譚友軍

摘 要：本文介紹了在數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中遵循的“問題（Problem）-直覺（Intuition）-證明（Proof）-應(yīng)用（Applications）”（PIPA）過程。這種PIPA過程有助于學(xué)生理解概念，培養(yǎng)抽象思維能力和數(shù)學(xué)證明能力，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)；PIPA

一、引言

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)本科一年級(jí)主干課程之一，是后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)。線性代數(shù)抽象程度高，理論體系復(fù)雜，一直是公認(rèn)的教學(xué)難度較大的課程[1]。對(duì)于普通數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)新生來說，由于沒有足夠的物理、幾何和其他應(yīng)用學(xué)科方面的背景，而且缺乏數(shù)學(xué)證明（mathematical proving）方面的經(jīng)驗(yàn)，所以他們要理解線性代數(shù)中的基本概念和大量解決問題的方法是很有難度的。一般教科書中的“定義—引理—證明—定理—證明—推論”（DLPTPC）模式對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說是糟糕的體驗(yàn)[2]。因此，關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)研究一直是很活躍的[3-7]。

近年來，我們?cè)跀?shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中進(jìn)行了一些探索，在進(jìn)行基本概念和基本理論教學(xué)時(shí)主要遵循“問題（Problem）—直覺（Intuition）—證明（Proof）—應(yīng)用（Applications）”（PIPA） 的過程。我們知道，線性代數(shù)主要概念來自于分析、幾何、物理、代數(shù)以及一些應(yīng)用學(xué)科中的具體問題。所以，我們堅(jiān)持在介紹新的概念之前力爭(zhēng)把相關(guān)問題、背景講解清楚，使學(xué)生了解代數(shù)抽象過程的必要性。我們通常在提出具體問題之后，鼓勵(lì)學(xué)生先對(duì)相應(yīng)的問題根據(jù)直覺自己解答，這類似于Mazur的polling方法[1]。學(xué)生直覺是否正確并不是重要的，但是將有助于學(xué)生積極參與教學(xué)過程，并逐漸意識(shí)到知識(shí)積累對(duì)解決問題的重要性。線性代數(shù)是一門證明課程 （proving course）[2]，我們?cè)诮榻B了關(guān)于某個(gè)問題或概念的結(jié)論后，首先強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)證明的必要性，然后再?gòu)?qiáng)調(diào)證明過程中所用的方法?；靖拍詈徒Y(jié)論的應(yīng)用可以是適當(dāng)?shù)睦}和習(xí)題，也可以是對(duì)定理的補(bǔ)充討論。上述PIPA過程適用于線性代數(shù)的大多數(shù)基本概念和基本理論教學(xué)，有助于學(xué)生理解抽象概念的來龍去脈，提高解決問題的能力。另外，一次PIPA過程的結(jié)束，往往會(huì)在“應(yīng)用”階段產(chǎn)生新的“問題”，從而又是一次新的PIPA過程的開始。

二、PIPA過程

1.問題

線性代數(shù)基本概念來源于一些較為具體的問題，從具體問題著手無疑會(huì)幫助學(xué)生理解抽象概念，并產(chǎn)生研究抽象概念的興趣。同時(shí)，線性代數(shù)的主要概念之間有很強(qiáng)的內(nèi)在聯(lián)系，以至于可以從線性代數(shù)的任意基本概念開始教學(xué)。

為了引入抽象概念，我們?cè)诮榻B具體問題時(shí)充分利用學(xué)生已經(jīng)掌握的概念，選擇學(xué)生相對(duì)說來容易理解的問題。例如，為了引入矩陣的秩，我們提出的問題是如何求一個(gè)向量組的秩；為了引入向量組的秩，我們提出的問題是如何判斷一個(gè)向量組的線性相關(guān)性；為了引入向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)，我們提出的問題是如何刻畫零向量由已知向量組線性表出的方式；為了引入線性表出的概念，我們提出的問題是如何用向量的語言來描述線性方程組解的存在性；為了引入任意數(shù)域上的向量，我們提出的問題是如何解釋Gauss消元法得到的關(guān)于線性方程組的結(jié)論（我們強(qiáng)調(diào)，由于在運(yùn)用Gauss消元法時(shí)所采取的步驟沒有唯一性，所以學(xué)生需要理解這種表面上看起來的非唯一性是否是本質(zhì)的）。這樣一來，學(xué)生可以弄清這些抽象概念的來源，從而深刻理解引入這些概念的必要性。我們認(rèn)為，如果沒有引入相對(duì)來說較為具體的問題，而是像教科書上那樣直接寫出諸如線性無關(guān)之類的定義，那么大多數(shù)學(xué)生理解起來是很有難度的。即使在寫出定義之后再舉出若干例子，也未必能取得很好的效果，因?yàn)閷W(xué)生很可能一開始就對(duì)直接給出的概念產(chǎn)生抵觸情緒。

與其他一些專業(yè)課程不同的是，線性代數(shù)的某些抽象概念來自于學(xué)生實(shí)際上還沒有學(xué)過的課程。這是在選擇問題時(shí)我們遇到困難的主要原因。例如，盡管學(xué)生在中學(xué)階段對(duì)二元或三元方程組有所了解，但是，由于缺乏諸如運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面的知識(shí)，大多數(shù)學(xué)生難以想象未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)很多的線性方程組的存在性，從而難以理解教科書上直接給出的、由含n個(gè)未知數(shù)的m個(gè)線性方程組成的線性方程組。由于學(xué)生還沒有理解更為抽象的向量空間的概念，單純用解析幾何引入線性方程組的做法是不可取的（此時(shí)，學(xué)生對(duì)空間解析幾何也了解得不多）。又比如，像數(shù)域這樣非?；镜母拍睿捎趯W(xué)生缺乏數(shù)論、代數(shù)幾何方面的知識(shí)，他們難以理解引入數(shù)域的必要性。

對(duì)于上述困難，一方面我們適當(dāng)介紹一些后繼課程的基本研究?jī)?nèi)容（如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的最小二乘法），幫助學(xué)生理解復(fù)雜線性方程組的存在性和重要性；另一方面，通過全面了解學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、解析幾何等課程中的學(xué)習(xí)進(jìn)度來提取一些具體問題。比如我們?cè)谥v解二次型理論時(shí)，由于事先了解到學(xué)生在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)過多元函數(shù)的極值，我們利用多元函數(shù)極值點(diǎn)的判別問題引入正定、負(fù)定的概念，使學(xué)生明白研究正（負(fù)）定的實(shí)對(duì)稱矩陣是有意義的。

2.直覺

我們?cè)诮虒W(xué)中提出具體問題后，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的直覺直接給出對(duì)問題的看法，從而激發(fā)學(xué)生積極參與進(jìn)一步討論的興趣，為抽象概念的引入或基本結(jié)論的導(dǎo)出做鋪墊。

為了達(dá)到激勵(lì)的目的，我們需要對(duì)某些問題作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，甚至只要求學(xué)生對(duì)一些特殊情形憑直覺給出解答。例如，在提出如何判斷任意數(shù)域上的兩個(gè)方陣是否相似這樣的大問題后，我們提出的特殊情形下的問題是：如何判斷一個(gè)方陣與單位陣相似？有的學(xué)生能很快根據(jù)相似的定義給出正確的回答。接下來，我們把單位陣換成數(shù)量陣、對(duì)角陣、三角陣，學(xué)生根據(jù)自己的直覺給出解答后，逐漸自主地意識(shí)到這種用相似的定義判別是否相似的方法不是優(yōu)的、一般的算法，從而為進(jìn)一步討論打下了基礎(chǔ)。

學(xué)生對(duì)問題的直覺即使是不正確的，也會(huì)對(duì)他們掌握基本概念和基本結(jié)論有所幫助。例如，在問到是否存在只有兩個(gè)解的線性方程組時(shí)，很多學(xué)生根據(jù)直覺回答存在。然后，我們引導(dǎo)學(xué)生再次回顧Gauss消元法，讓學(xué)生自己修正解答，并得到完整的正確結(jié)論。

3.證明

數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力之一。與其他專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)不同的是，數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)的主要功能之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)證明意識(shí)和能力。大多數(shù)數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)證明的必要性的足夠認(rèn)識(shí)，如很多學(xué)生容易混淆具體算法與證明的區(qū)別，從而難以理解諸如唯一性的結(jié)論的證明。另外，數(shù)學(xué)證明本身也會(huì)幫助學(xué)生理解抽象概念和一些基本結(jié)論。例如在可逆矩陣定義中，說A可逆是指存在矩陣B使得AB=BA=E為單位陣。但是，我們又有如下的結(jié)論：方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)存在方陣B使得AB=E或BA=E。很多學(xué)生感到困惑的是：根據(jù)這個(gè)結(jié)論，為什么不直接把定義中的“且”改成“或”呢？如果學(xué)生理解了可逆矩陣的唯一性的證明，那么這種困惑就會(huì)得到解決。再比如，像方陣的乘積的行列式等于行列式的乘積這樣深刻的定理（對(duì)于學(xué)生來說，矩陣乘積的定義與方陣的行列式的定義相差得太遠(yuǎn)了），如果對(duì)這個(gè)定理的證明過程沒有充分的認(rèn)識(shí)，那也將是難以理解的。

在提出問題并且讓學(xué)生自己根據(jù)直覺得出一些解答后，我們通常通過共同演算導(dǎo)出正確的結(jié)論，或者直接以命題、定理的形式寫出正確的結(jié)論。由直接演算得到結(jié)論的過程就是證明。而且，線性代數(shù)中更多的基本結(jié)論的證明需要概念化而不是具體計(jì)算。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中特別重視對(duì)那些概念化的證明的講解。首先，我們幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉那些定理或命題中涉及的概念。其次，我們強(qiáng)調(diào)所涉及的證明方法。例如，我們要求學(xué)生總結(jié)：哪些定理的證明運(yùn)用了第二歸納法、數(shù)域的擴(kuò)充（如實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的分類、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問題、λ-矩陣的應(yīng)用）等技巧。最后，我們通常會(huì)和學(xué)生討論定理或命題可以在什么程度上進(jìn)行推廣。

由于有些證明的技巧性太強(qiáng)，或者涉及的概念太多，有關(guān)定理或命題的證明的講解容易使學(xué)生感到氣餒。在這種情況下，我們通常先和學(xué)生討論出證明的主要步驟，然后把細(xì)節(jié)留給學(xué)生思考，必要時(shí)再一起補(bǔ)充完整，這樣就有可能增強(qiáng)學(xué)生的自信。

4.應(yīng)用

有關(guān)線性代數(shù)基本概念和基本結(jié)論的應(yīng)用主要是通過例題和習(xí)題來實(shí)現(xiàn)的。例題和習(xí)題的目的在于幫助學(xué)生自我確認(rèn)在多大程度上解決了開始提出的問題（有些問題需要在后繼課程中才能進(jìn)一步討論），以及對(duì)經(jīng)典方法（比如Gauss消元法、Schmidt正交化方法、第二歸納法等）的掌握程度。我們重視習(xí)題課的教學(xué)，盡量做到讓學(xué)生都有機(jī)會(huì)和教師交流自己的體會(huì)。

作為例題和習(xí)題教學(xué)的補(bǔ)充，我們也鼓勵(lì)學(xué)生從事一些大型的、需要協(xié)作的探究活動(dòng)。例如，我們鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)某些算法（如輾轉(zhuǎn)除法、Gauss消元法、求矩陣的逆等）進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程。盡管線性代數(shù)中出現(xiàn)的絕大多數(shù)算法已經(jīng)有現(xiàn)成的package可用，但是學(xué)生自己的工作是有意義的。學(xué)生通過編程明白了困難所在，從而有可能激發(fā)他們的研究興趣。

在教學(xué)實(shí)踐中，我們通常會(huì)在應(yīng)用階段提出還沒有討論過的問題，從而開始下一輪PIPA過程。

三、教學(xué)案例：矩陣的相似

按傳統(tǒng)教學(xué)方法，我們導(dǎo)出了矩陣相似的定義：矩陣的相似來自于有限維線性空間上線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，關(guān)于矩陣相似的教學(xué)內(nèi)容主要集中在可對(duì)角化、特征值、特征向量、特征子空間、特征多項(xiàng)式、不變子空間、與準(zhǔn)對(duì)角陣相似、與三角陣相似、λ-矩陣?yán)碚?、有理?biāo)準(zhǔn)型與Jordan標(biāo)準(zhǔn)型等方面。我們不像教科書上那樣直接給出特征值、特征向量、不變子空間的定義，而是在討論可對(duì)角化、準(zhǔn)對(duì)角化問題的過程中自然地引入。以下是我們連續(xù)進(jìn)行的幾個(gè)PIPA過程，其中的矩陣指的是數(shù)域F上的方陣。

P： 一般情況下，如何計(jì)算線性變換的核與像？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，誘導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到線性變換在基下的矩陣的重要性。

P： 利用相似的概念，通過直接演算證明線性變換的核與像不依賴于基的選取，讓學(xué)生理解該結(jié)果與直覺的一致性。

A： 舉例說明基的選取影響計(jì)算量，從而提出下面的問題：

P： 如何選取有限維線性空間的基，使得某個(gè)線性變換在這個(gè)基下具有形式上較為簡(jiǎn)單的矩陣，比如說對(duì)角陣或上三角陣？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到討論矩陣的相似問題的重要性。

P： 證明一些關(guān)于矩陣相似的必要條件的結(jié)論。

A： 給出一些矩陣不相似的例子。利用矩陣的列向量形式導(dǎo)出矩陣可對(duì)角化的必要條件，并特別強(qiáng)調(diào)上述問題沒有得到完整解答。于是提出以下的問題：

P： 上面得到的可對(duì)角化的必要條件是否也是充分的？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生再次檢查原先的關(guān)于必要條件的計(jì)算，并注意可逆矩陣的列向量組線性無關(guān)。

P： 提出特征值、特征向量、特征子空間的概念，給出矩陣可對(duì)角化的、用特征向量來描述的充要條件，并完善上述證明過程。

A： 給出計(jì)算可對(duì)角化矩陣的多項(xiàng)式例子。導(dǎo)出線性變換的特征值、特征向量、特征子空間的定義，說明如何利用矩陣來計(jì)算線性變換的特征值、特征向量和特征子空間。于是提出以下的問題：

P： 對(duì)于給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何求它的特征值、特征向量和特征子空間？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到齊次線性方程組的作用。

P： 給出特征多項(xiàng)式的概念，并證明特征多項(xiàng)式的基本性質(zhì)。

A： 給出計(jì)算方面的例子，解釋可對(duì)角化情形下過渡矩陣的構(gòu)造。讓學(xué)生明白矩陣在數(shù)域F上可能沒有特征值，從而在F上更不可能對(duì)角化。給出F上的矩陣的特征值全在F中，但在F上仍然不可對(duì)角化的例子。于是提出以下的問題：

P： 給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何判斷它是否相似于一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角陣？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到分塊矩陣的重要性。

P： 給出矩陣和線性變換的不變子空間的概念，指出特征子空間是特殊的不變子空間。利用列向量和分塊矩陣導(dǎo)出矩陣相似于準(zhǔn)對(duì)角陣的一個(gè)用不變子空間來描述的充要條件。

A： 舉出不是特征子空間的不變子空間的例子（循環(huán)子空間），舉出利用多項(xiàng)式來構(gòu)造不變子空間的例子，舉出不能相似于準(zhǔn)對(duì)角陣的例子。于是提出以下的問題：

P： 給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何判斷它是否相似于一個(gè)上三角陣？從而進(jìn)入下一個(gè)PIPA過程。

按照這樣的教學(xué)過程，最后進(jìn)行到對(duì)任意兩個(gè)矩陣的相似問題的討論，并利用λ-矩陣?yán)碚摰玫较嗨频某湟獥l件，從而得到有理標(biāo)準(zhǔn)型和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)結(jié)論。這樣的教學(xué)過程體現(xiàn)了從特殊到一般的抽象思維過程，可以幫助學(xué)生在掌握一般理論的同時(shí)，對(duì)具體應(yīng)用問題也能達(dá)到熟練的程度。

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