☉安徽省六安第二中學(xué) 易 歡

一、引言

高中數(shù)學(xué)教學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，無(wú)論是教學(xué)內(nèi)容還是教學(xué)廣度和教學(xué)深度都明顯增加.知識(shí)點(diǎn)多而分散是高中數(shù)學(xué)教材的一大特點(diǎn)，因此高中學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)有一定難度，教師的教學(xué)之路任重道遠(yuǎn).雖然教師授課時(shí)間有限，但是可以帶領(lǐng)學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，理解記憶，整理分類，總結(jié)歸納.這樣不僅可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，而且可以讓學(xué)生將各個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成完整的知識(shí)體系.本文以人教版高一數(shù)學(xué)必修2教材中第四章第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系為例，淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā).

二、高中數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系

通過(guò)計(jì)算直線與圓的交點(diǎn)，我們可以將直線與圓的位置關(guān)系總結(jié)為：如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，那么我們認(rèn)為這條直線與這個(gè)圓相交；如果一條直線與一個(gè)圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么我們認(rèn)為這條直線與這個(gè)圓相切；如果一條直線與一個(gè)圓沒(méi)有任何交點(diǎn)，那么我們認(rèn)為這條直線與這個(gè)圓相離.需要補(bǔ)充的是：在直線與圓相交時(shí)，通常將這條直線叫做這個(gè)圓的割線；在直線與圓相切時(shí)，通常稱這條直線為這個(gè)圓的切線，直線與圓的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

三、高中數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系的啟發(fā)性教學(xué)方法

（一）明確目標(biāo)，理清重難點(diǎn)

教師在進(jìn)行每個(gè)章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，要明確教學(xué)目標(biāo)，為學(xué)生理清重點(diǎn)和難點(diǎn).就直線與圓的位置關(guān)系這一小節(jié)而言，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生能夠概括其定義，并且會(huì)使用定義來(lái)判斷和應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系；教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生理解并掌握直線與圓的相切、相離、相交三種位置關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用并掌握直線與圓的判定方法.在明確教學(xué)目標(biāo)和理清重難點(diǎn)之后，有助于教師通過(guò)講解具體的案例，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知和理解直線與圓的三種位置關(guān)系的能力；有助于教師通過(guò)將點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行對(duì)比講解，加深學(xué)生對(duì)直線與圓的位置和數(shù)量關(guān)系的理解.

（二）講練結(jié)合，應(yīng)用新知識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)的展開(kāi)離不開(kāi)例題講解，學(xué)生結(jié)合課堂練習(xí)與教師講解，能夠及時(shí)運(yùn)用和消化新知識(shí)，鞏固已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí).這個(gè)階段需要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分發(fā)揮課堂教學(xué)的激勵(lì)和調(diào)控功能.但是，教師在進(jìn)行講練結(jié)合的時(shí)候也應(yīng)該注意，應(yīng)該層層遞進(jìn)，慢慢加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解.

案例1 如圖1，Rt△ABC中的斜邊BC=10cm，直角邊AC=6cm.那么試判斷：以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個(gè)圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系？以A為圓心的圓半徑r多長(zhǎng)時(shí)，才能判定直線BC與⊙A相切？以A為圓心的圓半徑r多長(zhǎng)時(shí)，才能判定直線BC與⊙A相交？

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=8cm，所以BC邊上的高為4.8cm.

因?yàn)?.8cm＞4cm＞2cm，故以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個(gè)圓與直線BC相離；以A為圓心的圓半徑r為4.8cm時(shí)，才能判定直線BC與⊙A相切；以A為圓心的圓半徑r大于4.8cm時(shí)，才能判定直線BC與⊙A相切.

評(píng)析：該例題看起來(lái)簡(jiǎn)單容易，只需將直角三角形斜邊上的高計(jì)算出來(lái)，問(wèn)題就迎刃而解.但是，無(wú)論任何學(xué)科，基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.實(shí)際上，這個(gè)題目將圓與直線的位置關(guān)系的定義與判定都囊括其中.然而，越是簡(jiǎn)單基礎(chǔ)的問(wèn)題，學(xué)生在練習(xí)時(shí)就越容易出錯(cuò).所以，教師在進(jìn)行例題講解時(shí)需要重視這類基礎(chǔ)例題，學(xué)生在進(jìn)行課堂練習(xí)或完成課下習(xí)題的過(guò)程中也不能松懈基礎(chǔ)訓(xùn)練.因此，教師在課上講解這類簡(jiǎn)單例題時(shí)，一方面，很容易被學(xué)生接受，快速結(jié)合課堂知識(shí)進(jìn)行練習(xí)并告訴老師答案；另一方面，能夠?qū)⒔虒W(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)學(xué)生的課堂練習(xí)反饋進(jìn)行進(jìn)一步教學(xué).

案例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為圓心為P，現(xiàn)有過(guò)點(diǎn)Q（0，2）且斜率為k的直線，若與圓P相交于A、B兩點(diǎn)，求斜率k的取值范圍；若與圓P沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)

圖1

，k的取值范圍又為多少？

解析：根據(jù)已知條件可以得到圓P的圓心坐標(biāo)為（6，0），半徑是2.

設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的直線為y=kx+2.

想要滿足題目中直線與圓相交于兩點(diǎn)，則需要圓心到直線之間的距離小于半徑，根據(jù)所學(xué)點(diǎn)到直線的距離為d，d＜2.即可解出k的取值范圍為

若與圓P沒(méi)有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離需要大于半徑

評(píng)析：案例2比案例1的難度有了提高，做到了層層深入.將圓與直線的位置關(guān)系放在了直角坐標(biāo)系中，若此題采用代數(shù)方法，將直線方程代入圓的方程，根據(jù)解的個(gè)數(shù)，采取判定式作答，則此題計(jì)算量較大.但是學(xué)生若可以做到將代數(shù)與幾何知識(shí)巧妙地融合，則大大減少了計(jì)算量，提高了解題效率.通過(guò)這種綜合性的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的綜合解題能力.將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，達(dá)到融會(huì)貫通的目的.

（三）尋找規(guī)律，總結(jié)歸納

高中數(shù)學(xué)雖然知識(shí)點(diǎn)羅列散亂，但是仍然有規(guī)律可循.學(xué)生要將眾多知識(shí)點(diǎn)理解并掌握，離不開(kāi)總結(jié)歸納.然而，高中數(shù)學(xué)知識(shí)也不僅僅局限于書(shū)本，學(xué)生還應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的規(guī)律，這就需要教師在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、善于思考總結(jié)的好習(xí)慣.

案例3 如圖2，已知直線PB與⊙O相交于點(diǎn)A，割線為直線PAB，并且有以下條件：PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，試求⊙O的半徑.

圖2

圖3

解析：延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，因?yàn)椤袿的割線為直線PAB，由割線定理知PA·PB=PC·PD. 因?yàn)镻C·PD=（POCO）（PO+OD），所以PA·PB=（PO-CO）（PO+OD），因?yàn)镻A=7cm，AB=5cm，PO=10cm，OD=CO，將數(shù)據(jù)代入PA·PB=（PO-CO）（PO+OD）中，解得CO=4cm.所以⊙O的半徑為4cm.

評(píng)析：這類題型比較復(fù)雜，因?yàn)槿私贪娓咧袛?shù)學(xué)必修2的教材中沒(méi)有給出割線定理的具體表達(dá)式.但同時(shí)，這類題型立足于直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)之上，以直線與圓相交的性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，又在考查割線的性質(zhì)和定理.這需要教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)作用，通過(guò)例題練習(xí)和講解，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出割線定理，加深學(xué)生對(duì)割線定理的理解與應(yīng)用，便于學(xué)生在以后涉及割線定理的題型中快速完成解答.

案例4 已知直線表達(dá)式為Ax+By+C=0，圓的表達(dá)式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.判定直線與圓的位置關(guān)系.

思路一：已知直線表達(dá)式為Ax+By+C=0，圓的表達(dá)式可以化為（x-a）2+（y-b）2=r2，通過(guò)判斷圓心（a，b）到直線的距離可以判定直線與圓的位置關(guān)系.

圓心（a，b）到直線的距離可以表示為后判斷d與圓的半徑r的大小關(guān)系，即可得到直線與圓的位置關(guān)系：如果d=r，則直線與圓相切；如果d＜r，則直線與圓相交；如果d＞r，則直線與圓相離.

思路二：已知直線表達(dá)式為Ax+By+C=0，圓的表達(dá)式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將這兩個(gè)方程聯(lián)立消元后得到一個(gè)方程ax2+by2+cx+dy+e=0.然后根據(jù)方程的判別式作答.若判別式大于零，則表示方程有兩個(gè)解，即圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；若判別式等于零，則表示方程有一個(gè)解，即圓與直線有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；若判別式小于零，則方程無(wú)解，圓與直線沒(méi)有交點(diǎn).

評(píng)析：這個(gè)案例考查的就是直線與圓的位置關(guān)系的兩種判別方法：幾何法和代數(shù)法.思路一就是幾何法，通過(guò)比較圓的半徑與圓心到直線的距離的大小，判定直線與圓的位置關(guān)系；思路二就是代數(shù)法，結(jié)合直線與圓的數(shù)學(xué)表達(dá)式，消元之后得到一個(gè)一元二次方程，通過(guò)計(jì)算這個(gè)一元二次方程的判別式與零的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.這兩種方法在人教版高中數(shù)學(xué)必修2的教材中都有提到過(guò)，但是需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，使學(xué)生不至于在面對(duì)不同的題型時(shí)混淆方法，便于學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的判別方法理解的更加扎實(shí)和掌握的更加牢固.

四、總結(jié)

面對(duì)應(yīng)試教育和素質(zhì)教育，高中數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)艱巨，學(xué)生學(xué)習(xí)壓力巨大.但是，教無(wú)定法，教學(xué)有法.教師的使命是教學(xué)，教授學(xué)生知識(shí)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，因此教學(xué)方法顯得尤為重要.通過(guò)人教版高一數(shù)學(xué)必修2教材中第四章第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)，針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，我們可以得到三點(diǎn)啟發(fā)：第一，“明確目標(biāo)，理清重難點(diǎn)”的教學(xué)方式，有助于學(xué)生快速吸收課堂知識(shí)，高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)；第二，“講練結(jié)合，應(yīng)用新知識(shí)”的教學(xué)策略，有助于學(xué)生鞏固課堂基礎(chǔ)知識(shí)，并將新知識(shí)學(xué)以致用；第三，“尋找規(guī)律，總結(jié)歸納”的引導(dǎo)教學(xué)，有助于學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)理解的更加透徹，掌握的更加牢固.F