陳莉紅，譚今歌

（江西省教育廳教學(xué)教材研究室；吉林省長(zhǎng)春市凈月第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

在第十屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)中，譚今歌老師執(zhí)教了“平面直角坐標(biāo)系”一課，該節(jié)課圍繞問題解決的過程，突出了探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了由直觀到抽象、由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).該課具有一定的示范性，現(xiàn)對(duì)本節(jié)課的主要特點(diǎn)評(píng)析如下.

一、制定合理的教學(xué)目標(biāo)，找準(zhǔn)核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)

“平面直角坐標(biāo)系”一課的教學(xué)目標(biāo)及解析如下.

（1）通過實(shí)際問題生成平面直角坐標(biāo)系，理解平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念.

（2）通過教師示范，學(xué)生動(dòng)手操作過程，使學(xué)生會(huì)畫平面直角坐標(biāo)系.

（3）通過設(shè)計(jì)由點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的教學(xué)環(huán)節(jié)，探究平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

目標(biāo)（1）解析：學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題逐步抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過小組合作，利用數(shù)軸探究表示平面上點(diǎn)的方法，體會(huì)從一維空間到二維空間的過渡，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

目標(biāo)（2）解析：通過先讓學(xué)生觀察教師示范畫平面直角坐標(biāo)系，再讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作，達(dá)到加深對(duì)概念的理解，并培養(yǎng)良好的作圖習(xí)慣的目的，這也是直觀想象素養(yǎng)在學(xué)習(xí)中的具體要求.

目標(biāo)（3）解析：平面直角坐標(biāo)系是建立平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間聯(lián)系的重要工具，通過借助平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，讓學(xué)生加深對(duì)概念理解的同時(shí)，歸納平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)；通過平面直角坐標(biāo)系中四個(gè)象限的生成過程體會(huì)分類思想.

教學(xué)重點(diǎn)：通過實(shí)際問題生成平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念.

教學(xué)難點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系的概念的生成.

執(zhí)教教師利用探究式教學(xué)突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).

【評(píng)析】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）第三學(xué)段對(duì)坐標(biāo)與圖形的位置要求如下：（1）結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會(huì)用有序數(shù)對(duì)可以表示物體的位置.（2）理解平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念，能畫出平面直角坐標(biāo)系.在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo).（3）在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)恼叫蔚闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置.

關(guān)于確定圖形的位置，在第一學(xué)段要求定性描述（如用上下左右前后描述相對(duì)位置，用東南西北描述絕對(duì)位置）；在第二學(xué)段要求定量刻畫（如用有序數(shù)對(duì)描述物體的位置）；在第三學(xué)段要求建立平面直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中確定圖形（點(diǎn)或簡(jiǎn)單圖形）的位置.

由此可見，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)經(jīng)歷了由定性描述到定量刻畫的過程，初中階段要學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)從一維空間到二維空間的拓展，為以后拓展到三維、四維或更多維空間打下基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系之前，學(xué)生已經(jīng)具備了有序數(shù)對(duì)及數(shù)軸的知識(shí)基礎(chǔ)，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，本節(jié)課的主要內(nèi)容有：平面直角坐標(biāo)系的概念；能畫出平面直角坐標(biāo)系；能根據(jù)點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置；在實(shí)際問題情境中能建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系幫助解決問題，即由理解概念到掌握概念到運(yùn)用概念的過程.本節(jié)課是第1課時(shí)，可以定位成概念的起始課，對(duì)于這樣的概念起始課，教師往往會(huì)把重點(diǎn)放在大量習(xí)題訓(xùn)練上，并以此作為理解概念的教學(xué)手段.這只是解決了“學(xué)什么”的問題，并沒有解決“為什么學(xué)”和“怎么學(xué)”的問題.因此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不僅明確了學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，還把重、難點(diǎn)定位在概念的生成上，即明確了學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的必要性；解決了“為什么學(xué)”的問題，并指出利用探究式教學(xué)突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，即明確了“怎么學(xué)”的問題，并把數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模，直觀想象與每個(gè)教學(xué)目標(biāo)相對(duì)接，落實(shí)在具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中.

二、創(chuàng)設(shè)情境，問題引領(lǐng)，探究概念生成，凸顯數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模

教學(xué)片斷1：情境引入環(huán)節(jié).

問題1：如果邀請(qǐng)朋友到你家里做客，你是如何向朋友描述你家小區(qū)的位置呢？

生1：介紹在某某路與某某街的交叉位置.

生2：告訴他小區(qū)名，用導(dǎo)航找位置.

生3：在地圖中找地名，有經(jīng)度和緯度.

問題2：老師在學(xué)校收到A，B，C三位同學(xué)向我發(fā)送的位置，通過地圖可以很清晰地看到幾位同學(xué)家小區(qū)的位置（如圖1）.你能幫助老師用數(shù)軸來表示這三名同學(xué)家的位置嗎？試以小組為單位結(jié)合手中的地圖紙，以學(xué)校為原點(diǎn)，將同學(xué)A，B，C家的位置表示出來.

圖1

追問1：同學(xué)A（或同學(xué)B）家的位置怎樣表示？

生4：同學(xué)A（或同學(xué)B）家與學(xué)校在一條線上，可把他們抽象成點(diǎn)，用數(shù)軸表示.

師：那怎么表示距離為多少呢？

生5：借助網(wǎng)格紙上的格點(diǎn)，可以標(biāo)出數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度.

師：很好.與原點(diǎn)在一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，可以畫一個(gè)數(shù)軸來確定它們的位置（如圖2）.

圖2

追問2：同學(xué)C家的位置可以怎樣表示？

生6：可以連接OC，用刻度尺量出OC的長(zhǎng)度.

師：不錯(cuò).那只有這一個(gè)量能確定點(diǎn)C的位置嗎？

生7：還可以測(cè)量一個(gè)角度θ.

生8：點(diǎn)C在橫、縱兩個(gè)方向的交會(huì)處，可以直接從格點(diǎn)看出數(shù)值大小.

師：這兩種方法都可以，同學(xué)們喜歡哪一種？

生：第二種.

師：為什么？

生9：第一種方法中的距離和角度不好測(cè)量，測(cè)量容易有誤差，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確.

師：我們發(fā)現(xiàn)，平面上確定點(diǎn)的位置需要兩個(gè)量.圖3是用角度θ和距離OC來確定點(diǎn)C的位置，如在海平面上，我們會(huì)用方位角和距離來描述船只之間的相對(duì)位置，這是以后要學(xué)習(xí)的極坐標(biāo)；圖4借助相互垂直相交的數(shù)軸確定點(diǎn)C的位置，也就是我們今天要學(xué)習(xí)的平面直角坐標(biāo)系.

圖3

圖4

問題3：能借助這樣的兩條數(shù)軸表示同學(xué)A，B，C家的位置嗎？點(diǎn)D的位置怎么表示呢？

平面上A，B，C三點(diǎn)的位置如圖5所示.去掉網(wǎng)格后即為如圖6所示的情況.其中由于點(diǎn)D在水平軸上的對(duì)應(yīng)的數(shù)為-800，在鉛直軸的對(duì)應(yīng)的數(shù)為800，因此點(diǎn)D的位置表示為D(-800，800).借助這樣的兩條數(shù)軸，平面內(nèi)的點(diǎn)可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示出來.把水平的數(shù)軸叫做x軸（或橫軸），鉛直的數(shù)軸叫做y軸（或縱軸），這兩條數(shù)軸就組成了平面直角坐標(biāo)系.

圖5

圖6

追問1：構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系的兩條數(shù)軸有怎樣的特點(diǎn)？

追問2：借助平面直角坐標(biāo)系，你能說出圖6中點(diǎn)E的坐標(biāo)嗎？

追問3：能否借助平面直角坐標(biāo)系將A，B，O三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出來？

在此環(huán)節(jié)中，教師撤去實(shí)際情境，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，去掉網(wǎng)格線，并通過抽象出的兩條數(shù)軸表示點(diǎn)D的位置，最終得出平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念.教師引導(dǎo)學(xué)生概括出平面直角坐標(biāo)系的特征：兩條數(shù)軸互相垂直，原點(diǎn)重合（仍是坐標(biāo)原點(diǎn)），且（一般情況）具有相同的單位長(zhǎng)度.用來表示點(diǎn)的位置的有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)，記作Px，y)，其中x是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y是點(diǎn)P的縱坐標(biāo).再通過寫出點(diǎn)A，B，O，E的坐標(biāo)，讓學(xué)生感悟一維空間下點(diǎn)的坐標(biāo)與二維空間下點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別.

【評(píng)析】在此環(huán)節(jié)中，執(zhí)教教師以學(xué)生熟悉的學(xué)校及周邊小區(qū)為背景，讓學(xué)生借助數(shù)軸表示三位同學(xué)家的位置.由最初的地圖到網(wǎng)格圖到引入字母、點(diǎn)等來表示三位同學(xué)家的位置，在這里實(shí)現(xiàn)了第一次的抽象，即把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.由兩位同學(xué)的家（點(diǎn)A，B）和學(xué)校（點(diǎn)O）在一條直線上，可以借助數(shù)軸上的實(shí)數(shù)表示直線上的點(diǎn)的方法，容易表示出A，B兩點(diǎn)，這是第二次抽象，即建立數(shù)軸模型.而確定點(diǎn)C的位置是本節(jié)課的難點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，因此它們?cè)谝粋€(gè)平面上用一個(gè)數(shù)軸顯然無法表達(dá)，再通過問題的設(shè)置，讓學(xué)生初步感知表示平面上的某一位置需要兩個(gè)元素，使其得出表示點(diǎn)C需要借助兩條數(shù)軸；通過小組合作探究，得出兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過逐一辨析，最終初步建立的平面直角坐標(biāo)系的模型，這是第三次抽象.

本節(jié)課中課堂引入的問題設(shè)置是很成功的，既能往前延伸與學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備相銜接，又能引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行下一階段的探索，激發(fā)興趣，很自然地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從線到面、從一維空間到二維空間的過渡.教學(xué)過程中網(wǎng)格紙的使用，對(duì)學(xué)生探究歸納概括平面直角坐標(biāo)系的概念及特征起到很大的作用，降低了難度，增加了可操作性.在表示A，B，C，O等點(diǎn)時(shí)，可借助網(wǎng)格紙格點(diǎn)的位置，學(xué)生很容易找到橫、縱的長(zhǎng)度，這時(shí)候?qū)W習(xí)的重心放在刻畫點(diǎn)的位置需要幾個(gè)元素上，所以不需要在如何找到橫、縱的距離上花費(fèi)時(shí)間，幫助學(xué)生歸納出平面直角坐標(biāo)系中數(shù)軸的特點(diǎn).而在平面直角坐標(biāo)系的概念建立以后，網(wǎng)格就沒有了，學(xué)生再進(jìn)一步確定A，B，C，O，D，E等點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，就必須有意識(shí)地用到數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度，以及分別向x軸，y軸作垂線找到坐標(biāo).這個(gè)過程中網(wǎng)格線從有到無，又實(shí)現(xiàn)了第四次的數(shù)學(xué)抽象，體現(xiàn)了由直觀到抽象的過程，凸顯發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目標(biāo).數(shù)軸和網(wǎng)格紙的使用為建立平面直角坐標(biāo)系這一數(shù)學(xué)模型提供了直觀的基礎(chǔ)，也說明了直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ).在概念生成過程中，教師一次次的設(shè)問與追問，點(diǎn)起學(xué)生思維的火花，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

三、以活動(dòng)為載體，探究概念的本質(zhì)特征，培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng)

教學(xué)片斷2：活動(dòng)探究環(huán)節(jié).

活動(dòng)1：怎么畫出規(guī)范的平面直角坐標(biāo)系？工具：如圖7所示的網(wǎng)格紙.

圖7

師生活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）.教師示范作圖，在黑板上畫平面直角坐標(biāo)系，強(qiáng)調(diào)畫平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)事宜.然后學(xué)生結(jié)合網(wǎng)格紙按照要求作圖，教師觀察各小組作圖情況，并用課件展示.

活動(dòng)2：在你所建立的平面直角坐標(biāo)系下分別標(biāo)出點(diǎn)A～點(diǎn)E的坐標(biāo).

追問：借助平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的任意一點(diǎn)是否都能寫出坐標(biāo)？

學(xué)生通過實(shí)踐達(dá)成共識(shí)：借助平面直角坐標(biāo)系，可以寫出平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo).

活動(dòng)3：任意說出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并在所建的平面直角坐標(biāo)系中找到該點(diǎn).

師生活動(dòng)：教師說出坐標(biāo)，學(xué)生找點(diǎn)；鼓勵(lì)學(xué)生說出不同點(diǎn)的坐標(biāo)，其他學(xué)生找點(diǎn).例如，(0，0)，(3，0)，(-5，0)，(0，2)，(0，-1)，(3.5，3.5)，(-4，-3)，(8，-1)，……

總結(jié)：通過前面活動(dòng)你能得出什么結(jié)論？

教師引導(dǎo)學(xué)生回答平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng).

活動(dòng)4：如圖8，觀察你畫出的點(diǎn)的位置及它們坐標(biāo)的特點(diǎn)，將它們進(jìn)行分類，并說出理由.

圖8

學(xué)生小組合作進(jìn)行探究，得出四個(gè)象限及每個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)（至少有一個(gè)為0）.

【評(píng)析】本環(huán)節(jié)共設(shè)置了四個(gè)探究活動(dòng)，分別對(duì)應(yīng)畫坐標(biāo)軸、寫點(diǎn)坐標(biāo)、描點(diǎn)位置、區(qū)分象限點(diǎn)與坐標(biāo)軸上的點(diǎn)四個(gè)目標(biāo).通過作圖加深學(xué)生對(duì)概念的理解和落實(shí)；通過借助同一平面直角坐標(biāo)系中由點(diǎn)來確定坐標(biāo)并由坐標(biāo)確定點(diǎn)，探究點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；通過對(duì)大量點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行分類，體驗(yàn)分類思想；再通過尋找坐標(biāo)共性歸納概括出平面直角坐標(biāo)系下的四個(gè)象限.所有活動(dòng)都是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自己動(dòng)手操作，探究歸納得出結(jié)論，教師及時(shí)糾正學(xué)生表述上的不嚴(yán)謹(jǐn).在畫坐標(biāo)系的活動(dòng)1中，再一次用到了網(wǎng)格紙，在網(wǎng)格上學(xué)生很容易畫數(shù)軸，處理垂直和橫、縱單位長(zhǎng)度相同的問題，降低操作的難度，把注意力集中在觀察歸納概括表達(dá)上.教師再親自畫圖示范，為學(xué)生養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣打下基礎(chǔ)，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).活動(dòng)2和活動(dòng)3的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了由特殊到一般的探究思路，滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想.

“平面直角坐標(biāo)系”這節(jié)課思路清晰流暢，執(zhí)教教師教態(tài)自然親切，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，表達(dá)準(zhǔn)確，板書整潔清楚，粉筆字寫得很棒，充分體現(xiàn)了教師個(gè)人優(yōu)秀的教學(xué)素養(yǎng).但本節(jié)課也存在如下不足：（1）在情境引入環(huán)節(jié)中，所舉案例中存在GPS、經(jīng)度緯度等地理專業(yè)名詞，這是三維空間概念，與平面直角坐標(biāo)系的二維定位有區(qū)別.可以列舉在地圖上描述某地的位置，海平面上確定船只的位置等，這樣處理就避免出現(xiàn)用三維解釋二維的現(xiàn)象.在課堂結(jié)束時(shí)，教師可以再次引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到三維或多維的角度，使得本節(jié)課從一維到二維到三維的思路更加清晰，也利于學(xué)生思維的拓展.（2）在引導(dǎo)學(xué)生歸納象限點(diǎn)與坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征時(shí)，還可以立意更高一些，不僅僅是歸納，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過邏輯推理來幫助掌握這些點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以便于更好的應(yīng)用.

“平面直角坐標(biāo)系”是一節(jié)概念起始課，執(zhí)教教師以問題為載體，以問題解決為主線展開教學(xué).在情境引入環(huán)節(jié)以問題引導(dǎo)構(gòu)建模型，活動(dòng)探究環(huán)節(jié)以活動(dòng)引領(lǐng)進(jìn)行探究.在兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、合情推理等.

數(shù)學(xué)問題解決的方式是先將問題變成可用數(shù)或圖形呈現(xiàn)的形態(tài)，做出一些個(gè)案，然后以歸納或演繹的方式把個(gè)案的解法形成一個(gè)數(shù)學(xué)模式，這樣的問題解決歷程，在數(shù)學(xué)課程內(nèi)應(yīng)一再出現(xiàn)，使學(xué)生耳濡目染，在不知不覺中學(xué)到一種新的思維方式.當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于面對(duì)非常規(guī)問題進(jìn)行解決問題的一種新活動(dòng)時(shí)，他就養(yǎng)成了主動(dòng)思考的習(xí)慣.

所以盡管核心素養(yǎng)的落地根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同有不同的教學(xué)形態(tài)，但落腳點(diǎn)最終還是應(yīng)落在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式、學(xué)習(xí)習(xí)慣及自主學(xué)習(xí)的能力培養(yǎng)上.本節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了由生活到數(shù)學(xué)、由具體到抽象、由特殊到一般的思維過程，在教師的引領(lǐng)下主動(dòng)探究、合情推理、規(guī)范表達(dá)，這正是我們除了知識(shí)內(nèi)容以外需要學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得到的思維品質(zhì)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落地的形態(tài).