張萬梅

（廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)中學）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在傳統(tǒng)“雙基”基礎上，新增了基本活動經驗和基本思想，即提出了“四基”.根據《標準》的要求，學生通過數學學習不僅要獲得必需的知識和技能，還要在學習過程中積累經驗，獲得數學思想和解決問題的能力.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.

在實際教學中，一提到數學活動經驗或數學活動，經常被認為是讓課堂熱鬧起來、讓學生操作起來.所以，教師開設公開課喜歡講授新課，特別是在一些探究課中，讓學生動手操作，認為這才能體現基本活動經驗.數學基本活動經驗包括思維的經驗和實踐的經驗，任何活動經驗最后都必須促成思維的發(fā)展.數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中沉淀，是在學習活動中逐步積累的.復習課在數學教學中占了不小的比例，如何讓復習課從廣度和深度上達成目標？如何讓復習課更好地成為積累數學基本活動經驗的土壤？筆者以培養(yǎng)初中學生邏輯能力的起始章“相交線與平行線”的一節(jié)復習課為例，談談自己的課堂實踐.在復習“相交線與平行線”的第2課時，設定的教學目標是復習平行線的判定和性質，靈活應用平行線的性質，讓學生進一步體會數形結合和轉化的數學思想，培養(yǎng)學生的邏輯推理和演繹推理的思維能力.

一、巧設問，提供思維空間

問題1：如圖1，要說明AB∥CD，需要什么條件？試把所有可能的情況寫出來，并說明理由.

圖1

【設計意圖】平行線的判定有以下幾點：兩條直線被第三條直線所截形成的同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.在這個問題中，找出截線很重要，直線AB和CD的截線有三條，考慮不同的截線，觀察不同位置關系的角，可以得到不同的條件.問題1需要學生分情況考慮、全面觀察，發(fā)現各種位置關系的角，通過復習平行線的三種判定方法，積累分類討論思想，鞏固判定依據的說理.

問題2：如圖2，已知AB∥CD，試說明∠B，∠D與∠BPD的關系.

圖2

【設計意圖】解決這個問題需要建立兩平行線的聯系，需要知道第三條直線即截線.問題2中沒有給出已知的明顯的截線，需要作輔助線.由于兩平行線間有兩條折線，建立截線的方法就有很多種，鞏固學生對平行線的傳遞性、性質和三角形內角和知識的掌握，培養(yǎng)學生的演繹推理及論證表述能力.

問題3：如圖3，已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE.試說明∠BFE=∠FEC.

圖3

【設計意圖】問題3是對問題2的變式和拓展.兩平行線間有兩個轉折角，需要學生用到解決圖2的基本圖形的思想方法，可以再構造出兩條平行線，也可以延長折線構成截線，也可以直接加截線建立兩平行線的聯系.此題需要學生具有較強的幾何直觀和對已學知識的綜合運用能力.設置此題意在發(fā)展學生的發(fā)散思維和較強的對基本圖形的把握能力.

二、說思路，產生思維碰撞

教學片斷1：問題1采用的是學生輪流回答的方式教學.

生1：可以是∠FEC=∠FAB.

師：依據是什么？

生1：它們是同位角.同位角相等，兩直線平行.

師：截線是哪一條？

生1：它們被AF所截.

師：好，下一位同學.

生2：可以是∠DEA=∠FAB，因為它們是內錯角.內錯角相等，兩直線平行.

生3：可以是∠D+∠DAB=180°，因為它們是直線AB和CD被直線AD所截的同旁內角.同旁內角互補，兩直線平行.

師：非常好！表達得很完整.下一位同學，還有其他情況嗎？

生4：當∠FCE=∠FBA時，AB∥CD.因為同位角相等，兩直線平行，截線是FB.

生5：當∠DCB+∠B=180°時，AB∥CD.因為同旁內角互補，兩直線平行.

師：很好，已經五種情況了，還有嗎？

生6：∠CEA+∠EAB=180°也可以說明AB∥CD.因為它們是直線AB和CD被AF所截的同旁內角.

師：所以直線AB和CD被AF所截時，同位角、內錯角、同旁內角都有形成，三種情況都可以.還有其他情況嗎？

生7：還有很多.如∠D=∠ECF，很明顯它們是內錯角.

生：它們得出的平行線不是需要判定的兩條直線.

生7：哦，我看看，那就沒有了.

師：所以當圖形不止出現三條直線時，判定平行線需要確定好截線，看清楚是否是我們要判定的兩條直線.

教學后記：對于平行線的性質和判定，當只有三條直線時，同位角、內錯角、同旁內角很容易識別出來，兩條平行線也能一下“看”出來.但當圖形出現不止三條線，需要對平行線進行判定時，要明確所要判定的兩直線和截線，再去發(fā)現基本圖形.課堂教學時，在提問環(huán)節(jié)課堂氣氛比較緊張，因為越往后進行，可回答的情況越少，學生需要對已出現的情況進行識別和排除，再去補充不同的選擇.又因為問題設置難度不大，是學生比較熟悉的，所以學生對基本圖形的識別較容易.從圖形上看還有平行線AD和BF，給部分學生造成一定的迷惑，也在學生思維上產生了一定的沖擊.在這個過程中，學生的思維活動非常激烈，不斷識別和排除、自我否定和重新建構.

教學片斷2：問題2采用的是全體學生對問題進行演繹推理，書寫完整過程，再投影分析不同的解答.下面是學生出現的幾種解答方法.

解：（方法1）如圖4，過點P作AB的平行線EF，

因為AB∥CD，AB∥EF，

所以EF∥CD.

所以∠B=∠1，∠D=∠2.

所以∠B+∠D=∠1+∠2=∠BPD.

圖4

圖5

（方法2）如圖5，延長DP交AB于點E，

因為AB∥CD，

所以∠D=∠1.

所以∠B+∠1=∠2.

所以∠2=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

（方法3）如圖6，過點P作CD的垂線，交AB于點E，交CD于點F，

因為AB∥CD，EF⊥CD，

所以AB⊥EF.

所以∠BEP=∠PFD=90°.

所以∠B+∠1=∠2+∠D=90°.

改革實施后發(fā)現學生參與設計的熱情高、進度快，設計報告整體上更加規(guī)范、完整，由于參與度高學生們基本都寫出了較為深刻的心得體會，杜絕了雷同報告，由于細化了平時成績的考核，組員間的成績區(qū)分度好，體現了評價指標中的差異性。教學實踐表明：這種“以學生為中心”的教學模式，結合任務型教學和討論法相結合的教學方式，以及關注過程管理的綜合成績評定方法提高了學生的學習積極性和參與度，形成了良好的互助互學的學習氛圍，在學生鞏固專業(yè)知識的基礎上，提高了學生的工程實踐能力。

所以∠B+∠1+∠2+∠D=180°.

又因為∠1+∠2+∠3=180°.

所以∠3=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

圖6

圖7

（方法4）如圖7，連接BD，

因為AB∥CD，

所以∠ABD+∠BDC=180°，

即∠3+∠1+∠2+∠4=180°.

又因為∠1+∠2+∠P=180°，

所以∠3+∠4=∠P.

教學后記：對于平行線中轉折角問題的處理，大部分學生易于接受方法1，即在轉折點處添加平行線，從而構造出特殊位置的角，為解決問題搭橋鋪路.在演繹推理的過程中，對學生的能力要求較高，一是作輔助線的表達，如過點P作AB的平行線EF或過點P作直線EF∥AB，要求非常簡潔而準確、科學的表達，使學生對圖形語言和文字語言、符號語言的相互轉換經驗得到加強和積累；二是圖形“告訴”的并非全部，所作的輔助線EF是與AB平行，但EF與CD也平行是需要通過平行的傳遞性來證明的，也是部分學生經常漏掉的步驟，所以這里再次考查積累數學邏輯嚴謹的思維經驗.對圖形信息能夠綜合分析處理的學生樂于嘗試其他的方法，他們對幾何圖形的性質非常熟悉，能夠靈活轉換，發(fā)散思維得到訓練.

教學片斷3：問題3是讓學生代表做思路點撥，再由其他學生簡述推理過程.一開始學生獨立思考，最先出現的思路是如下幾種.

思路1（如圖8）是利用平行線的傳遞性將已知平行線聯系起來，與圖4類似；思路2（如圖9）與思路3（如圖10）都是延長兩平行線間的折線將截線顯性化，與圖5類似；思路4（如圖11）是利用特殊點建立新的截線，與圖7類似.在學生分析這幾種思路后，有學生提出了思路5（如圖12），輔助線與圖6相同，但在具體推理過程中又出現不同的思維，有的用三角形內角和及平角的定義，有的用三角形內角和得出角相等，繼而轉化為同位角相等.當教師在課堂指出“剛才的全部方法都是利用兩平行線間的特殊線或點作出平行線或截線”，馬上有學生發(fā)出這樣的疑問“在不是特殊位置作的截線可不可以呢？”然后由其中一位學生在黑板畫圖，得出思路6（如圖13），其他學生通過觀察分析，發(fā)現也可以利用三角形內角和得出角相等，通過對頂角等量代換，得出BF與CE平行，再由內錯角相等得證.

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

教學后記：思路1是大部分學生的第一思路，也是“轉折角”問題的一種基本轉化方法，思路2的出現最讓學生折服，原來可以轉化得這么便捷.當討論到思路6時，學生好像恍然大悟般：原來只要一條截線將兩平行線和BF，FE，EC都聯系起來，可以運用平行線的性質和判定、三角形內角和等知識進行轉化，得出結論.有的學生開始發(fā)出感嘆：原來幾何證明這么好玩！每想出一種新的思路就很有成就感.七年級學生在這一章要求會進行說理和簡單推理，分析完問題3后，學生對于本章的對頂角、鄰補角、垂線、平行線的判定和性質，以及小學已知的三角形內角和為180°進行了靈活的運用，對圖形語言和數學語言進行了一次深度的解讀和轉換.下課后，有幾位學生拿著其他不同的思路與教師討論，可見，學生對幾何圖形的研究興趣已建立，學生的邏輯思維經驗得到積累和發(fā)展.

三、重小結，提煉思維經驗

1.重視教師的歸納總結

數學活動經驗的積累是一個循序漸進、層層遞進的過程，思維經驗只有在學生真正參與、經歷知識形成的過程中才能不斷積累.學生在活動中獲得的經驗，起初往往是模糊、零散的，并且不易被學生直接感受到，所以這就需要教師幫助學生將學習過程中習得的這些模糊、零散的經驗清晰化、條理化、系統(tǒng)化，并因此留在大腦中.教學中對學生獲得的經驗、形成的表象要進行分析歸納、深化應用，形成抽象化意義的統(tǒng)一認識，即形成思維經驗.教學中借助學生在新知學習過程對平行線的判定和性質、對頂角相等、三角形內角和為180°等知識的學習經歷，在復習綜合運用時，通過師生、生生之間的交流，將初步的感悟上升到新的高度，共同總結出平行線問題的解決關鍵是找到平行線間的聯系點.在問題逐層解決過程中提升學生對平行線的性質和判定的認識，讓學生在總結概括中提高思維水平.

2.重視學生的反思小結

弗賴登塔爾認為，反思是一種重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力.當學生的數學活動經驗積累到一定程度后，教師應引導學生在回顧知識的基礎上進行深度反思.所以在課堂教學中，教師對知識進行歸納強化后，要注意引導學生進行評價反思，對數學活動經驗進行提煉、總結、提升，使之成為經驗并加以推廣.在此過程中，提升學生的數學學習方法，促使學生養(yǎng)成反思、體驗的習慣，發(fā)展思維經驗.思維經驗也是一種感悟和體驗，在本節(jié)課的課堂教學中，教師讓學生說出每個問題解決后的感悟.例如，對問題1，有學生說“找平行的條件，一定要先明確是說明哪兩條直線平行”，針對問題2有學生說“要用平行線的性質就要先找到或者建立第三條直線”，針對問題3有學生說“解決幾何問題，可以先考慮特殊位置、特殊點，輔助線的建立可以是特殊的，有時也可以一般化”.當學生在述說自己的感悟時，思維經驗就已經得到了穩(wěn)固的提升.

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