黃也珂
摘要:數(shù)列在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占據(jù)著極其重要的地位,它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點也是難點,許多同學(xué)在做題時都感覺無規(guī)律可循而無從下手。其實,數(shù)學(xué)每個版塊的題目經(jīng)仔細推敲都能總結(jié)出其相應(yīng)的解題規(guī)律,本文就高中數(shù)列部分探討了該部分題目的解題思路,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)意義。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);數(shù)列;解題;思路
數(shù)列在高中數(shù)學(xué)教材中是一個獨立的版塊,且又是許多其他數(shù)學(xué)知識的交叉點。經(jīng)過對高考試題的分析發(fā)現(xiàn),其中許多綜合性的題目就是數(shù)列知識與不等式、函數(shù)及方程等知識的結(jié)合,由此可見其地位的重要性。在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中,老師們還會經(jīng)常提及大學(xué)學(xué)習(xí)的極限知識與我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)列知識之間密切的聯(lián)系,所以學(xué)好數(shù)列知識也能為今后進入大學(xué)后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。為此,以本人的高中數(shù)列學(xué)習(xí)經(jīng)驗,總結(jié)了數(shù)列題目的幾種解題思路,希望能幫助同學(xué)們提升解題的速度和準(zhǔn)確性,從而取得更好的成績。
一、數(shù)列中有關(guān)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)的題目
(1)有關(guān)基礎(chǔ)概念的題目
對于有關(guān)數(shù)列基礎(chǔ)概念的題目,此類題目相對簡單一些,沒有特殊的解題技巧,只需要我們熟悉的掌握通項公式或前n項和公式,然后將公式直接帶人題目中進行解答即可。例如,對于等差數(shù)列的題目,我們只要清楚熟練地掌握al、an、n、d、Sn五個量之間的關(guān)系,就能靈活的解答;同樣對于等比數(shù)列的題目,弄清al、an、n、q、Sn這五個量之間的關(guān)系,它對應(yīng)的題目也能迎刃而解。因此,在學(xué)習(xí)數(shù)列時,要自覺強化對基礎(chǔ)概念公式的掌握。
(2)有關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)的題目
分析高考試卷后發(fā)現(xiàn),有關(guān)數(shù)列性質(zhì)的考察往往是在基礎(chǔ)題中以另外一種說法的形式出現(xiàn)。例如,在等差數(shù)列{an}中,a4+a6=25,求a3+a7。解析本題,我們已知等差數(shù)列有一個性質(zhì)為當(dāng)m+n=p+q時,am+an=ap+aq,所以求得a3+a7=a4+a6=25,這類就是對數(shù)列基礎(chǔ)性質(zhì)的考察。等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)有相同之處但也有一定的差別,可以對它們進行類比記憶,解題時才能更靈活的應(yīng)用。
二、數(shù)列中考查通項公式的題目
數(shù)列中針對通項公式的題目是比較常見的,尤其是數(shù)列求和問題一直是高考考查的重點。此處介紹幾種常見且有效的方法。
(1)錯位相減法:主要用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項相乘的求和的類型的題目中,例如,在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差數(shù)列。①求數(shù)列{an}的通項公式;②設(shè)hn=log3an,求數(shù)列{an bn}的前n項和Sn。錯位相減法是用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式方法的推廣,其具體方法是通過錯位將次冪相同的項相減,使得這些項的系數(shù)相等,題目中的數(shù)列就會轉(zhuǎn)化成局部的等比數(shù)列的形式,從而使得問題得到解決。
(2)分組法求和:對于一些既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列而不能直接進行求和的題目,將題目的數(shù)列進行拆分,拆分成幾個不同的易于計算的等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后再將拆分完以后的數(shù)列進行逐個求和,最后把所有的結(jié)果加起來即為最終結(jié)果。
(3)合并法求和:此法的關(guān)鍵在于找出數(shù)列中的特殊項,然后將特殊項進行合并,使一些項自動消減剩下簡單的形式利于問題的順利解決。
(4)裂項法求和:運用裂項法求和一定要找到正確的裂項方法,通常裂項后中間的數(shù)據(jù)會相互消減為零或一些固定的數(shù)值,只留下首尾的數(shù)據(jù)進行運算即可。例如,若bn=1/[n(n+1)],求數(shù)列{bn}的前n項和sn,則可把bn進行裂項為(1/n)[1/(n+1)1再進行求解。
(5)通項求和:通項求和一般會把題目中的每一個數(shù)值拆分成兩個數(shù)值,然后把全體拆分后的所有數(shù)值中可遵循同一規(guī)律的放在一起求和來解數(shù)列問題,此類方法會用到函數(shù)、方程等部分的知識點可能會有一定的難度。
三、有關(guān)經(jīng)典數(shù)列模型的題目
在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,老師還會給我們講授一些非常經(jīng)典且有著深厚文化背景的題目,例如斐波那契數(shù)列和楊輝三角,我們都可以對此類數(shù)學(xué)模型進行總結(jié)。所以,在學(xué)習(xí)數(shù)列時,我們也可以把同一類型的數(shù)列建立一個數(shù)學(xué)模型,將相關(guān)知識點聯(lián)系起來,這樣有利于我們學(xué)習(xí)時進行舉一反三,遇到不會的或者比較困難的題目時能夠在最短的時間內(nèi)根據(jù)已掌握的數(shù)學(xué)模型想到題目的解題思路。這樣不僅能提升我們的解題效率,還能建立起我們學(xué)習(xí)的自信心。
四、結(jié)語
綜上所述,要解決數(shù)列問題就應(yīng)該在牢固掌握基本概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,多加練習(xí),善于總結(jié),在做題的過程中發(fā)掘他們隱藏的規(guī)律,做題時能舉一反三,將所學(xué)知識點聯(lián)系起來。我們都知道,發(fā)掘題目隱藏的規(guī)律絕不是一朝一夕就能完成的,這需要我們分析足量的題目,探究各式各樣的題目,真正掌握解題技巧后才能省事省力的答題。文中如有不當(dāng)之處,還望老師和同學(xué)提出寶貴意見,以期改正。