張亞東，郭立豐

(東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶市 163318)

0 引 言

重整化方法作為物理學(xué)中著名的方法，應(yīng)用極其廣泛.1948年，Schwinger，F(xiàn)eynman和Tomonaga分別獨立引入重整化方法消除量子動力學(xué)中的微擾理論的[1]，Dyson驗證三者之間的等價性[2].1953年，Gell-man和Low使用重整化群(簡記RG)方法解決量子場論微擾理論中的發(fā)散問題[3]，使得重整化群方法得以發(fā)展.隨后的發(fā)展，表明RG方法不僅僅是處理發(fā)散問題的手段，在其他方面也有更廣泛的應(yīng)用[11-14].例如，Wilson提出了二項相位變換的RG方法[4]，被認為是20世紀理論物理的重大突破之一.對統(tǒng)計物理及凝聚態(tài)物理的理論和實驗工作都有很深遠的影響.1990年，Goldenfeld提出重整化群的概念[5]，可以應(yīng)用到非平衡態(tài)現(xiàn)象.這些現(xiàn)象可以用經(jīng)典的偏微分方程來描述[15，16].

至此，RG方法開始代替量綱分析去研究非線性偏微分方程[17].這些研究成果表明RG方法對漸進分析的理論比通常的微擾理論更有效、更精確.隨后，RG方法的理論和應(yīng)用得到迅速的發(fā)展和推廣[18]，在物理學(xué)以及非線性方程的漸進解方面得到廣泛的應(yīng)用.例如，Kunihiro、Nozaki、Oono、Shiwa等人提出的proto-RG方法，程耕和涂濤提出改進重整化群方法[9]，并將其應(yīng)用于一系列的偏微分方程中.Teiji Kunihiro基于包絡(luò)理論給出了重整化群方法的一個幾何解釋[8].尤其，Liu提出一個新的基于簡單的泰勒展開的重整化方法——同倫重整化方法[10]，并將此方法與RG方法作了比較，指出RG方法的一些不足之處以及同倫重整化方法的優(yōu)勢.

本文將利用Teiji Kunihiro的基于包絡(luò)理論[6，7]的重整化群方法求解mKdv方程大范圍漸進解.

1 mKdv方程求解

f+ff″+β(1-f′)-m2(f′-1)=0

(1)

首先，我們考慮擾動mKdV方程(1)，寫出同倫方程

f?+f″=ε[f″+m2(f′-1)-β(1-f′2)-ff″]

(2)

將f(η)泰勒展開

f(η)=f0(η)+εf1(η)+ε2f2(η)+ …

(3)

將(3)帶入到(2)中，

(4)

通過相等冪的相等，我們得到兩個方程

(5)

(6)

求解(5)得

f0=Ae-η+B(η-η0)

(7)

將(7)帶入(6)中得

AB(η-η0)e-η+m2B-m2-β+B2β

(8)

求解f1得：

f1=(A+m2A+2ABβ-2AB)(η-η0)e-η+(-A+m2A+2ABβ-3AB)e-η+

(9)

將(7)和(9)帶入到(4)得

f=Ae-η+B(η-η0)+ε[(A+m2A+2ABβ-2AB)(η-η0)e-η+

(10)

求解出f的表達式如(10)所示.為了方便起見，因為B為常數(shù)項，所以令B=0，將(10)簡化得：

(11)

現(xiàn)在我們假設(shè)A依賴于η0，即A=A(η0).

給出重整化方程

(12)

根據(jù)(12)兩邊系數(shù)給出以下方程組

A′(η0)e-η+εA′(η0)(1-m2)e-η=ε(A+m2A)e-η

(13)

由(13)得出

將A(η0)帶入(11)中，并且令η=η0，ε=1；求解出f(η)，如下

2 結(jié)論

本文研究了mKdv方程的求解，并且得到了此類方程的近似解，給出了求解這一類微分方程的求解方案.