翁晨陽(yáng)

[摘 要] MPCK本質(zhì)是教師如何將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，在教學(xué)過(guò)程具備顯著的知識(shí)意義. 本文通過(guò)對(duì)幾何畫(huà)板環(huán)境下基于MPCK的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)，展示誘導(dǎo)公式引入、推導(dǎo)、記憶鞏固的過(guò)程，分析并思考了幾何畫(huà)板與MPCK在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用方式及其意義.

[關(guān)鍵詞] 幾何畫(huà)板；MPCK；教學(xué)設(shè)計(jì)

概述

擁有知識(shí)的人，才能成為教師，已經(jīng)成為共識(shí). 隨著時(shí)代與科技的不斷飛躍發(fā)展，“教師需要怎樣的知識(shí)”，以及如何有效地通過(guò)課堂教學(xué)達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，從知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀方面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，逐漸成為大家關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.

20世紀(jì)80年代，美國(guó)學(xué)者提出PCK（教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）的概念——PCK是指教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)所具有的獨(dú)特知識(shí). 2009年，黃毅英教授將PCK融入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，構(gòu)建了MPCK結(jié)構(gòu)模式，MPCK由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）和關(guān)于教育技術(shù)的知識(shí)（TK）構(gòu)成. 隨著教師MPCK能力的不斷增強(qiáng)，其數(shù)學(xué)知識(shí)越豐富、教學(xué)方法越多樣、教學(xué)設(shè)計(jì)更加靈活，在教學(xué)過(guò)程中，能更好地依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)以及認(rèn)知風(fēng)格，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的最優(yōu)化.

幾何畫(huà)板，是現(xiàn)代信息教育技術(shù)中的可視化動(dòng)態(tài)教育軟件，可以改變學(xué)生傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 利用幾何畫(huà)板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生的觀察與思考，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段上的缺陷，促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展的有效性.

基于此，MPCK理論有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步發(fā)展對(duì)教師專(zhuān)業(yè)的認(rèn)識(shí)，幫助教師“組織、呈現(xiàn)、調(diào)整”數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方式；幾何畫(huà)板則可以從教育技術(shù)角度，幫助教師實(shí)現(xiàn)可視化動(dòng)態(tài)教學(xué)，彌補(bǔ)學(xué)生在直觀想象或數(shù)學(xué)運(yùn)算方面存在的不足. 兩者都是提升數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的重要途徑. 如何將MPCK理論與幾何畫(huà)板巧妙地融合，并應(yīng)用于實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，顯得極為重要.

本文以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”一課為例，以幾何畫(huà)板為主要工具，結(jié)合MPCK理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并對(duì)該設(shè)計(jì)進(jìn)行思考與分析.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

日常生活中，摩天輪在游樂(lè)場(chǎng)極為常見(jiàn)，其本質(zhì)是一個(gè)繞圓心不停轉(zhuǎn)動(dòng)的圓，我們可以發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象：不論轉(zhuǎn)幾圈，我們都會(huì)經(jīng)過(guò)同一地方；在一圈里面，我們會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)高度相同的地方……

提出問(wèn)題：如果假設(shè)摩天輪在水平地面上，這里的高度可以視作什么三角函數(shù)？結(jié)合之前所學(xué)的三角函數(shù)的定義，如何去探究這種規(guī)律性呢？

設(shè)計(jì)意圖：由實(shí)際模型出發(fā)，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，將現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)相聯(lián)系，緊密結(jié)合三角函數(shù)的定義，對(duì)前面所學(xué)知識(shí)進(jìn)行及時(shí)鞏固，同時(shí)讓學(xué)生理解到學(xué)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的必要性.

2. 借助圖像，直觀感知

事實(shí)上，摩天輪問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)學(xué)抽象形成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，將摩天輪視作單位圓，摩天輪上的任意乘客即為在圓周上不停轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn). 教師在幾何畫(huà)板中將該模型呈現(xiàn)出來(lái)，其中O點(diǎn)即為摩天輪的圓心，A點(diǎn)即為摩天輪上的某一位游玩者在某一瞬間所處的位置. 通過(guò)度量角α，計(jì)算角所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，點(diǎn)A為圓周上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕，讓點(diǎn)A即角的終邊OA繞圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)學(xué)生觀察，在幾何畫(huà)板中的截圖如圖1所示.

提出問(wèn)題：對(duì)于任意角α，終邊轉(zhuǎn)動(dòng)，其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值有什么樣的變化規(guī)律？

教師指出：經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察，發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律，比如，終邊經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角函數(shù)值永遠(yuǎn)是一樣的，不隨角度的增大而增大；終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的正弦值是一樣的……這些，實(shí)際上都說(shuō)明單位圓上，終邊轉(zhuǎn)動(dòng)其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值具有周期性以及對(duì)稱(chēng)性.

設(shè)計(jì)意圖：由三角函數(shù)的定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將生活中的實(shí)際問(wèn)題抽象為一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度思考摩天輪問(wèn)題中所蘊(yùn)含的規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)可視化的優(yōu)點(diǎn)，可以幫助學(xué)生產(chǎn)生更加直觀的感知，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)終邊旋轉(zhuǎn)過(guò)程的觀察，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出終邊位置對(duì)應(yīng)的角與三角函數(shù)值的關(guān)系及變化的多方面規(guī)律，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考的能力.

3. 抽象思維，公式推導(dǎo)

在情境創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題引入階段，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并探索終邊、角、三角函數(shù)值之間的一般性規(guī)律，包括對(duì)稱(chēng)性、周期性等多方面的規(guī)律，從三角函數(shù)應(yīng)當(dāng)具備的性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行探究. 在本環(huán)節(jié)，教師需引導(dǎo)學(xué)生由一般到特殊，即以在直觀感知過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)規(guī)律為例，進(jìn)行抽象思維與公式推導(dǎo).

誘導(dǎo)公式圍繞三角函數(shù)的周期性以及對(duì)稱(chēng)性展開(kāi)，在此，筆者以終邊具有對(duì)稱(chēng)關(guān)系的角為例，結(jié)合幾何畫(huà)板對(duì)公式推導(dǎo)的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì).

圖2是在幾何畫(huà)板中依次作出角的終邊OA分別關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的終邊，計(jì)算各個(gè)終邊所對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值，教師向?qū)W生展示在幾何畫(huà)板中，隨著點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)，相應(yīng)三角函數(shù)值的變化情況.

2. 關(guān)于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)的幾點(diǎn)思考

（1）從特殊到一般還是從一般到特殊？

不論是從特殊到一般還是從一般到特殊，兩者都可以較好地呈現(xiàn)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，筆者認(rèn)為，該節(jié)課中從一般到特殊，更有利于對(duì)學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，促使學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從特殊到一般，容易出現(xiàn)學(xué)生過(guò)于關(guān)注一開(kāi)始教師給的特殊情況：特殊三角函數(shù)值的計(jì)算，進(jìn)而忽略了對(duì)誘導(dǎo)公式應(yīng)有地位的把握.

（2）“任意”如何更好地體現(xiàn)？

通過(guò)對(duì)其他教師的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行觀摩，筆者發(fā)現(xiàn)，任意角實(shí)際上就是規(guī)律的一般情況，部分教師會(huì)采取多試幾個(gè)特殊值的方式，直接跳到任意角，沒(méi)有學(xué)生自我檢驗(yàn)的過(guò)程，因此，利用幾何畫(huà)板這一動(dòng)態(tài)可視化工具，可以直觀地向?qū)W生展示角的任意性，不會(huì)局限學(xué)生的思維.

結(jié)束語(yǔ)

基于MPCK理論，結(jié)合幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效果的最優(yōu)化，教師應(yīng)當(dāng)提升自己的MPCK能力以及對(duì)現(xiàn)代教育技術(shù)的掌握水平，才可以推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升與發(fā)展.