趙迎港 楊宇威 趙穎濤 高 陽 王敏中

*(北京理工大學宇航學院，北京 100081)

?(中國農業(yè)大學理學院，北京 100083)

**(北京大學工學院，北京 100871)

平面問題是反映彈性力學求解思想的一類典型問題，其求解通常可以轉化為Airy應力函數的求解問題。解決此類問題通常采用半逆解法，即首先假設Airy應力函數的形式，再根據邊界條件求解Airy應力函數的精確表達，從而得到區(qū)域內的應力場和應變場。

對于研究薄壁曲梁與直梁（即矩形橫截面的寬度b遠小于高度h，如圖1(a)所示）的平面應力問題，兩類問題Ariy應力函數的假設形式以及邊界條件的提法都有很多的相似之處，其解也具有相似性。從圖1可以看出，直梁的應力分量σx（圖1(b)）和曲梁的應力分量σθ（圖1(c)）的分布幾乎完全相同。

圖1 純彎曲情形下的直梁和曲梁的應力

對于有限尺寸（高度h有限）的薄壁曲梁，當其曲率半徑和橫截面尺寸之比趨于無窮時，則其幾何特征將會無限逼近于直梁，理論上其應力結果也會無限逼近于直梁受力的結果。本文從薄壁曲梁彎曲問題的解析解出發(fā)，通過對曲梁曲率半徑和其橫截面高度之比取極限，最后推導出直梁彎曲的結果，不僅可以說明兩個問題在應力函數假設以及邊界條件處理上的相似性，也可以幫助讀者理解直和曲的辯證統(tǒng)一關系。

1 薄壁曲梁和直梁問題的提法

本文研究了薄壁曲梁與直梁受到彎矩M、剪切力Q、拉力P的作用時，其應力分布之間的關系，其中直梁與曲梁的幾何構型及受力狀況如圖2所示。

圖2 曲梁與直梁受力示意圖

那么，曲梁（極坐標系下）和直梁（直角坐標系下）問題的完整提法可分別寫為

其中U為Airy應力函數。顯然二者的提法完全相似，其結果也應該具有一定的相關性。

為了方便研究二者的關系，假設曲梁中線的長度L與曲梁的橫截面尺寸（高度）h不發(fā)生變化。當曲梁中線的曲率半徑和梁的高度之比趨于無窮，即R/h→∞時，曲梁的幾何特征將會無限趨近于直梁（如圖3所示），曲梁的受力問題也應無限趨近于直梁。下面對這兩種桿件在特定載荷作用下的解析解分別進行討論。為了方便推導，本文有時也會用曲梁的內徑或外徑與梁的高度之比趨于無窮來描述該極限過程，即用a/h→∞或b/h→∞代替R/h→∞。

圖3 極限過程示意圖

2 曲桿和直桿在特定載荷下的解析解對比

2.1 純彎曲情形（ P =Q=0,M/=0 ）

如圖2(a)所示，僅有力偶矩M時，可以得到薄壁曲梁的應力場和位移場分別為[1-2]

對曲梁的曲率半徑（外徑、內徑）取極限，各參量的關系為

首先對分母N進行計算有

然后對正應力σr取極限，為了方便計算，記

則式（1a）括號內的項可化簡為

當a→ ∞時，正應力σr可化為

同樣，可以計算正應力σθ在a→ ∞時的極限。首先對式（1b）括號內的項化簡可得

那么

綜合式（1c）、式（3）和式（4）可知，當a→∞，純彎曲作用下薄壁曲梁的應力場σr,σθ,τrθ分別退化為

此即為薄壁直梁純彎曲時應力場的解

下面討論位移場和中性軸的特征。

由式（2b）可以看出，曲梁任一截面的位移相當于繞曲率中心轉動了一個角度。也就是說曲梁在純彎曲狀態(tài)下和直梁一致，也滿足平截面假設[2]。

記曲梁的中性軸方程為r=r0，由方程（1b）可知中性軸滿足方程

此方程為超越方程，無解析解，我們可以通過數值方法對其求解。定義R/h為曲梁的相對曲率半徑，其中R=(a+b)/2 為曲梁的中軸線半徑，根據式（7）的解可以畫出中性軸的相對位置 (r0-a)/h隨R/h的變化關系，如圖4所示。從圖中可看出，當相對曲率半徑增大時，中性軸的位置也由靠近內徑的一側向曲梁中線靠近，當R/h→∞時，曲梁也退化為直梁，中性軸的位置趨近于直梁的軸線，也就是 (r0-a)/h→0.5 。

圖4 曲梁中性軸位置的變化趨勢

由薄壁曲梁和直梁的應力場、位移場和中性軸的對比分析可知，在純彎曲情形下，薄壁直梁可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無限大時的特殊情形。

2.2 剪力情形（ P =0,Q/=0,M=0 ）

當僅有切向力Q時，可以得到薄壁曲梁的應力場為[1-2]

同上，對曲梁的曲率半徑（外徑、內徑）取極限，各參量的關系如下所示

相似的計算可得

而式（8a）的部分項可化簡為

當a→ ∞時，正應力σr可化為

同樣，考察正應力σθ在a→ ∞時的極限。對式（8b）中的部分項化簡可得 ? ?

那么

最后考察剪應力τrθ。式（8c）中的部分項可化簡為

取極限可得

綜合式（9）～式（11）可知，當a→∞，僅有剪力Q彎曲作用下薄壁曲梁的應力場σr,σθ,τrθ分別退化為

此即為薄壁直梁在剪力Q作用下的解

也就是說，僅有剪力Q作用下，薄壁直梁亦可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無窮大時的特殊情形。

2.3 僅有法向力P的情形（ P /=0,Q=0,M=0 ）

當僅有法向力P時，可以得到薄壁曲梁的應力場為[1-2]

對曲梁的曲率半徑（外徑、內徑）取極限，各參量的關系如下所示

參照2.2節(jié)剪應力的結果，可以得出

考慮r方向應力的第一部分有

第二部分

綜合式（14a）、式（17）和式（18），可以得到

而后，考慮θ方向上應力的第一部分

第二部分

結合式（20）和式（21），可得

也即，在僅有拉伸作用P的情況下，薄壁曲梁的解退化為

這與直桿單向拉伸的結果一致。

3 結論

本文對薄壁曲梁與直梁端部受力問題進行了對比分析，結果表明，曲梁彎曲的解析解在曲率半徑與橫截面尺寸之比趨于無窮時，可以退化為直梁受力彎曲的解析解，這也說明薄壁直梁的受力問題可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無限大時的退化情形。這不僅可以幫助讀者更好地理解彈性力學平面問題中極坐標解法和直角坐標解法的內在聯(lián)系，也從側面說明了曲和直之間的辯證關系。同時，本文的討論也可以給我們更多啟示，即對于區(qū)域邊界為圓或者圓弧的力學問題，其結果在曲率半徑趨于無窮的時候，應當可以退化為平直邊界的情形。