梁文威

（廣東省江門市新會區(qū)會城源清中學）

2017年廣東省中考數(shù)學壓軸題考查了在平面直角坐標系背景下，已知矩形對角線上動點生成的平面幾何問題與二次函數(shù)最值問題，既考查了學生的空間想象能力，又考查了分類討論和函數(shù)思想，比較全面地考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了中考數(shù)學壓軸題考能力、考創(chuàng)新、考發(fā)展的要求，對今后一段時間的廣東省初中數(shù)學教學起著重要的導向作用.筆者就2017年廣東省中考數(shù)學壓軸題進行探究與分析，并對相關結(jié)論進行拓展與推廣.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A(0，2 )和，點D是對角線AC上一動點（不與點A，C重合），連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF.

（1）填空：點B的坐標為_____.

（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，求出AD的長度；若不存在，說明理由.

②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值.

圖1

二、解法探究

1.第（1）（2）小題的解法探究

第（1）小題考查了平面直角坐標系的基本概念，點B的坐標為.

第（2）小題中求使△DEC是等腰三角形時，線段AD的長.題目中隱藏了一個重要條件∠ACO=30°，而且還要考慮圖1（1）和圖1（2）的兩種情況.第一種情況：如圖1（1），由ED=EC，不難得到△BCD是等邊三角形，進而可得∠DAB=∠DBA=30°.所以AD=BD=2.第二種情況：如圖1（2），由CD=CE，易知∠CDE=15°，∠ADB=75°.進而可得∠ADB=∠ABD=75°.所以

解：（1）點B的坐標為

（2）存在；理由如下：

因為四邊形ABCO是矩形，

所以 ∠ACO=30°.

情況1：如圖1（1），當點E在點C左側(cè)時，

因為△DEC是等腰三角形，即ED=EC，

所以∠ACO=∠EDC=30°.

因為DE⊥DB，所以∠BDC=60°.

又因為∠BCA=60°，即△BCD是等邊三角形，

所以BD=BC=2.

因為AB∥OC，所以∠ACO=∠DAB=30°.

又因為∠ABD=∠BDC-∠DAB=30°，

即∠ABD=∠DAB，所以AD=BD=2.

情況2：如圖1（2），當點E在點C右側(cè)時，

因為△DEC是等腰三角形，即CD=CE，

所以∠CDE=∠CED.

又因為∠ACO=2∠CDE=30°，所以∠CDE=15°.

因為DE⊥DB，所以∠ADB=75°.

又因為∠DAB=30°，

所以∠ABD=75°，即∠ADB=∠ABD.

所以AD=AB=

綜上所述，存在點D使△DEC是等腰三角形，此時AD=2或AD=

【評析】第（1）小題考查基本概念，讓大部分學生都能在壓軸題上拿分，體現(xiàn)試題對學生的人文關懷.第（2）小題有兩種情況，需要分類討論.由于分類討論對初中生來說還是一個難點問題，故此題目通過圖1（1）和圖1（2）暗示形成等腰三角形的兩種情況，降低了題目的難度，符合學生思維的發(fā)展規(guī)律.

2.第（3）小題的解法探究

圖2

圖3

第（3）小題第②問要求用x來表示線段AD的長，并寫出矩形BDEF的面積y與x的函數(shù)關系式，并求y的最小值.這里題目提示可以用第①問的結(jié)論，所以矩形BDEF的面積.又易知則由勾股定理，得DB2=x2-6x+12.從而有.所以當x=3時，y的最小值為.

證明：①如圖3，作DH⊥OC于點H，DG⊥AB于點G，

因為四邊形BDEF是矩形，

所以∠BDE=90°，即∠HDE+∠GDB=90°.

又因為∠GBD+∠GDB=90°，

所以∠HDE=∠GBD.

又因為∠DHE=∠BGD=90°，

所以△DHE∽△BGD.

因為∠BGH=∠GHC=∠HCB=90°，

即四邊形GHCB是矩形，

所以BG=CH.

②因為四邊形ABCO是矩形，即AB∥OC，所以∠GAD=∠ACO=30°.

因為DG⊥AB于點G，

在Rt△BGD中，由勾股定理，得DB2=GB2+GD2=

因為矩形BDEF面積y=DE·DB，且

因為AC=2AO=4，即0＜x＜4，

所以當x=3時，y取得最小值為 3.

【評析】第（3）小題第①問通過作垂直構(gòu)造兩個三角形相似來轉(zhuǎn)換所求證的線段比例，這個方法在現(xiàn)行人教版教材的習題中多次出現(xiàn)，學生是比較熟悉的.但是這里要求學生自行構(gòu)造出輔助線，這對學生的空間想象能力提出了更高的要求，體現(xiàn)出試題“源于教材，高于教材”的命題思路.事實上，這是這道壓軸題的難點所在，很多學生都卡在這里，要知道過了這關，最后一問就水到渠成了.如果學生能順利證明出第①問，最后一問只是將幾何問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題.通過第①問的證明結(jié)論構(gòu)造出y與x的函數(shù)關系式，然后再通過二次函數(shù)得出y的最小值.最后一問沒有出現(xiàn)高強度的代數(shù)運算，讓真正優(yōu)秀的學生能夠脫穎而出，體現(xiàn)了中考數(shù)學壓軸題考能力、考創(chuàng)新、考發(fā)展的價值取向.綜觀2017年廣東省中考數(shù)學壓軸題，既考查了幾何構(gòu)造，又考查了函數(shù)最值，還有分類討論，比較全面地考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，是一道難得的好題.

三、試題的拓展

隨著對這道中考數(shù)學壓軸題的深入探究，筆者發(fā)現(xiàn)原題目中連接CF后，還有兩個重要的問題值得繼續(xù)探究：一是；二是CF⊥AC.下面筆者將為以上兩個拓展問題給出證明.

拓展1：如圖4，在原題的基礎上連接CF，求證：

圖4

證明：因為，且四邊形BDEF是矩形，即DE=FB，

又因為∠DBF=∠ABC=90°，

所以∠DBF-∠DBC=∠ABC-∠DBC，

即∠CBF=∠ABD.

所以△CBF∽△ABD.從而.

拓展2：題干同拓展1，求證：CF⊥AC.

證明：因為△CBF∽△ABD，

所以∠BCF=∠BAD.

又因為四邊形ABCO是矩形，即∠ABC=90°，

所以∠BAD+∠BCA=90°.

所以∠BCF+∠BCA=90°，即∠ACF=90°.

所以CF⊥AC.

四、試題的推廣

“從特殊到一般，再從一般到特殊”是數(shù)學研究的常見用法.將中考數(shù)學壓軸題的題設與結(jié)論推廣到一般情況，不僅是將試題的研究升華到一個更高的層次，還能更好地洞察題目的本質(zhì)和根源，為開展研究性教學提供優(yōu)質(zhì)的素材.

題設：如圖5，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A(0，b)和C(a，0 )，a＞0，b＞0，點D是對角線AC上一動點（不與點A，C重合），連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF，連接CF.

圖5

推論1：當或a時，△DEC是等腰三角形.

證明：如圖6，作DH⊥OC于點H，DG⊥AB于點G，

圖6

（3） 當DE=CD時，有HE2+DH2=DH2+HC2，即HE=HC，此時點E與點C重合，△DEC不存在.

因為∠DBF=∠ABC=90°，

所以∠DBF-∠DBC=∠ABC-∠DBC，

即∠CBF=∠ABD.

（2）因為∠BCF=∠BAD，且四邊形ABCO是矩形，即∠ABC=90°，

所以∠BAD+∠BCA=90°.

則∠BCF+∠BCA=90°，即∠ACF=90°.

所以CF⊥AC.

通過對2017年廣東省中考數(shù)學壓軸題的深入探究與拓展推廣，筆者認為此題可作為研究性教學的素材，通過研究試題的解法以優(yōu)化解題策略和方法，研究試題的拓展與推廣以培養(yǎng)學生探究意識和創(chuàng)新精神.