劉浩宇

（格拉斯哥大學(xué)，英國(guó) 格拉斯哥市 G12 8QQ）

一、研究背景和意義

股票市場(chǎng)是金融市場(chǎng)中比較重要的一個(gè)組成部分，它是已經(jīng)發(fā)行的股票轉(zhuǎn)讓、買賣和流通的場(chǎng)所，包括交易所市場(chǎng)和場(chǎng)外交易市場(chǎng)兩大類別。由于它是建立在發(fā)行市場(chǎng)基礎(chǔ)上的，因此又稱作二級(jí)市場(chǎng)。股票市場(chǎng)的結(jié)構(gòu)和交易活動(dòng)比發(fā)行市場(chǎng)（一級(jí)市場(chǎng)）更為復(fù)雜，其作用和影響力也更大。股票市場(chǎng)最早存在于1602年荷蘭人在阿姆斯特河大橋上進(jìn)行荷屬東印度公司股票的買賣，而正規(guī)的股票市場(chǎng)最早出現(xiàn)在美國(guó)。在中國(guó)存在上交所和深交所兩個(gè)股票交易場(chǎng)所。如今在中國(guó)就存在近兩億股民，股票的波動(dòng)起伏會(huì)影響到許多產(chǎn)業(yè)和資產(chǎn)。人們就開始研究股票指數(shù)和波動(dòng)，股票的波動(dòng)看似毫無規(guī)律，其實(shí)內(nèi)在存在很多關(guān)系，比如長(zhǎng)記憶性。這些特性可以用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，時(shí)間序列和隨機(jī)過程進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在從20世紀(jì)開始逐漸興起。Engle（1982）①提出了自回歸條件異方差模型ARCH，他運(yùn)ARCH模型研究的是英國(guó)通貨膨脹率，隨后人們發(fā)現(xiàn)此類模型可以被運(yùn)用到其他金融領(lǐng)域如股票市場(chǎng)。在之后的幾十年時(shí)間中，ARCH模型在不斷地進(jìn)化。Bollersle（1986）對(duì)此模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了GARCH模型。Terasvirtaet al（2010）在討論會(huì)中提出了關(guān)于非線性時(shí)間序列的ARCH建模，借鑒了Krugman（1999）年提出的非線性計(jì)量模型在匯率中計(jì)算的理論。在模擬方面，基于十九世紀(jì)后半葉的蒲豐問題，有了比較成熟的模擬方法蒙特卡洛模擬法（MC法）。這是運(yùn)用了隨機(jī)數(shù)和概率模型，將復(fù)雜的事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)方法加以模擬。蒙特卡洛模擬被廣泛的運(yùn)用在諸多領(lǐng)域如教育，軍事和金融。股票市場(chǎng)存在隨機(jī)性，蒙特卡洛模擬正是隨機(jī)過程的一種模擬方法。

隨著近十年金融市場(chǎng)的快速發(fā)展，人們逐漸意識(shí)到金融市場(chǎng)的波動(dòng)是可以預(yù)測(cè)和分析。然而在傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)時(shí)間序列的第二個(gè)假設(shè)中，時(shí)間序列變量的波動(dòng)幅度（方差）是固定的。這當(dāng)然是不符合實(shí)際的，股票收益的波動(dòng)幅度是隨著時(shí)間變化而變化的，并不是一個(gè)常數(shù)。所以需要有新的模型進(jìn)行解釋和分析這種波動(dòng)。這篇文章運(yùn)用GARCH模型和蒙特卡洛模擬分析對(duì)于具體的股票市場(chǎng)的波動(dòng)率分析。并且進(jìn)行運(yùn)用此時(shí)間序列模型對(duì)股票波動(dòng)進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)。

二、時(shí)間序列方法和模型

（一）時(shí)間序列的預(yù)處理

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過程的概率分布與時(shí)間的位移無關(guān)。如果從序列中任意取一組隨機(jī)變量并把這個(gè)序列向前移動(dòng)h個(gè)時(shí)間，其聯(lián)合概率分布保持不變。

2.純隨機(jī)檢驗(yàn)

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列是不是具有純隨機(jī)性的方法稱為純隨機(jī)檢驗(yàn)。純隨機(jī)序列也成為白噪聲序列，他滿足各序列值沒有關(guān)系，γ（K）=0，∨K≠0。在某些情況中，自相關(guān)系數(shù)波動(dòng)于0左右的時(shí)間序列是純隨機(jī)序列。②

3.單位根檢驗(yàn)

當(dāng)今，單位根檢驗(yàn)方法為時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的最常用方法。單位根檢驗(yàn)是構(gòu)造單位統(tǒng)計(jì)量，通過檢驗(yàn)特征根是在單位圓上(外)還是單位圓內(nèi)得出相應(yīng)結(jié)論。如果全部都在圓外表示數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，如果有一個(gè)在圓內(nèi)即表示數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性。GARCH模型雖然是廣義ARCH模型，可是仍然可以運(yùn)用傳統(tǒng)的單位根檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。③DF檢驗(yàn)只適用于低階AR模型，人們進(jìn)行改進(jìn)提出了增廣ADF檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)高階AR模型。如果AR(p)序列存在單位根，那么其自回歸系數(shù)之和正好等于1。

4.信息準(zhǔn)則

（1）AIC準(zhǔn)則

AIC是衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)，由日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家Akaika在1973年提出，它建立在熵的概念上，提供了權(quán)衡估計(jì)模型復(fù)雜度和擬合數(shù)據(jù)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)。④通常將最優(yōu)模型定義為使AIC的值達(dá)到最小的模型。它是擬合精度和參數(shù)未知個(gè)數(shù)的加權(quán)函數(shù)：

AIC=2log（模型中極型中極大似然）+2（模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)）.

一般情況下，AIC準(zhǔn)則擬合精度和參數(shù)個(gè)數(shù)的加權(quán)函數(shù)

（2）BIC準(zhǔn)則

AIC準(zhǔn)則也有不足之處：如果時(shí)間序列很長(zhǎng)，相關(guān)信息就越分散，需要多自變量復(fù)雜擬合模型才能使擬合精度比較高。為了彌補(bǔ)AIC準(zhǔn)則的不足，Akaike于1976年提出BIC準(zhǔn)則。Schwartz在1978年根據(jù)Bayes理論也提出相同的準(zhǔn)則，因此BIC準(zhǔn)則又稱SBC準(zhǔn)則。BIC準(zhǔn)則的定義如下：

BIC=2log（模型中極型中極大似然）+log(n)（模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)）.

在實(shí)際操作中，將模型的AIC值和BIC值分別比較，選取值最小的為最佳模型。⑤本文會(huì)用大量有限的數(shù)據(jù)分析GARCH模型不同階數(shù)的AIC和BIC值，發(fā)現(xiàn)GARCH(1,1)模型的AIC和BIC值相對(duì)較小。故GARCH(1,1)模型更加符合本課題。

（二）GARCH模型

Bollerslev（1986）年根據(jù)ARCH模型又提出了GARCH模型，GARCH模型是一個(gè)專門針對(duì)金融數(shù)據(jù)所量體定制的回歸模型，除去和普通回歸模型的相同之處，GARCH模型對(duì)誤差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。該模型特別適用于波動(dòng)性的分析和預(yù)測(cè)，對(duì)投資者的決策起到了重要的指導(dǎo)作用，因此被廣泛應(yīng)用于股票市場(chǎng)分析中。⑥

一般的GARCH(p,q)模型可以表示為：

其中ht為條件方差，ut為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，ht與 ut互相獨(dú)立，ut為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（1）式稱為條件均值方程；（3）式稱為條件方差方程，說明時(shí)間序列條件方差的變化特征。

三、實(shí)例分析

在20世紀(jì)末中國(guó)開始有股票交易，如今中國(guó)存在兩大交易所即上海證券交易和深證證券交易所。本文研究的是滬深300指數(shù)，滬深300指數(shù)是由滬深證券交易所于2005年4月8日聯(lián)合發(fā)布的反映滬深300指數(shù)編制目標(biāo)和運(yùn)行狀況，并能夠作為投資業(yè)績(jī)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，為指數(shù)化投資和指數(shù)衍生產(chǎn)品創(chuàng)新提供基礎(chǔ)條件。滬深300指數(shù)計(jì)算方法如下：

報(bào)告期指數(shù)=報(bào)告期成份股的調(diào)整市值/基日成份股的調(diào)整市值×1000

從國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫里找到從2008年1月30日到2017年12月29號(hào)的數(shù)據(jù)（見表1）。以這些數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用R軟件對(duì)其進(jìn)行時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)，分析股票波動(dòng)。通過GARCH模型和蒙特卡洛模擬分析時(shí)間序列分析方法預(yù)測(cè)2017年的股票波動(dòng)情況，將其與實(shí)際值比較。利用GARCH模型和蒙特卡洛模擬，預(yù)測(cè)出2018年滬深300指數(shù)波動(dòng)情況。

表1 2008-2017年滬深300年平均指數(shù) （元）

從年滬深平均指數(shù)可以看書滬深300收盤指數(shù)總體存在一個(gè)上升的趨勢(shì)。本文研究是每天的日收盤價(jià)，因此選取2008-2017年10年間共計(jì)2434天的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

（一）GARCH模型

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)與處理

繪制滬深300收盤價(jià)指數(shù)2434天的折線圖如下：

圖1 滬深300指數(shù)收盤價(jià)

由這個(gè)滬深300指數(shù)的趨勢(shì)圖可知，滬深300指數(shù)收盤價(jià)圍繞某個(gè)值在上下波動(dòng)，可得出一個(gè)初步結(jié)論這個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)時(shí)間序列。然后需要用軟件對(duì)其進(jìn)行ADF單位根具體檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

圖2 ADF單位根檢驗(yàn)

ADF中p值為0.01＜0.05,可知5%顯著性水平下拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列滬深300指數(shù)是平穩(wěn)序列。只有當(dāng)p值大于0.05時(shí)，才會(huì)認(rèn)為該序列時(shí)非平穩(wěn)序列。

2.模型的識(shí)別和確定

對(duì)于GARCH(p,q)模型找到p和q的值，一般會(huì)取p=q=1，但這里還會(huì)選p=1,q=2和p=2,q=1來進(jìn)行比較。

確定模型的階數(shù)后還需要進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)，以免模型可能存在有效性不足的情況。綜合AIC最小、BIC最小，調(diào)整最大等原則以及模型殘差不相關(guān)，對(duì)模型完成檢驗(yàn)，確定最優(yōu)形式的GARCH模型，所得結(jié)果如下：

表2 各模型檢驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)過結(jié)果分析可知，所有形式的GARCH擬合模型的殘差都不具有序列相關(guān)性，即各模型都是顯著有效模型。經(jīng)比較選擇擬合度R2較大的，AIC和BIC較小的模型，即p=q=1時(shí)模型是最合適的。有參數(shù)估計(jì)和結(jié)果檢驗(yàn)（如下圖3和圖4）知：

圖3 參數(shù)結(jié)果

圖4 ACF觀測(cè)值

從圖5可以看出滬深300指數(shù)的波動(dòng)并不屬于季節(jié)性波動(dòng)，屬于趨勢(shì)波動(dòng)。在這個(gè)結(jié)果中知道參數(shù) :μ=3214.11343，ω=1690.85103，α1=0.95362，β1=0.05495,可是發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)中β1的p值比較大，β1是和殘差相關(guān)的參數(shù)，可能在處理時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏差，根據(jù)殘差圖和正態(tài)圖（如下），可以得出β1在這里是合理的。因?yàn)闈M足正態(tài)分布，殘差也符合白噪聲序列，模型是合理的。

圖5 殘差圖

圖6 正態(tài)分布QQ圖

圖7 正態(tài)分布直方圖

3.模型的預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià)

利用GARCH(1,1)模型對(duì)滬深300收盤價(jià)指數(shù)2018年第一個(gè)月（1月2日到1月29日）共計(jì)20天的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將2017年12月29日（最后一天）的滬深300指數(shù)收盤價(jià)4030元作為起始點(diǎn)進(jìn)行分析，并將預(yù)測(cè)值與在國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫中收集到的真實(shí)值做對(duì)比，計(jì)算出預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差，得到的結(jié)果如下：

表3 2018年一月滬深300指數(shù)實(shí)際值和預(yù)測(cè)值比較

續(xù)表3

圖8 GARCH預(yù)測(cè)值和實(shí)際值

通過觀察上述預(yù)測(cè)誤差計(jì)算結(jié)果可知，GARCH(1.1)模型的存在一定的預(yù)誤差，可能是由于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)有限，可但誤差都在5%以內(nèi)，短期預(yù)測(cè)值有一定的準(zhǔn)確性，從繪制的折現(xiàn)圖也可發(fā)現(xiàn)實(shí)際值和預(yù)測(cè)值相，都有一個(gè)相同的趨勢(shì)，滬深300指數(shù)收盤價(jià)呈上升趨勢(shì)。因此這個(gè)模型可以作為分析和預(yù)測(cè)指數(shù)波動(dòng)的良好工具。下面就會(huì)用蒙特卡洛模擬進(jìn)行進(jìn)一步的預(yù)測(cè)和分析。

（二）蒙特卡洛模擬

蒙特卡羅方法于20世紀(jì)40年代美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”計(jì)劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼首先提出。蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)來解決很多計(jì)算問題的方法。

在金融領(lǐng)域，蒙卡洛模擬常被運(yùn)用于期權(quán)定價(jià)。張峻華等（2014）⑦運(yùn)用伊藤公式和蒙特卡洛模擬提出了股票波動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)。由幾何布朗運(yùn)動(dòng)可知一個(gè)運(yùn)用蒙特卡洛模擬建立的模型：

t表示時(shí)刻，S表示價(jià)格，價(jià)格的漂移率為μS，其中μ為常數(shù)，運(yùn)用伊藤引理可知：

在進(jìn)行蒙特卡洛模擬前會(huì)運(yùn)用（1），（2）兩式得到一天內(nèi)的預(yù)期收益率μ和收益標(biāo)準(zhǔn)差σ2。利用在國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫中獲得的2008年1月30日到2017年12月29號(hào)由GARCH(1,1)模型，計(jì)算出μ=0.052%和σ=1.21%。然后對(duì)ε～N(0，1)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，由于蒙特卡洛模擬存在一定的偶然性，因此需要多抽幾組數(shù)據(jù)。其中一組的數(shù)據(jù)如下：

圖9 ε的分布

根據(jù)直方圖發(fā)現(xiàn)ε近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與假設(shè)一致。在取得ε的樣本后，以2017年12月29日的滬深300指數(shù)收盤指數(shù)為S0=4030，每日指數(shù)波動(dòng)為ΔS=0.052%S0+1.21%Sε

蒙特卡洛模擬操作如下：

表4 蒙特卡洛操作流程

從多次相互獨(dú)立的蒙特卡洛模擬中選擇一組結(jié)合GARCH模型分析圖，可以繪制如下滬深300綜指價(jià)格的波動(dòng)曲線：

圖10 蒙特卡洛結(jié)合GARCH模型

根據(jù)上述蒙特卡洛模擬過程和折線圖可知，經(jīng)過蒙特卡洛模擬的預(yù)測(cè)檢驗(yàn)和分析下，GARCH模型可以進(jìn)行擬合滬深300收盤指數(shù)，并發(fā)現(xiàn)當(dāng)GARHC模型結(jié)合蒙特卡洛模擬得到的預(yù)測(cè)結(jié)果（圖12中綠色的線）相對(duì)于只有GARCH模型預(yù)測(cè)結(jié)果（圖12中紅色的線）更加接近真實(shí)值。通過分析過去十年的數(shù)據(jù)，看似滬深300收盤指數(shù)波動(dòng)沒有任何可尋規(guī)律，可是可以發(fā)現(xiàn)總體的趨勢(shì)是上升的，在2018年第一個(gè)月的分析中可以發(fā)現(xiàn)雖然有波動(dòng)總體還是呈上升的趨勢(shì)。

四、總結(jié)

通過本文詳細(xì)的研究，GARCH模型在股票市場(chǎng)滬深300收盤指數(shù)的應(yīng)用中可以得到以下的結(jié)論：

（一）在研究GARCH模型時(shí)發(fā)現(xiàn)雖然GARCH模型存在眾多的階數(shù)，并且每種都可以進(jìn)行滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)分析，但是相比較而言當(dāng)p=q=1時(shí)，即GARCH(1,1)模型的擬合預(yù)測(cè)效果是最好的。

（二）使用GARCH模型和蒙特卡洛模擬結(jié)合的預(yù)測(cè)比單純使用GARCH模型的預(yù)測(cè)值更加精確，以后進(jìn)行股票收盤價(jià)的預(yù)測(cè)需要將兩種方法相結(jié)合，雖然蒙特卡洛模擬常用于期權(quán)定價(jià)，可是金融市場(chǎng)具有互通性，在這里蒙特卡洛模擬和GARCH相結(jié)合就完美的預(yù)測(cè)了滬深300收盤價(jià)指數(shù)的波動(dòng)。

（三）GARCH模型可以很好的擬合和預(yù)測(cè)滬深300收盤指數(shù)的波動(dòng)，因此投資人政府監(jiān)管機(jī)構(gòu)可以根據(jù)GARCH模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行合理的投資和監(jiān)管。

（四）滬深300收盤指數(shù)大體呈上升的趨勢(shì)，造成該現(xiàn)象的可能原因有1.近十年來越來越多的市民投生到股票市場(chǎng)中，推動(dòng)了滬深300的發(fā)展；2.中國(guó)近十年經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，強(qiáng)烈的刺激了股票市場(chǎng)，使股票市場(chǎng)呈現(xiàn)了上升的趨勢(shì)。3.當(dāng)大盤指數(shù)不穩(wěn)定時(shí)，政府會(huì)適當(dāng)對(duì)股票進(jìn)行調(diào)控保持它們上升的趨勢(shì)。⑧

（五）滬深300指數(shù)的波動(dòng)表明在中國(guó)這種具有弱式效應(yīng)的金融市場(chǎng)下，股票波動(dòng)存在長(zhǎng)記憶性，短期波動(dòng)也具有相關(guān)性。

可是在研究的過程中仍然存在一定的問題和缺陷：

（一）GARCH模型不能解釋股票收益和收益變化波動(dòng)之間出現(xiàn)的負(fù)相關(guān)現(xiàn)象。GARCH(p,q)模型假定條件方差是滯后殘差平方的函數(shù),因此,殘差的符號(hào)不影響波動(dòng),即條件方差對(duì)正的價(jià)格變化和負(fù)的價(jià)格變化的反應(yīng)是對(duì)稱的。然而在經(jīng)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn),當(dāng)利空消息出現(xiàn)時(shí),即預(yù)期股票收益會(huì)下降時(shí),波動(dòng)趨向于增大;當(dāng)利好消息出現(xiàn)時(shí),即預(yù)期股票收益會(huì)上升時(shí),波動(dòng)趨向于減小。GARCH(p,q)模型不能解釋這種非對(duì)稱現(xiàn)象。⑨

（三）本文選取的是近十年的數(shù)據(jù)，然而預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)選取的僅僅是2018年一月份的預(yù)測(cè)，雖然分析中沒發(fā)現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)，但是實(shí)際中會(huì)存在季節(jié)性問題，因此要想得出此模型是否可用于未來滬深300指數(shù)波動(dòng)的結(jié)論還為時(shí)尚早，需要進(jìn)行大量模擬預(yù)測(cè)分析。

（四）影響中國(guó)股票的因素較多，GARCH模型只是簡(jiǎn)單的分析了波動(dòng)，如果想要研究更加深入的話可能還需要分析更多的因素，這樣可能需要用其他方法例如主成分分析法和獨(dú)立成分分析法等方法來進(jìn)行分析。

【注 釋】

①Engle.Robert F..Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of thevarianceof United Kingdom inflation[J].Econometrica,1982,50.987.1007

②劉毅睿.高斯白噪聲序列的檢驗(yàn) [D].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),2004.

③鮮思東,彭作祥.具有GARCH(near-IGRACH)-normal誤差項(xiàng)時(shí)序的ADF單位根檢驗(yàn) [J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2007(05):459-463.

④魯萬波,余競(jìng).用AIC準(zhǔn)則識(shí)別最佳因子分析模型[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(02):28-32.

⑤陳曉鋒.AIC準(zhǔn)則及其在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用研究[D].天津財(cái)經(jīng)大學(xué),2012.

⑥魏潔,韓立巖.GARCH模型下基于偏最小二乘的歐式股指期權(quán)定價(jià)——來自香港恒生指數(shù)期權(quán)市場(chǎng)的證據(jù)[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2015,34(03):550-560.

⑦張峻華,戴倫,劉文浩.股票價(jià)格行為關(guān)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模擬——基于中國(guó)上證綜指的實(shí)證研究[J].財(cái)經(jīng)界(學(xué)術(shù)版),2014(19):31-33.

⑧馬薇,張卓群.結(jié)構(gòu)性改革下政府調(diào)控對(duì)于股票市場(chǎng)的影響分析[J].河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(04):92-97.

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