王京軍 邱 岳*

(1、中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司,山東 青島 266111 2、中車工業(yè)研究院(青島)有限公司,山東 青島 266071)

波紋曲梁結(jié)構(gòu)作為一種典型工程結(jié)構(gòu)零部件,具有輕質(zhì)、高耐壓強(qiáng)度和變形小等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于橋梁、交通運(yùn)輸和船舶等工程領(lǐng)域。波紋曲梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性將嚴(yán)重由其組成整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能,因此有必要對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)開展振動(dòng)特性分析,為波紋曲梁結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)波紋曲梁相關(guān)結(jié)構(gòu)開展了深入研究,并取得了一系列成果。

寧曙東基于鐵木辛柯梁理論和歐拉- 伯努利方程,采用瑞麗- 里茲法開展曲率梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)特性研究[1]。趙雪健采用動(dòng)剛度法研究平面曲梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)外振動(dòng)特性,計(jì)算曲梁頻率和振型[2]。李星照等人基于歐拉- 伯努利梁理論,建立圓弧曲梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)微分方程,開展曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性研究[3-4]。孫廣俊等人采用微分求積法建立曲線梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型,研究曲線梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[5]。葉康生等人采用p 型超收斂算法對(duì)平面曲梁面外自由振動(dòng)問題進(jìn)行求解[6]。謝臻等人基于Timoshenko 梁理論,采用無網(wǎng)格法和哈密爾頓原理,對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)開展自由和受迫振動(dòng)特性分析[7]。陳明飛等人基于一階剪切變形理論,采用等幾何有限元法對(duì)變曲率功能梯度曲梁開展自由振動(dòng)分析[8]。Ramon 等人基于薄厚曲梁理論,采用廣義/擴(kuò)展有限元法對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)開展面內(nèi)自由振動(dòng)特性分析[9]。Samira 等人采用半解析法和有限元法對(duì)變截面復(fù)合曲線梁結(jié)構(gòu)開展振動(dòng)特性分析[10]。

綜上所述,現(xiàn)有研究主要是針對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)展開的,對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)的研究較少。首先本文擬基于厚曲梁理論,采用有限元法和罰函數(shù)法建立一般邊界條件下波紋曲梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析模型；緊接著確定懲罰因子取值并將本文模型求解結(jié)果與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,開展模型驗(yàn)證；最后對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型開展參數(shù)化研究,研究幾何參數(shù)對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率的影響,為波紋曲梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和減振降噪設(shè)計(jì)提高理論基礎(chǔ)和技術(shù)指導(dǎo)。

1 理論推導(dǎo)

1.1 波紋曲梁結(jié)構(gòu)模型介紹

如圖1 所示,為波紋曲梁結(jié)構(gòu)的幾何模型示意圖。波紋曲梁結(jié)構(gòu)是由不同弧度曲梁結(jié)構(gòu)通過共節(jié)點(diǎn)的方式耦合而成。圖1 中αi(i=1,2,3,4,5)表示曲梁結(jié)構(gòu)的弧度角,且2α1=α2=α3=α4=2α5。為了方便起見,采用曲線坐標(biāo)系z(mì)s 對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述,考慮三個(gè)方向的自由度,其中ui、wi和θi分別表示切向位移、徑向位移和轉(zhuǎn)角位移；曲梁結(jié)構(gòu)的截面為矩形截面,b 和h 分別表示截面寬度和截面厚度；R 表示曲梁半徑。

圖1 波紋曲梁結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 波紋曲梁結(jié)構(gòu)模型建立

根據(jù)厚曲梁?jiǎn)卧碚?曲梁結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)的應(yīng)變與位移存在如下所示的線性關(guān)系：

式中εi、χi和γi分別表示拉伸應(yīng)變、曲率變化和剪切應(yīng)變。根據(jù)材料的本構(gòu)方程,曲梁結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)應(yīng)力和應(yīng)變存在如下所示關(guān)系。

式中ρ 表示密度；Li表示曲梁結(jié)構(gòu)弧長(zhǎng)長(zhǎng)度；“·”表示對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)有限元的基本理論,曲梁結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)函數(shù)可以寫成如下形式：

式中Pj、Qj和Jj分別表示與ui、wi和θi有關(guān)的位移形函數(shù),其具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[9]；uj、wj和θj分別表示與ui、wi和θi有關(guān)的有限元節(jié)點(diǎn)自由度；n 表示單元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；P、Q 和J 分別表示由位移形函數(shù)組成的矩陣。將式(1)、(2)、(3)和(5)帶入式(4)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得。

式中Ki和Mi分別表示曲梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,qi表示曲梁結(jié)構(gòu)有限元節(jié)點(diǎn)在各個(gè)自由度方向位移組成的列向量。由于波紋曲梁結(jié)構(gòu)是由不同弧度的曲梁結(jié)構(gòu)通過有限元共節(jié)點(diǎn)的形式耦合而成,所以波紋曲梁結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可以通過不同弧度曲梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣?yán)奂拥玫?。在進(jìn)行累加之前,應(yīng)當(dāng)對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行維度擴(kuò)展,使得曲梁結(jié)構(gòu)的矩陣維度和波紋曲梁結(jié)構(gòu)的矩陣維度相同。波紋曲梁結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可以寫成如下形式：

式中S 表示懲罰因子,懲罰因子的取值可通過收斂性研究來確定。C 表示約束矩陣,其結(jié)構(gòu)具體形式是通過約束有限元節(jié)點(diǎn)位移在整體有限元節(jié)點(diǎn)位移中的位置來確定的,是一個(gè)對(duì)角矩陣。當(dāng)有限元節(jié)點(diǎn)位移被約束時(shí),C 矩陣中對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素取值為1,否則為0。根據(jù)上述得到的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成如下形式。

式中ω 和φ 分別表示系統(tǒng)特征頻率和特征向量,該式可以用于開展波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性研究。

2 算例分析

2.1 懲罰因子取值分析

由上所述,本文采用罰函數(shù)對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)施加邊界條件。為了確定懲罰因子的取值,本節(jié)研究波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率隨懲罰因子的變化規(guī)律,具體如圖2 所示。

圖2 波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率隨懲罰因子的變化規(guī)律

從圖2 可以看出,波紋曲梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率隨著懲罰因子的增加呈現(xiàn)先增加后保持不變的變化趨勢(shì)。為了保證模型的求解精度,懲罰因子取值為S=1011。為了便于后續(xù)模型求解,給出波紋曲梁結(jié)構(gòu)邊界條件的定義：

2.2 模型有效性驗(yàn)證

由上所述,本文已經(jīng)建立了波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析模型。為了便于后續(xù)開展自由振動(dòng)特性分析,本節(jié)對(duì)已建立波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析模型有效性開展模型驗(yàn)證。模型有效性驗(yàn)證主要包含兩部分,分別是曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析模型有效性驗(yàn)證和波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析模型有效性驗(yàn)證。模型有效性驗(yàn)證的具體措施是將本文模型的求解結(jié)果有限元軟件求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

首先開展曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析模型有效性驗(yàn)證,將本文模型求解結(jié)果分別與有限元軟件ABAQUS和ANSYS 軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如表1 所示。同時(shí)指出,曲梁結(jié)構(gòu)模型參數(shù)為：E=2.1e11Pa；v=0.3；b=h=0.001m；R=0.5m；α=60°。

表1 曲梁結(jié)構(gòu)模型的固有頻率對(duì)比驗(yàn)證

從表1 不難看出,在不同邊界條件下,本文模型求解得到的前五階固有頻率與有限元軟件的計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性。緊接著,開展波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析模型有效性驗(yàn)證,對(duì)比結(jié)果如表2 所示。同時(shí)指出,波 紋 曲 梁 結(jié) 構(gòu) 模 型 參 數(shù) 為：E=2.1e11Pa；v=0.3；2α1=α2=α3=α4=2α5=90°；b=h=0.01m；R=0.5m。

表2 波紋曲梁結(jié)構(gòu)模型的固有頻率對(duì)比驗(yàn)證

從表2 不難看出,在不同邊界條件下,本文模型求解的前五階固有頻率與有限元軟件求解結(jié)果在總體趨勢(shì)上具有較好的一致性,但是個(gè)別階數(shù)存在較大誤差。根據(jù)上述模型對(duì)比結(jié)果,本文模型能夠求解波紋曲梁結(jié)構(gòu)在不同邊界條件下的自由振動(dòng)特性。

2.3 模型參數(shù)化研究

由上所述,本文模型有效性已經(jīng)得到驗(yàn)證,可以用于分析波紋曲梁結(jié)構(gòu)在一般邊界條件下的自由振動(dòng)特性。本節(jié)將通過研究波紋曲梁結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)其在簡(jiǎn)支邊界條件下自由振動(dòng)特性的影響來開展波紋曲梁結(jié)構(gòu)自由特性分析。

首先研究厚度對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率的影響,具體結(jié)果如圖3 所示。除了厚度h 以外,其余模型參數(shù)與表2 中所用的模型參數(shù)相同。

圖3 波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率隨厚度的變化規(guī)律

從圖3 可以看出,在簡(jiǎn)支邊界條件下,波紋曲梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率隨厚度的增加而增加。結(jié)果表明,隨著厚度h 的增加,波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率向高頻方向移動(dòng),波紋曲梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性得到顯著提高。

緊接著研究曲率半徑R 對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率的影響,具體結(jié)果如圖4 所示。除了曲率半徑R 以外,其余模型參數(shù)均與表2 中所用的模型參數(shù)相同。

圖4 波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率隨曲率半徑的變化規(guī)律

從圖4 不難看出,在簡(jiǎn)支邊界條件下,波紋曲梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率隨曲率半徑R 的增加而減小。結(jié)果表明,隨著曲率半徑R 的增加,波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率向低頻方向移動(dòng),波紋曲梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性顯著降低。

最后研究曲梁弧度α 對(duì)波紋曲梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率的影響,具體結(jié)果如圖5 所示。除了曲梁弧度α 以外,其余模型參數(shù)與表2 中所用的模型參數(shù)相同。

圖5 波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率隨曲梁弧度的變化規(guī)律

從圖5 可以看出,前三階固有頻率隨著曲梁弧度的增加而減少。結(jié)果表明,隨著曲梁弧度α 的增加,波紋曲梁結(jié)構(gòu)固有頻率向低頻方向移動(dòng),波紋曲梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性顯著降低。

3 結(jié)論

3.1 本文基于厚曲梁理論,采用有限元法建立一般邊界條件下波紋曲梁結(jié)構(gòu)統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)分析模型。

3.2 將本文模型求解結(jié)果與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,開展模型驗(yàn)證。結(jié)果表明,本文模型求解具有較好穩(wěn)定性和求解精度,可以用于求解一般邊界條件下波紋曲梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。

3.3 對(duì)已建立波紋曲梁結(jié)構(gòu)開展參數(shù)化研究,結(jié)果表明隨著厚度增加,波紋曲梁結(jié)構(gòu)共振頻率向高頻方向移動(dòng),穩(wěn)定性得到顯著提高。隨著曲率半徑和曲梁弧度的增加,波紋結(jié)構(gòu)固有頻率向低頻移動(dòng),穩(wěn)定性得到顯著降低。