………嚴(yán) 萍，趙衛(wèi)東，謝可心，司 祥，李 敏，施榮杰，楊理偉（21）

表1 模態(tài)優(yōu)化的參數(shù)類型和數(shù)據(jù)Tab.1 Parameter Type and Data of Modal Optimization

第一次模態(tài)優(yōu)化將油盤前12階本征頻率最大化，經(jīng)過25次迭代，各階頻率都有所提升，第一階頻率由131.21Hz提升到了311.7Hz，第12階頻率由818.5Hz提升至1783.3Hz，如圖4所示；

圖4 前12階頻率最大化優(yōu)化迭代進程Fig.4 Process of Optimized Iterative with the First 12th Frequency

經(jīng)過一次優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)，雖然最低階頻率高于200Hz，但是，穩(wěn)態(tài)運行時的600Hz頻率處于1至12階頻帶范圍內(nèi)，它介于1階和2階本征頻率之間，并且非常接近2階頻率。因此第二次帶隙優(yōu)化的頻率權(quán)重系數(shù)按照模態(tài)頻率距600Hz這個頻率區(qū)段距離從小到大依次提高（權(quán)重系數(shù)見表2）。

第二次帶隙優(yōu)化經(jīng)歷了10次優(yōu)化迭代，如圖5所示。這10次優(yōu)化迭代過程中，第2和第3階模態(tài)的變化幅度最大，因為它們距離600Hz最接近。

圖5 第二次帶隙優(yōu)化迭代進程Fig5 Band Gap Optimization Process of the Second Iterative

表2 模態(tài)優(yōu)化設(shè)計參數(shù)表Tab.2 Design Parameter of Modal Optimization

2次迭代過程的三維形貌和殼體單元位移變化情況，如圖6所示。圖示左側(cè)是初始設(shè)計，第一次優(yōu)化后和第二次優(yōu)化后的油盤CAD模型的演變過程，我們可以非常清楚的看到在殼體表面有一個大的凹凸結(jié)構(gòu)。圖示右側(cè)為初始設(shè)計，第一次優(yōu)化后和第二次優(yōu)化后的油盤節(jié)點位移的變化情況，圖中藍色區(qū)域為優(yōu)化過程的收縮區(qū)域，而紅色或黃色區(qū)域為優(yōu)化的增長區(qū)域。

經(jīng)過二次優(yōu)化后的模型輸出為網(wǎng)格STL格式數(shù)據(jù)，但是還需要進行逆向?qū)嶓w建模。通過相關(guān)的網(wǎng)格平滑處理及對相鄰的翹曲系數(shù)很低的網(wǎng)格進行合并，然后實體化，獲得了優(yōu)化后的實體油盤模型。接著再將油盤模型進行模態(tài)優(yōu)化驗證。經(jīng)過模態(tài)分析，獲得了優(yōu)化后油盤的前12階本征頻率的分布情況（表2），同時也獲得了前12階模態(tài)振型，如圖8所示。

圖7 經(jīng)過二次模態(tài)優(yōu)化后的前12階模態(tài)振型（順序從左至右，從上至下）Fig.7 The First 12th Modal Shape of the Final Oil Pan Optimization

對比圖7和圖2可發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的模型的外形發(fā)生變化后，模態(tài)振型的最大位移相對降低了許多。最后將優(yōu)化后通過逆向設(shè)計和平滑處理后的實體模型經(jīng)過數(shù)控加工，制備出了相應(yīng)的實體樣件，如圖8所示。

圖8 數(shù)控加工制備的優(yōu)化后實體樣件Fig.8 Physical Samples of Finial Designed Oil Pan by Numerical Control Machining

4 結(jié)論

（1）對于多目標(biāo)的模態(tài)優(yōu)化，有時一次優(yōu)化很難滿足設(shè)計目標(biāo)和設(shè)計要求，因此需要進行多次，分步進行優(yōu)化計算，才能完成既定目標(biāo)。

（2）模態(tài)優(yōu)化既可以采用拓撲優(yōu)化方法，也可以采用形狀優(yōu)化方法。但是，由于汽車油盤是儲物結(jié)構(gòu)，而拓撲優(yōu)化出來的結(jié)果是非連續(xù)性的鏤空結(jié)構(gòu)，因此不便于采用，而形狀優(yōu)化則是在初始設(shè)計外觀下進行外形的連續(xù)性扭曲，這種方式更適用于儲物結(jié)構(gòu)的模態(tài)優(yōu)化。

（3）優(yōu)化后的模型文件可以很容易的進行數(shù)控加工成型，因此該方法集成設(shè)計，優(yōu)化，加工一體化成型具有非常廣闊的應(yīng)用空間和價值。