楊雪梅
【摘要】 在新一輪課程改革中,重視學生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一次急迫而有益的探索。本文以數(shù)列內(nèi)容為例對高中數(shù)學核心素養(yǎng)的滲透教學進行了探討。
【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng) 滲透 數(shù)列
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711(2018)07-012-02
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如何踐行數(shù)學核心素養(yǎng)的落地?在課堂教學中,筆者認為“數(shù)列”部分是個多么好的針對數(shù)學素養(yǎng)進行培養(yǎng)的機會!本文以數(shù)列內(nèi)容為例對高中數(shù)學核心素養(yǎng)的滲透教學進行了以下探討。希偕行指教。
一、巧設(shè)情境導入,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象
學生剛剛接觸數(shù)列內(nèi)容感覺很抽象。因此,我們要多讓學生感受數(shù)列知識的生成,才能激發(fā)學生的求知欲。
片段一:講“等差數(shù)列前n項和公式”時用了趣味故事引入法
在講授“等差數(shù)列求和公式”時,引入數(shù)學小故事:德國的數(shù)學家高斯讀小學時,老師出了一道算術(shù)題:“1+2+3+……+100=?”高斯很快寫出了答案——5050.高斯是用什么方法做得這么快呢?這時學生出現(xiàn)驚疑,產(chǎn)生一種強烈的探究反響。我再點明課題:這就是今天要講的等差數(shù)列的求和方法——倒序相加法。
用故事引入迎合了學生強烈的求知欲,使學生享受到探索新知識的快樂,同時也滲透了數(shù)學文化。
片段二:講“等差數(shù)列前n項和公式”時也可用練習“碰壁”導入法
學習 “等差數(shù)列前n項和”時,可給學生安排如下課堂練習:思考如何求下列和?①前 100個自然數(shù)的和:1+2+3+…+100=;②前 n個奇數(shù)的和:1+3+5+…+(2n-1)=;③前 n個偶數(shù)的和:2+4+6+…+2n=。 讓學生到黑板上嘗試解答,先碰碰壁,若第一題可以勉強解決的話,后兩道則必須尋找解題的技巧與規(guī)律了,使學生對“等差數(shù)列前n項和”的知識有了強烈的認知欲望,此時開始學習恰到好處。
片段三:講《等比數(shù)列的前n項和公式》時,用了設(shè)疑式導入法
在講授《等比數(shù)列的前n項和公式》時,對學生說:同學們,我愿意在一個月(按30天算)內(nèi)每天給你們1000元,但在本月內(nèi),你們要:第一天給我回扣1分錢,第二天給我回扣2分錢,第三天給我回扣4分錢……即后一天回扣的錢數(shù)是前一天的2倍,你們愿不愿意?此問題一出立即引起學生的極大興趣,同桌之間開始爭論不休,這么“誘人”的條件到底有沒有陷阱?也開始埋頭計算,只有算出“收支”對比,才能回答愿與不愿。“支”就是一個等比數(shù)列的前n項和的問題,如何求出這個等比數(shù)列的前n項和呢?這就需要我們探索出等比數(shù)列的求和方法及求和公式了。通過這個與社會生活實際密切聯(lián)系的例子不但使學生產(chǎn)生求知的熱情及濃厚的興趣,也對引出等比數(shù)列的前n項和公式起到自然引入的作用。
二、不遺余力的滲透數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的邏輯思維與直觀想象
1.如,對等差數(shù)列的前n項和公式Sn=na1+n(n-1)2d,引導學生從以下幾個角度去認識:
(1)方程的思想:公式是反映Sn、a1、n、d這四個兩的關(guān)系式,知三可求其一。
(2)函數(shù)思想:公式變形為Sn=d2n2+(a1-d2)n,前n項和Sn是項數(shù)n的函數(shù),若d≠0,這是缺常數(shù)想的二次函數(shù)。
(3)數(shù)形結(jié)合的思想:當d≠0時,點(n,Sn)在過原點的拋物線上。若d0,a10,則Sn有最大值;若d 0,a10,則Sn有最小值。又公式可變形為snn=d2n+(a1-d2),所以點(n,Sn)在斜率為d2的直線上。
這樣既可提高學生的運算能力,又可提高學生運算能力和思辨能力,使學生理解公式,不死記硬背,養(yǎng)成做事嚴謹?shù)钠焚|(zhì)。
2.在運用公式中深化分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式
Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)
例題:在等比數(shù)列{ an }中,已知a3 = 32,S3 =92 ,求a1與公比q.
很多學生出現(xiàn)下面的錯解:由已知得: a1=32a1(1-q3)1-q=92 ,有部分學生解出Sn=a1=6q=-12 ;也有部分學生解出Sn=〗a1=6q=-12 或Sn=a1=32
q=1 。這些解法都能利用方程的思想,由兩個條件列出兩個方程,通過解方程把a1與q求出來,但均忽略了一個問題,等比數(shù)列的前n項和公式 Sn=a1(1-qn)1-q 必須當公比q≠1時才能使用當q = 1時,S n = na1 。以上幾種數(shù)學思想方法展現(xiàn)出一定的思維創(chuàng)新,是學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的具體表現(xiàn)。
三、常態(tài)性磨練學生的耐心與意志力,培養(yǎng)學生的數(shù)學運算
在數(shù)列教學中發(fā)現(xiàn)學生對錯位相減法的大題常常出錯,最有計算恐懼感。
例題、 求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1,(x≠1)
解:由題可知, (2n-1)xn-1的通項是等差數(shù)列2n-1的通項與等比數(shù)列 xn-1的通項之積,設(shè)Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1………①
xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn……②
①-②得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn
再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1-x)Sn=1+2x·1-xn-11-x-(2n-1)xn
∴Sn=(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)(1-x)2
面對這樣一個結(jié)果,學生需要有耐心和很好數(shù)據(jù)處理能力才能算出正確答案,于是本人經(jīng)常鼓勵了學生用耐心和細心對待,處理好冪的運算和合并同類項等,確定運算方向與路徑,從而走出困境。
四、重視準確的數(shù)學表達,培養(yǎng)學生的概括能力
例如:《等差數(shù)列》教學片斷:
師:先閱讀以下兩個情景問題:
(下轉(zhuǎn)第202頁)(上接第12頁)
1. 小宇家里的水費:1月:90 、2月 :84、3月:78、4月:72、5月:66、6月:60
2. 高斯10歲做過的一個數(shù)學問題:計算1+2+3+4+…+100=?
師:同學們,請大家觀察歸納、形成概念。
生1: 1、90,84.78,72,66,60 ;2、1,2,3,4,… ,100.
師:非常準確,注意第2個數(shù)列中有規(guī)律的時候,中間可用 “…”代替 ;那么請同學們思考上述數(shù)列有什么共同特點?
生2:都是數(shù)列。
生3:不對 ,第一個數(shù)列從90到60逐漸減小,第兩個數(shù)列從 1 到100也在逐漸增大。(得意)
師 :大家想一想它們除了增大、減小,還有沒有規(guī)律?
生4:大家看:90—84=6,84—78=6…;1—2=-I,2-3=-1… 所以我認為這 2個數(shù)列,每個數(shù)列后面的一個減前面一個的差都相等。師:太棒了,抓住了本質(zhì)了;同學們認為還應該從那些地方入手,能夠更規(guī)范的表達?
生5:我認為應該說更清楚一點,是從第2項起每一項與前面1項的差相同。
師:非常好 ,其實,凡是滿足上面條件的數(shù)列我們把它叫做 “等差數(shù)列”,常數(shù) d稱為公差。
師:同學們,如何將上述等差數(shù)列概念的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號語言?
這樣便得到等差數(shù)列數(shù)學符號語言形式:an+1-an=d(常數(shù)),培養(yǎng)了學生的表達能力和高度概括力。
綜上,筆者認為“數(shù)列”部分是個多么好的針對數(shù)學核心素養(yǎng)進行培養(yǎng)的機會!作為一線的教師在教學中要經(jīng)常聯(lián)系實際,創(chuàng)造條件,積極探索,使學生的核心素養(yǎng)得到真正的培養(yǎng)和提高。
[ 參 考 文 獻 ]
[1]任子朝.《高考能力測試與實體設(shè)計(數(shù)學)》 北京教育出版社,2001年1月.
[2]蔣智東.《從提高學生運算能力的角度談數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)》, 2016年11月.