郭敏

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的把握與合理教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì). 關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)應(yīng)從“四基”角度進(jìn)行，教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)重在對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)的預(yù)設(shè).兩者相互結(jié)合，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；知識(shí)本質(zhì)；教學(xué)活動(dòng)；核心素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)教育專家、原東北師范大學(xué)校長(zhǎng)、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)史寧中教授，在談及數(shù)學(xué)教育中應(yīng)當(dāng)遵循什么樣的原則時(shí)，曾經(jīng)給出了這樣的答案：至少應(yīng)當(dāng)遵循兩個(gè)原則，一個(gè)原則是把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，另一個(gè)原則是設(shè)計(jì)并實(shí)施合理的教學(xué)活動(dòng).

筆者注意到，這個(gè)問題的提出與回答，是在討論如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的背景下進(jìn)行的. 眾所周知，核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)前的一個(gè)熱門話題，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)則是高中數(shù)學(xué)教師比較關(guān)心的主題之一，作為引領(lǐng)下一段高中數(shù)學(xué)教學(xué)方向的重要理念，史寧中教授提出上述兩個(gè)教學(xué)原則，對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)未來的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)有著什么樣的啟發(fā)？筆者對(duì)此進(jìn)行了深入思考，并嘗試做出了回答.下面分四點(diǎn)進(jìn)行闡述：

數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒話題

數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中是從“四基”角度來闡釋的，關(guān)于四基，一線教師通常并不陌生，就是在原有基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，增加的基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).必須肯定的是，“雙基”曾經(jīng)引領(lǐng)中國(guó)基礎(chǔ)教育取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在此基礎(chǔ)上增加基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上是呼應(yīng)了基礎(chǔ)教育發(fā)展的需要，使得數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)及其教學(xué)的理解更為完整.

這是一個(gè)重要的判斷，因?yàn)閷W(xué)生所習(xí)得的數(shù)學(xué)如何，很大程度上取決于教師的教學(xué)，而教師的教學(xué)又取決于自身的教學(xué)理念，即對(duì)“四基”的理解. 坦率說，日常教學(xué)中，很少有教師明確會(huì)從“四基”角度去認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容的，更多的是基于該知識(shí)在應(yīng)試中的地位去確定其重要與否的. 不可否認(rèn)，應(yīng)試是必須面對(duì)的，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解，尤其是面對(duì)即將到來的核心素養(yǎng)培育需要，進(jìn)一步準(zhǔn)確地從“四基”角度認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，則更是必要的.

以“集合與元素”這一內(nèi)容為例，從基礎(chǔ)知識(shí)的角度認(rèn)識(shí)，其需要學(xué)生掌握集合與元素的定義，需要學(xué)生認(rèn)識(shí)到集合與定義的聯(lián)系，重點(diǎn)是集合的確定性、互異性與無序性三大特征，通常需要讓學(xué)生能夠表述這些內(nèi)容并能夠結(jié)合實(shí)例進(jìn)行判斷. 從基本技能的角度來看，基于對(duì)集合概念及集合中元素的特性的理解，通常需要讓學(xué)生能夠掌握集合的判定辦法（能清楚地界定集合內(nèi)有哪些元素，這些元素必須互不相同，且總體不會(huì)因順序的改變而改變），掌握集合的表示方法（通常包括自然語言法、列舉法、描述法、韋恩圖法等），這實(shí)際上是日常教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，是面向應(yīng)試需要的教學(xué)重心. 從基本思想的角度來看，很少有人意識(shí)到集合在作為高中數(shù)學(xué)最基本的知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，這其實(shí)也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想教學(xué)的機(jī)會(huì).因?yàn)榧媳旧砭褪且环N思想，當(dāng)將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象從一個(gè)數(shù)變成一類元素時(shí)，集合思想就產(chǎn)生了，在集合概念基礎(chǔ)上建立子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集等，都可以視作是對(duì)應(yīng)的子集思想、交集思想……的產(chǎn)物.在實(shí)際教學(xué)中，借助于集合的表示尤其是韋恩圖的表示來進(jìn)行集合的教學(xué)，就可以讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的形成與運(yùn)用過程. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是相對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)而言的，集合概念的教學(xué)既可以遵循數(shù)學(xué)知識(shí)演繹的思路，也可以遵循數(shù)學(xué)活動(dòng)的思路，尤其是對(duì)于抽象思維能力較弱的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)更是必要的. 這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)是狹義的，僅指帶有體驗(yàn)性的活動(dòng)，如將自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等實(shí)物化，以物或人來表征它們，然后去講授集合概念，就可以視作是一種數(shù)學(xué)活動(dòng).

可以肯定的一點(diǎn)是，從“四基”角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)及其教學(xué)，其可以拓寬教師的經(jīng)驗(yàn)視野，從而為后續(xù)的有效教學(xué)及核心素養(yǎng)培育服務(wù).

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)重心

上面提到了，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果如何取決于教師的教學(xué)，這個(gè)教學(xué)實(shí)際上就是指教學(xué)活動(dòng). 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)開始之前，必然有一個(gè)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的過程，這個(gè)過程應(yīng)當(dāng)是教師的教學(xué)工作中永恒的重心.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)是對(duì)教學(xué)活動(dòng)的預(yù)設(shè)，設(shè)計(jì)的是教學(xué)活動(dòng)，需要思考的卻是學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能的思維過程.基于對(duì)學(xué)生思維的預(yù)設(shè)，是教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的重要選擇.

在“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)中，讓學(xué)生利用定義去判斷函數(shù)的奇偶性，筆者預(yù)設(shè)了這樣的兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一是跟學(xué)生明確利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟；二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行奇偶性定義的等價(jià)變形. 在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，需要建立的步驟是：先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以判斷其是不是具有奇偶性，如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)入下一步，即用-x去代替x，看得到的f（-x）與f（x）的關(guān)系. 在第二個(gè)環(huán)節(jié)中，要演繹出的關(guān)系是：對(duì)于偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），有f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）=1（f（x）≠0），反之亦然；對(duì)于奇函數(shù)，則有f（-x）= -f（x），有-f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）= -1（f（x）≠0），反之亦然.

本教學(xué)中的關(guān)鍵在于，學(xué)生在理解、生成這些知識(shí)的時(shí)候，會(huì)有哪些思維過程呢？筆者的預(yù)設(shè)是：在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生容易忽視的是對(duì)函數(shù)的定義域的判斷，而事實(shí)上這一步非?；A(chǔ)，要讓學(xué)生重視這一點(diǎn)，教師更貼切的做法不是事先跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)判斷定義域的重要性，而是在學(xué)生因忽視了定義域判斷而出錯(cuò)之后再進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，這樣的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，往往更容易讓學(xué)生形成印象；但需要注意的是，遵循這一教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)思路，需要提供的例題要具有典型性，同時(shí)要防止學(xué)生因?yàn)槌醮纬鲥e(cuò)而形成負(fù)遷移；對(duì)于第二個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，其實(shí)已經(jīng)是對(duì)此前教學(xué)過程的概括，因?yàn)檫@樣的一個(gè)流程，需要學(xué)生對(duì)用定義去判斷奇偶函數(shù)的思路有相當(dāng)充分的認(rèn)識(shí)，這個(gè)過程中追求的是學(xué)生表述過程的流利性，越流利說明學(xué)生的思路越清晰.

總體而言，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)必須高度重視對(duì)學(xué)生思維的預(yù)判，而這需要教師積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)尤其是學(xué)生會(huì)產(chǎn)生哪些錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律去做出判斷.

核心素養(yǎng)培育，面向?qū)W生的教學(xué)取向

目前對(duì)核心素養(yǎng)有兩個(gè)層面的理解，一是宏觀層面的核心素養(yǎng)，二是學(xué)科層面的核心素養(yǎng). 后者是前者的下位概念，是前者的學(xué)科化、具體化.核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)培育學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模三個(gè)角度去進(jìn)行培養(yǎng)（這是史寧中教授等人的觀點(diǎn)，另外三個(gè)要素即數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析可以分別滲透在前三者之中）.

對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是需要面向?qū)W生，從文章開頭所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)兩個(gè)角度來看，核心素養(yǎng)的培育是建立在數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握基礎(chǔ)之上的，關(guān)于這一點(diǎn)目前已經(jīng)得到了普遍認(rèn)同，即核心素養(yǎng)的培育并不意味著淡化數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，相反需要做出的努力是教師要設(shè)計(jì)出更為合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以讓學(xué)生在活動(dòng)中生成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.更有一點(diǎn)重要認(rèn)識(shí)是，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)本身雖然是培育的重要對(duì)象，但對(duì)于學(xué)生而言，核心素養(yǎng)的形成卻又不是一個(gè)可以速成的過程，用史寧中教授的觀點(diǎn)來看，“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上是要學(xué)生自己‘悟出來的”.筆者以為，這里所說的“悟”有兩層含義：一是悟是一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，是一個(gè)從體驗(yàn)到認(rèn)知形成的過程；二是悟是一個(gè)需要等待的過程，這意味著在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能預(yù)設(shè)核心素養(yǎng)的培育目標(biāo)，不能認(rèn)為某個(gè)知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)認(rèn)真設(shè)計(jì)了，核心素養(yǎng)就能夠形成了. 實(shí)際上，即使是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成，不同學(xué)生的認(rèn)識(shí)也是有所不同的，同樣是用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟的掌握，有的學(xué)生概括能力強(qiáng)，有的學(xué)生概括能力弱，這就意味著“概括”這一素養(yǎng)的形成就是不同步的.

因此，面向?qū)W生個(gè)體的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與認(rèn)知能力去思考核心素養(yǎng)培育的途徑，是很重要的.

從本質(zhì)到活動(dòng)，核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ)

從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，到數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，這是一個(gè)將“死”的知識(shí)進(jìn)行教學(xué)視角下的理解，并進(jìn)一步“活化”的過程，學(xué)生要經(jīng)歷的是一個(gè)知識(shí)生成的過程，并在此過程中進(jìn)行深度思考（思考的即為數(shù)學(xué)知識(shí)之意的關(guān)系與數(shù)學(xué)邏輯），進(jìn)而提升自身的學(xué)習(xí)品質(zhì)，以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的準(zhǔn)確理解.

關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師的基本素養(yǎng)，反映著數(shù)學(xué)教師的課程理解水平；關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，是數(shù)學(xué)教師的重要素養(yǎng)，反映著數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中思維特點(diǎn)的認(rèn)識(shí). 從核心素養(yǎng)及其培育的視角來看，只有兩者有效結(jié)合，核心素養(yǎng)才能像植根于肥沃土壤的樹苗一樣茁壯成長(zhǎng).

因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)以及數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)是必要的，其既是既往數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，也是核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).