劉之兵，楊正義

（四川省資中縣第二中學(xué)；四川省資中縣教育局教研室）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）根據(jù)數(shù)學(xué)具有過程和結(jié)果的雙重性特征，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要統(tǒng)籌兼顧過程與結(jié)果，以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.但經(jīng)過大量的課堂觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中重結(jié)果輕過程、重過程輕本質(zhì)、重過程輕主體的現(xiàn)象在一定程度和范圍內(nèi)還普遍存在，這與新課程改革步入深水區(qū)的步伐嚴(yán)重相悖，究其原因主要是過程教育的操作方法綜合性強(qiáng)、彈性大、要求高，稍有不慎，結(jié)果是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，達(dá)不到理想的教學(xué)效果.筆者認(rèn)為還是要發(fā)動學(xué)生，實(shí)事求是，不斷創(chuàng)新.為此，我們選取平時(shí)觀評課中的一些片斷，探討“四個(gè)知道”，即學(xué)生已經(jīng)知道了什么、學(xué)生能知道什么、學(xué)生想知道什么、學(xué)生要知道什么，以此來構(gòu)建生成式數(shù)學(xué)課堂.

一、學(xué)生已經(jīng)知道了什么

影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.事實(shí)上，對于學(xué)生，我們知道的太少.我們以為是問題情境的東西已經(jīng)不是問題，有時(shí)候?qū)W生已經(jīng)明白了，我們還在試圖把他們拉到既定的軌道上，如此尷尬的事都屢屢發(fā)生.因此，人們更愿意把學(xué)生當(dāng)成接收知識的容器，并把教材作為教學(xué)的根本邏輯開展教學(xué)，這樣做省時(shí)又省力.這樣的教學(xué)，以教為主，以學(xué)為輔，重教輕學(xué)，是“以教為本”的教學(xué).

奧蘇貝爾說過，如果我必須將教育心理學(xué)的全部原理歸結(jié)為一句話，那么我將會說，影響學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的一個(gè)因素乃是學(xué)生已經(jīng)知道的東西，肯定這一點(diǎn)并據(jù)此教學(xué).因此，回避學(xué)生并非良策，我們的教學(xué)活動，應(yīng)當(dāng)促進(jìn)師生的共同發(fā)展，踐行“以人為本”的教學(xué).

要想了解學(xué)生已經(jīng)知道的東西，并非束手無策，以下的途徑都是教學(xué)中常用的方法：課前的作業(yè)批改；教師已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)；教學(xué)活動中學(xué)生的及時(shí)反饋；教學(xué)巡視；課后與學(xué)生談話，等等.

案例1：七年級比例式中引入?yún)?shù)求代數(shù)式的值教學(xué)片斷.

例已知，試求代數(shù)式的值.

結(jié)果反饋：教師講解后，仍有相當(dāng)一部分學(xué)生根本不會，一部分學(xué)生寫出了如下解答.

由已知設(shè)x=2，y=3，z=5，則

教學(xué)討論：上述學(xué)生的解答恰好說明學(xué)生已經(jīng)知道的意思，會直接用代入法求代數(shù)式的值，不會的是用引入?yún)?shù)的方法代入求值.

事實(shí)上，七年級學(xué)生正處于具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡的階段，學(xué)生學(xué)習(xí)求代數(shù)式的值大體要經(jīng)歷：代入具體數(shù)求代數(shù)式的值—整體代入求代數(shù)式的值—代入?yún)?shù)求代數(shù)式的值，而引入?yún)?shù)求代數(shù)式的值正好是最高的層次.

上述的解題教學(xué)中，教師忽視了對學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動，置學(xué)生于接受和理解的位置，而不是積極主動的意義建構(gòu)和方法創(chuàng)造，忽視了變量思想、消元思想和函數(shù)思想的滲透，自然教學(xué)效果不佳.

針對此題，基于方法生成的教學(xué)片斷如下.

問題：同學(xué)們知道，在中，x=2，y=3，z=5是可以符合題意的，從而采用直接代入法求出了結(jié)果.那么x，y，z還可以為其他的值嗎？若等于其他的值，代入結(jié)果會變嗎？

師生活動：此時(shí)學(xué)生代入如x=4，y=6，z=10后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果不變.比較4，6，10與2，3，5，也就是將各數(shù)放大了2倍后結(jié)果不變.學(xué)生發(fā)現(xiàn)若把x，y，z同時(shí)縮小，如x=1，，代入后結(jié)果也不變.

追問：將x，y，z放大或縮小后的數(shù)永遠(yuǎn)也舉不完呀！怎么辦呢？同學(xué)們思考后交流.

師生活動：學(xué)生小組討論后，認(rèn)為可以用一個(gè)新的字母，如k來代表放大或縮小的倍數(shù)，也就是x=2k，y=3k，z=5k，其中k≠0，再代入求值.這樣，x，y，z就用一個(gè)字母k表達(dá)清楚了，完美的說明x，y，z可以取的所有允許的結(jié)果.下面師生一起寫出解答過程，略.

二、學(xué)生能知道什么

“學(xué)生能知道什么”是“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”的延伸，是教師面對具體教學(xué)任務(wù)，基于對學(xué)生的知識基礎(chǔ)、思維能力和認(rèn)知風(fēng)格對教學(xué)任務(wù)影響進(jìn)行預(yù)判，是對教學(xué)難點(diǎn)的分析和思考.只有分析清楚了學(xué)生能知道什么，才能確定在學(xué)生的現(xiàn)有水平和發(fā)展水平之間“墊幾塊石頭”及這些“石頭”之間的距離.

“學(xué)生能知道什么”從根本上講是對學(xué)生主體性的確立，只有尊重、承認(rèn)學(xué)生的主體性，學(xué)生心靈的自由發(fā)展才有邏輯的前提；只有想方設(shè)法促進(jìn)學(xué)生的主體性，學(xué)生的發(fā)展才有自在的、可持續(xù)的保障，教學(xué)活動才可能真正體現(xiàn)出教育的功能.

“學(xué)生能知道什么”的核心是分析新、舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，新知識與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系.新知識與學(xué)生所掌握的知識、方法具有必然的邏輯聯(lián)系，這就需要將新知識及其組成元素與學(xué)生已知的知識、方法比對，比對的結(jié)果反映的是需知與已知之間關(guān)聯(lián)性的量度，這就是關(guān)聯(lián)度.關(guān)聯(lián)度由新知識的組成元素的結(jié)構(gòu)與已知的知識、方法的結(jié)構(gòu)的一致性決定.結(jié)構(gòu)的一致性比對依賴于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越豐富、穩(wěn)定，越容易進(jìn)行結(jié)構(gòu)一致性比對.一致性越高，關(guān)聯(lián)度越高.面對關(guān)聯(lián)度低的新知識教學(xué)，就必須采取有效的手段，從內(nèi)容和方法兩個(gè)角度著手設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯栴}縮小差異，提高關(guān)聯(lián)度，讓學(xué)生拾級而上，自覺生成新知識.

同時(shí)，還要挖掘新知識承載的數(shù)學(xué)思想和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精神.只有在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行提升，才能提高學(xué)生的智慧水平，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人功能.

案例2：同類項(xiàng)教學(xué)片斷.

常規(guī)教學(xué)思路是在完成了什么是同類項(xiàng)的概念的教學(xué)后，教師從正例為主、反例為輔兩個(gè)方面組織學(xué)生進(jìn)行判別同類項(xiàng)的變式練習(xí).

教學(xué)討論：這樣教學(xué)是對同類項(xiàng)概念外延的全面考慮，層層遞進(jìn)，正反結(jié)合，有利于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識同類項(xiàng).但從學(xué)生的“學(xué)”的角度來看，總覺得對同類項(xiàng)的本質(zhì)認(rèn)識不夠，也少了一點(diǎn)課堂生命的靈動和神韻.

基于代數(shù)概念本質(zhì)生成的教學(xué)片斷如下.

比一比：現(xiàn)有單項(xiàng)式3x2y，以同桌為單位，二人依次寫一個(gè)與3x2y是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式，誰寫不出來誰就輸.

思考：（1）在你們寫出的單項(xiàng)式中，什么始終沒有變？

（2）如果將3x2y換成3yx2，你們寫出的單項(xiàng)式與3yx2，還是同類項(xiàng)嗎？如果不能判斷，想一想：什么是同類項(xiàng)？

（3）由剛才的比賽知道，同學(xué)們寫出了3x2y的許多同類項(xiàng)，可不可以用一個(gè)模式來表示呢？

“□x2y”表示3x2y的同類項(xiàng)，方框□中可以是哪些數(shù)？所以3x2y的同類項(xiàng)有多少個(gè)？方框□中的數(shù)字不能是哪個(gè)數(shù)？

三、學(xué)生想知道什么

“學(xué)生想知道什么”是教師在課堂教學(xué)中對教學(xué)過程的實(shí)時(shí)監(jiān)控，是對學(xué)生思維狀態(tài)的即時(shí)把握，是對學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的即時(shí)感知，是對學(xué)生學(xué)習(xí)需要的積極響應(yīng).隨之，教師以最大的努力對教學(xué)進(jìn)行調(diào)整，以契合學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程.顯然，在這樣的教學(xué)過程中，教與學(xué)高度協(xié)同、同生共長，而任何的“跑偏”也將引發(fā)教師的自我反思，促成師生的共同成長.

對“學(xué)生想知道什么”的思考基于以下認(rèn)識.

（1）教學(xué)首先是一種實(shí)踐活動.教學(xué)的實(shí)踐性就是教學(xué)在其目的、形態(tài)、過程等方面所表現(xiàn)出來的對人、文化和自身的現(xiàn)實(shí)建構(gòu)，具體改變或能動作用的規(guī)定性.教學(xué)的實(shí)踐性源自文化的實(shí)踐性，根本上源于人的實(shí)踐性.

（2）教學(xué)是為了實(shí)現(xiàn)人與文化雙重建構(gòu)的師生之間的特殊交往活動.數(shù)學(xué)教學(xué)活動就是為了加速人類數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)的學(xué)生身上的文化生成，同時(shí)，這種文化生成活動也必將促進(jìn)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展.何以加速？依靠的是高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，它必須是課堂上師生的同在，師生發(fā)出信息的交換與融合，師想生所思，生想師所想，在思維的碰撞中完成數(shù)學(xué)知識的重構(gòu)（文化的重構(gòu)），對學(xué)生來說就是完成對數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造.

以上兩點(diǎn)決定了教學(xué)是生成的，是教與學(xué)相依相存的、同在的朝向教學(xué)目標(biāo)的連續(xù)演進(jìn).怎樣了解、判斷“學(xué)生想知道什么”是教師的必修課，應(yīng)從教學(xué)理念置根，從教學(xué)設(shè)計(jì)入手，從課堂狀態(tài)著眼.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)，必須激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.這就是說教師的主要任務(wù)就是尊重學(xué)生，相信學(xué)生，依靠學(xué)生和發(fā)動學(xué)生.

精于設(shè)計(jì)、巧于應(yīng)變才能讓好的教學(xué)理念落地生根.這里很重要的一點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問題情境，其核心是引導(dǎo)學(xué)生通過系列問題深入數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，超越對于技巧性問題的過度追求，克服對數(shù)學(xué)概念表面理解的現(xiàn)象，其標(biāo)志是具有啟發(fā)性、趣味性、適時(shí)、適度、適量和發(fā)展性.

課堂都是現(xiàn)場直播，瞬息萬變.教師要用心去感知學(xué)生的課堂狀態(tài)，用專業(yè)技能去判斷學(xué)生的課堂狀態(tài)，保持課堂的張力和學(xué)生的活力.

案例3：等邊對等角教學(xué)片斷.

常規(guī)教學(xué)：關(guān)于等邊對等角的教學(xué)，華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊的設(shè)計(jì)如下.

如圖1，（1）折疊等腰三角形半透明紙片，使兩腰AB，AC重疊在一起；（2）觀察、發(fā)現(xiàn)，并提出猜想∠B= ∠C；（3）作∠BAC的平分線AD證明 ∠B=∠C.

圖1

教師一般采用這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生探討作底邊上的中線和底邊上的高線的證法.

教學(xué)討論：這個(gè)設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷“操作感知—觀察猜想—證明結(jié)論”的過程，并感受了同一個(gè)問題證明的多樣性.

在實(shí)際教學(xué)中要防止學(xué)生“被經(jīng)歷”，缺乏真正的主體經(jīng)歷.就角平分線、中線、高線三種輔助線作法而言，你是怎樣想到的呢？根在哪里呢？實(shí)際上追根溯源，在于折疊時(shí)怎樣確定AD.在作輔助線時(shí)，教師應(yīng)向?qū)W生提問：折疊△ABC時(shí)，你們是怎樣確定AD的？除了對折∠BAC外，還有其他方式確定AD嗎？學(xué)生經(jīng)歷了親身操作后，這些問題是學(xué)生能想到的.

學(xué)生能想到的，未必是學(xué)生能做到的.在作底邊上的高AD進(jìn)行證明時(shí)，會遇到如下的問題，而且這個(gè)問題往往也被教師忽略.

如圖2，作△ABC的底邊BC上的高，怎么知道點(diǎn)D就在底邊BC的內(nèi)部（不含點(diǎn)B和點(diǎn)C）.

圖2

事實(shí)上，這需要依次排除.當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B處時(shí)，根據(jù)“垂線段最段”，AC＞AB，這與已知的AB=AC相矛盾；同理，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C處時(shí)，已知矛盾.

圖3

如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，作BC的中垂線EH，點(diǎn)H為垂足，點(diǎn)E為與AB的交點(diǎn)，連接EC.易證△BEH≌△CEH.所以EC=EB.在△AEC中，AE+EC＞AC，又因?yàn)锳B=AE+EB=AE+EC，所以AB＞AC.與已知AB=AC矛盾；同理，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長上時(shí)，與已知矛盾.

綜上所述，點(diǎn)D在底邊BC的內(nèi)部（不含點(diǎn)B和點(diǎn)C）.

這顯然是學(xué)生想不到的，但問題已經(jīng)提出來，學(xué)生一定會想：這可怎么辦呢？這是可貴的求知欲，理當(dāng)?shù)玫綕M足.這就讓學(xué)生在感受同一個(gè)問題證明的多樣性時(shí)，充分體會了不同證法導(dǎo)致的差異性，也很好地感受了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，受到了數(shù)學(xué)理性精神的洗禮.

根據(jù)上述討論，基于定理生成的“等邊對等角”的教學(xué)可做如下調(diào)整.

（1）折疊等腰三角形半透明紙片，使AB，AC重合；

（2）觀察、發(fā)現(xiàn)，并提出猜想∠B=∠C；

（3）圖中的AD，你是用什么方式得到的？由此，你想到了作什么樣的輔助線？

（4）作∠BAC的平分線AD，并證明；

（5）探討輔助線AD的其他作法，作底邊上的中線的方法由學(xué)生自主完成，作底邊上的高線的方法由教師引導(dǎo)質(zhì)疑問難，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

四、學(xué)生要知道什么

“學(xué)生要知道什么”是在“學(xué)生想知道什么”基礎(chǔ)上的理性把握，是受教學(xué)目標(biāo)的規(guī)定性限制的，主要指要達(dá)到的結(jié)果性目標(biāo)，它是由《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的，需要教師深入研究《標(biāo)準(zhǔn)》和教材.作為非對稱關(guān)系的兩個(gè)主體之一的教師，就擔(dān)當(dāng)著對當(dāng)下課堂教學(xué)所呈現(xiàn)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值的確定，引領(lǐng)和激發(fā)潛在有價(jià)值的內(nèi)容.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流.這就要求教師按照《標(biāo)準(zhǔn)》要求，深挖數(shù)學(xué)本質(zhì)，采取有效措施，發(fā)揮主導(dǎo)作用.這里的教師主導(dǎo)是外在的，內(nèi)在的是學(xué)生已有知識水平與教學(xué)要求之間的矛盾，規(guī)定著教學(xué)的可能性質(zhì)與進(jìn)程.

在實(shí)際教學(xué)中容易出現(xiàn)的問題是：對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘不夠；對教學(xué)內(nèi)容的處理隨意性強(qiáng)，偏離教學(xué)目標(biāo)；教學(xué)手段與教學(xué)內(nèi)容適切性欠缺等.

案例4：三角形的中線、角平分線、高線的教學(xué)片斷.

圖4

常規(guī)教學(xué)：關(guān)于三角形的中線、角平分線、高線的教學(xué)，華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊的設(shè)計(jì)是：如圖4，（1）借助圖形直接描述概念；（2）三角形中三種特殊線段的條數(shù)說明；（3）在不同三角形中畫三角形的中線、角平分線、高線.

教學(xué)討論：顯然，借助圖形描述三角形的中線、角平分線、高線是為了降低學(xué)生理解概念的難度，并起到直觀說明的作用，有利于學(xué)生理解概念的本質(zhì).

《標(biāo)準(zhǔn)》對三角形的三種特殊線段的要求是：理解三角形的中線、高線和角平分線.上述設(shè)計(jì)的不足是三種線段的關(guān)系不清楚，及學(xué)習(xí)這三種線段的必要性體現(xiàn)不夠，所以不能很好地達(dá)成《標(biāo)準(zhǔn)》要求.

基于幾何概念本質(zhì)生成的教學(xué)片斷如下.

教師運(yùn)用幾何畫板軟件演示如圖5所示的圖形運(yùn)動變化過程.D是銳角三角形ABC的BC邊上的一動點(diǎn)，連接AD.點(diǎn)D在BC邊上移動的過程中，觀察、思考如下問題.

圖5

（1）BD，CD的長度變化了嗎？∠BAD與∠DAC的大小變化了嗎？∠ADB與∠ADC的大小變化嗎？

（2）點(diǎn)D運(yùn)動到邊BC的什么位置時(shí)，BD=DC？這時(shí)，S△ABD與S△ADC有什么關(guān)系？

我們把這時(shí)的線段AD叫做△ABC的中線.

點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí)，∠BAD=∠CAD？這時(shí)將△ABC沿AD折疊，射線AB與AC會重合嗎？

我們把這時(shí)的線段AD叫做△ABC的角平分線.

點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí)，∠ADB=∠ADC？∠ADC的度數(shù)為多少？這時(shí)，點(diǎn)A到BC邊的距離怎么樣？

我們把這時(shí)的線段AD叫做△ABC的高線.

……

五、結(jié)束語

在課堂教學(xué)中，有兩根時(shí)間軸，一根是教師預(yù)設(shè)進(jìn)度時(shí)間軸，它是教師主要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)主觀確定的；另一根是由教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生已有認(rèn)知能力和經(jīng)驗(yàn)、教師教學(xué)方法等要素確定的理論進(jìn)度的時(shí)間軸，它是客觀存在的，既具有規(guī)律性，又具有可變性和差異性.規(guī)律性是指這些要素一旦確定，完成和達(dá)到既定目標(biāo)的時(shí)間和進(jìn)度是基本確定的；可變性是指實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師教的行為和學(xué)生學(xué)的行為都具有現(xiàn)實(shí)的主觀能動性，特別是學(xué)生的思考回饋具有一定程度的不可預(yù)知性；差異性是指在班級授課制下學(xué)生的狀況存在一定程度的個(gè)體差異.在實(shí)際教學(xué)中，普遍存在的現(xiàn)象是偏離理論進(jìn)度的時(shí)間軸，為了完成教學(xué)任務(wù)而疊合預(yù)設(shè)進(jìn)度的時(shí)間軸.

探討“四個(gè)知道”就是要把握理論進(jìn)度時(shí)間軸的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，讓預(yù)設(shè)進(jìn)度時(shí)間軸盡可能疊合理論進(jìn)度時(shí)間軸，這樣的教學(xué)才能既重過程又重結(jié)果，既重過程更重本質(zhì)生成，既重過程又彰顯學(xué)習(xí)主體的生命活力.顯然，這樣的工作很有意義，但任重道遠(yuǎn)，讓我們一起努力！