孫孝武，吳永德，房一登

（海南省教育研究培訓院；北京師范大學萬寧附屬中學；海南省海南中學）

2017年海南省中考試卷第24題，沿襲了歷年來海南省中考數(shù)學壓軸題的特色.此題以二次函數(shù)為載體，充分地綜合了代數(shù)與幾何的知識，很好地滲透了數(shù)學思想方法，特別是數(shù)形結合思想.此題涉及到的數(shù)學思想方法主要有：待定系數(shù)法，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，分類討論思想，等等.此題題干表述簡煉，解題思路清晰，要求學生具有較強的分析問題和解決問題的能力.作為壓軸題，此題具有較好的效度、信度、區(qū)分度，實際閱卷后的數(shù)據(jù)分析也體現(xiàn)了這些特點.

一、試題呈現(xiàn)

題目拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和點B(5，0).

（1）求該拋物線所對應的函數(shù)解析式.

①如圖1（1），連接PC，PD，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由.

②如圖1（2），連接PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.

圖1

二、命題設想

第（1）小題求函數(shù)的解析式是基礎題，也是函數(shù)的重點內(nèi)容，這是問題設計由易到難的需要.二次函數(shù)解析式有三種形式，即一般式，頂點式，交點式.此題給出了拋物線與x軸的兩個交點坐標，如果運用交點式，設y=a(x-1)(x-5)，只有a待定，相比于運用其他兩種形式而言，這個方法比較容易，也能有效地避免差錯出現(xiàn).如果第（1）小題出了差錯，即使第（2）小題解答的思路清晰、表達完美、字跡工整，但得分不高.因為后續(xù)題目的解答都是建立在第（1）小題的基礎上，所以選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q問題很重要.

第（2）小題分為兩問，這兩問的圖形具有較高的關聯(lián)度，但考查的知識點不同.第①問重點考查在平面直角坐標系中求圖形面積的最大值，其中用割補法表示面積的思路更加普遍，解決過程中需要用字母表示變量，構造出二次函數(shù)模型，從而求最大值；第②問涉及相似三角形的知識，可以從相似三角形的不同判定方法考慮，從而衍生出不同的解法.

三、解法賞析

1.第（1）小題思路和解法賞析

思路1：利用一般式求解.

解法1：因為拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1 ，0)和點B(5，0 )，

思路2：利用交點式求解.

解法2：因為拋物線經(jīng)過點A(1，0)和B(5，0)，

所以拋物線解析式可設為y=a(x-1)(x-5).

由拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3可知，拋物線經(jīng)過點C(0，3).

所以3=a(0-1)(0-5).

思路3：利用頂點式求解.

解法3：因為拋物線經(jīng)過點A(1 ，0)和B(5，0)，

設拋物線的解析式為y=a(x-3)2+k.

將點A(1 ，0)和點C(0，3)代入y=a(x-3)2+k，

2.第（2）小題第①問思路和解法賞析

首先，求出C，D兩點坐標，

所以點C，D的坐標分別為

思路1：利用割補法表示面積，再求最大值.

解法1：由已知可設點由于點P在x軸下方，可知1＜t＜5.

因為直線PM∥Oy，分別與x軸和直線CD相交于點M，N，

所以點M，N的坐標分別為

如圖2，分別過點C和點D作直線PN的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，

則CE=t，DF=7-t.

所以當PN最大時，△PCD的面積最大.

此時，△PCD的面積最大，最大值為

圖2

圖3

解法2：如圖3，過點P作PG∥Ox，PG交直線DC于點G，

此時，S△PCD=S△PDG-S△PCG.

本方法解題過程類似于解法1，此處不再贅述.

解法3：如圖4，過點P作PE⊥Oy，垂足為點E，過點D作DF⊥EP，交EP的延長線于點F，

此時，S△PCD=S梯形CEFD-S△PCE-S△PDF.

本方法解題過程類似于解法1，此處不再贅述.

圖4

圖5

解法4：如圖5，過點P作PE⊥Oy，垂足為點E，連接DE，

此時S△PCD=S△CED+S△EPD-S△PCE.

本方法解題過程類似于解法1，此處不再贅述.

思路2：利用平行線求最大值.

解法5：如圖6，過點P作直線l∥CD，則可設直線l的解析式為

圖6

當直線l與拋物線相切時，△PCD的面積最大.

所以此時點P的坐標為

此時，點N的坐標為

此時△PCD的面積最大，

思路3：利用“化斜為直”，直接表示三角形的底和高求最大值.

解法6：如圖7，由已知，可以設點P的坐標為，由點P在x軸下方，可知1＜t＜5.

圖7

過點P作PE⊥CD于點E，過點D作DF⊥Oy于點F，

則∠PEN=∠DFC=90°.

又由PM∥Oy，得∠PNE=∠DCF.

故Rt△PNE∽ Rt△DCF. 得

3.第（2）小題第②問解法賞析

解法1：如圖1（2），因為 ∠CQN=∠PMB=90°，

得△CNQ∽△PBM.

設Q(t，3)，則.

此時點P的坐標為.

此時點P的坐標.

解法2：如圖1（2），因為∠CQN=∠PMB=90°，

所以當∠NCQ=∠PBM或者∠NCQ=∠BPM時，

得△CNQ∽△PBM.

情況1：當∠NCQ=∠PBM時，

tan∠NCQ=tan∠PBM，即

此時可轉化為解法1中的情況1，此處不再贅述.

情況2：當∠NCQ=∠BPM時，

tan∠NCQ=tan∠BPM，即

此時可轉化為解法1中的情況2，此處不再贅述.

使得△CNQ∽△PBM.

四、教學啟示

從以上的題目分析和解題賞析過程中，我們得到以下啟示.

1.教學過程中應以《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》為標準，以教材為根本，關注學生

中考試題的命制是以《義務教育數(shù)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）為標準，以教材為根本，根據(jù)九年級學生的生理特點、心理特點等來命制，很多題目的情境或原型都來自教材.題目的第（1）小題和第（2）小題第②問都來源于教材.一般來說，我們的教學要關注基礎知識的落實、解題經(jīng)驗的積累、應考能力的形成.這必然要求我們要關注《標準》，回歸教材，關注學生.

2.教學過程中注意引導學生感悟數(shù)學思想，積累活動經(jīng)驗

在教學中，學生是學習的主體.教之道在于度，學之道在于悟.數(shù)學教學的最主要任務是引領學生學會思考，培養(yǎng)學生的思維能力，從學會思考走向學會學習.《標準》指出，數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想.此題的解決過程中體現(xiàn)了多種數(shù)學思想，需要學生具備一定的解題經(jīng)驗.

3.教學過程中關注核心素養(yǎng)，促進持續(xù)發(fā)展

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出，要引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界；同時要關注數(shù)學的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，直觀想象，數(shù)學運算，數(shù)據(jù)分析.此題作為壓軸題，既重視推理，又重視直觀想象，當然也不乏數(shù)學運算.所以在平時的教學中，教師要不斷地引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性的學習，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.

4.教學過程中注重信息技術，緊跟時代步伐

現(xiàn)代信息技術的廣泛應用正在對數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學課堂教學、數(shù)學學習方式等方面產(chǎn)生深刻影響.信息技術工具的使用能為學生的數(shù)學學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具.數(shù)學課程的設計與實施應根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術，要注意信息技術與課程內(nèi)容的整合，注重實效；要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向學生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生愿意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的教學活動中去.例如，幾何畫板軟件的運用，這個軟件在數(shù)學教材的閱讀材料中多次提及.像本文所述的這類壓軸題，教師在備考時若利用幾何畫板軟件進行講解和變式，既能有效地幫助學生突破難點，又能更直觀地理解數(shù)學問題的本質.

教學有法，教無定法，千題萬題不如講透一題，千法萬法不如落實得法.教師在教學中，要吃透《標準》，以教材為本，以學生為本，引導學生夯實基礎知識、強化基本技能、滲透基本數(shù)學思想、積累基本活動經(jīng)驗；加強對學生的學法指導，注意平時各類考試命題的針對性、層次性、導向性、側重點、關鍵點；注重信息技術的運用，為學生提供有效的、鮮活的教學素材和資源.通過學習、反思、總結，內(nèi)化為學生自己的知識與能力，形成學生自己的數(shù)學知識體系.