☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 白若雪

一、引言

在高中數(shù)學(xué)課程中，幾何是變化較大的內(nèi)容之一，也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程中的一條主線.幾何課程的設(shè)計(jì)分為兩部分，一部分是將“把握?qǐng)D形”的能力作為指導(dǎo)思想，貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)課程的始終.另一部分是設(shè)計(jì)了應(yīng)用的幾何內(nèi)容.

向量是幾何的一個(gè)基本內(nèi)容，它既可以看成是代數(shù)的內(nèi)容，也可以看成是幾何的內(nèi)容.向量可以用來表示空間中的點(diǎn)、線、面.如果以坐標(biāo)系的原點(diǎn)為起點(diǎn)，向量就與空間中的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過向量的運(yùn)算來度量幾何體現(xiàn)了向量是連接幾何和代數(shù)的一座天然“橋梁”，它進(jìn)一步體現(xiàn)了解析幾何的思想，是體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體.

本文重點(diǎn)是兩本數(shù)學(xué)教材對(duì)于平面向量例習(xí)題的難度比較，指出各教材的共性和差異，優(yōu)點(diǎn)和不足，為中學(xué)選擇教材提供幫助.

二、研究方法

（一）研究對(duì)象

人教A版教材中平面向量的知識(shí)安排在必修4第二章，分為5小節(jié)，北師大版教材平面向量知識(shí)也安排在必修4第二章，分為7小節(jié).探究?jī)砂姹窘滩闹衅矫嫦蛄績(jī)?nèi)容中的例習(xí)題的編排特點(diǎn).

（二）研究方法

選擇了鮑建生教授的“數(shù)學(xué)課程的綜合難度模型”，該模型是由5個(gè)因素構(gòu)成的五邊形，這5個(gè)因素分別是認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理、知識(shí)含量，其中每個(gè)因素又都細(xì)化為不同的層次水平.

（三）研究?jī)?nèi)容

例習(xí)題既是向?qū)W生傳授知識(shí)的紐帶，又是鞏固“雙基”、培養(yǎng)能力的橋梁.研究主要針對(duì)例習(xí)題的呈現(xiàn)形式、題量、難易程度等方面進(jìn)行相互比較.

三、研究結(jié)果分析

（一）例習(xí)題的形式與數(shù)量比較

表1 人教A版教材向量例習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)表［1］

表2 北師大版教材向量例習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)表［2］

由表1和表2可知北師大版的例習(xí)題總數(shù)要少于人教A版，其中人教A版涉及的探究與思考類型較多，數(shù)量也遠(yuǎn)多于北師大版，似乎更注重“探究式教學(xué)”.

從整體觀察兩個(gè)版本的例習(xí)題編寫形式，還是有很多相似之處的，比如，都是先安排例子作為引入，然后分析，中間穿插探究或思考，這些都符合教師的教和學(xué)生的學(xué)的規(guī)律，只是人教A版的內(nèi)容豐富些.

（二）綜合難度比較

例習(xí)題的綜合難度可衡量出教科書編寫者對(duì)學(xué)習(xí)者所要達(dá)到的要求，本文采用經(jīng)李淑文博士改進(jìn)后的鮑建生數(shù)學(xué)題綜合難度多因素模型，如表3.

表3 維度分析表

人教A版與北師大版向量例題各難度因素的難度值統(tǒng)計(jì)如表4所示.

表4 兩套教材例習(xí)題難度因素對(duì)照

說明：加權(quán)平均d的計(jì)算公式為i=1，2，3，4，5；j=1，2，…）.［3］

其中，di依次表示“認(rèn)知”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”五個(gè)難度因素的加權(quán)平均值，dij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3，4，5），nij則表示這組題目中屬于i第個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n.

根據(jù)兩套教材各難度因素的加權(quán)平均值畫出兩套教材向量例習(xí)題綜合難度五邊形如圖1所示：

圖1 兩套教材例題綜合難度五邊形

這個(gè)五邊形很直觀地顯示出：在背景、知識(shí)含量2個(gè)因素上，人教A版教材數(shù)學(xué)例習(xí)題難度要低于北師大版，而在運(yùn)算、推理、認(rèn)知3個(gè)因素上，人教A版教材數(shù)學(xué)例習(xí)題難度要高于北師大版，而在這5個(gè)因素中，背景的難度值相比其他因素要小很多，兩個(gè)版本都沒有保持5個(gè)因素的平衡性.

（1）認(rèn)知因素的水平比較.

從表4中可以看出人教A版教材的201個(gè)例習(xí)題在認(rèn)知的4個(gè)水平上的表現(xiàn)是：識(shí)記水平的占28.9%，理解水平的占53.2%，應(yīng)用水平的占10.9%，探究水平的占7.0%.而北師大版教材195個(gè)例習(xí)題在認(rèn)知的4個(gè)水平上的表現(xiàn)是：識(shí)記水平的占24.6%，理解水平的占52.3%，應(yīng)用水平的占15.4%，探究水平的占7.7%.如圖2所示.

圖2 兩版本在認(rèn)知水平上的比較

從圖2可以看出，在認(rèn)知的4個(gè)水平上人教A版在識(shí)記和理解兩個(gè)因素的難度值都要高于北師大版，但總體都呈現(xiàn)的是一個(gè)變化趨勢(shì).兩套教材的探究水平體現(xiàn)的都比較低，而重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的理解水平和應(yīng)用意識(shí)，這也體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）對(duì)于數(shù)學(xué)課程的要求：“高中數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.”

（2）背景因素的水平比較.

統(tǒng)計(jì)表明人教A版在平面向量這一章中的例習(xí)題有85.5%的無實(shí)際背景，4.5%的是個(gè)人生活背景，9.0%的是公共常識(shí)背景，3.0%的是有科學(xué)背景.在北師大版的例習(xí)題中有66.7%的無實(shí)際背景，12.3%的有個(gè)人生活背景，16.4%的有公共常識(shí)背景，而有科學(xué)背景的占4.6%.如圖3所示.

圖3 兩版本在背景水平上的比較

從圖3可以看出兩套教材都以無實(shí)際背景例題為主，這可能是由于學(xué)生的發(fā)展過程決定的，在高中階段學(xué)生的學(xué)習(xí)方式已經(jīng)由初中階段的半抽象、半具體轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢砸揽客耆橄笏季S來解決數(shù)學(xué)問題，所以不用通過很多的背景材料來激發(fā)學(xué)生的興趣.而北師大版注重公共常識(shí)背景題和科學(xué)背景題，讀過兩本教材的讀者不難發(fā)現(xiàn)北師大版中的數(shù)學(xué)例題包含實(shí)例分析和例子里面很多都會(huì)涉及物理方面的知識(shí)，我們知道向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量如力、速度、位移，以及電場(chǎng)強(qiáng)向量度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.體現(xiàn)了向量在解決問題時(shí)的有效性，學(xué)生所學(xué)到的向量知識(shí)不是簡(jiǎn)單的計(jì)算及證明，而是能夠應(yīng)用于生活及科學(xué)的一個(gè)工具.

（3）運(yùn)算因素的水平比較.

人教A版教材的201個(gè)例習(xí)題有15.9%的是沒有運(yùn)算的，19.9%是數(shù)值運(yùn)算，55.2%的是簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，9.0%的是復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算.北師大版教材的195個(gè)例習(xí)題有15.9%的是無運(yùn)算的，28.2%是屬于數(shù)值運(yùn)算，52.3%的是簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，3.6%的是復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算.如圖4所示.

圖4 運(yùn)算因素的水平比較

在運(yùn)算因素的水平比較圖中不難看出人教A版只有在數(shù)值運(yùn)算的例習(xí)題中略低于北師大版，而在其他的3個(gè)水平無運(yùn)算、簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算、復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算中都高于北師大版，兩個(gè)版本都以簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算的例習(xí)題為主，其次為數(shù)值運(yùn)算，這是由向量本身的性質(zhì)決定的，向量本身既有大小又有方向，所以掌握向量的線性運(yùn)算是很必要的，在向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、坐標(biāo)變換中雖然有時(shí)候沒有涉及字母，但是它仍然屬于符號(hào)運(yùn)算.

（4）推理因素的水平比較.

人教A版教材的201個(gè)例習(xí)題中無推理的占51.8%，簡(jiǎn)單推理的占37.8%，復(fù)雜推理的占10.4%.而在北師大版中無推理的占49.7%，簡(jiǎn)單推理的占32.8%，復(fù)雜推理的占17.4%.如圖5所示.

圖5 推理因素的水平比較

在圖5中可以明顯地看出人教A版重點(diǎn)在無推理和簡(jiǎn)單推理的例習(xí)題上面，而北師大版重點(diǎn)在復(fù)雜推理上面，并且要高出人教版很多，推理能力作為智力活動(dòng)的核心因素，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的構(gòu)成基礎(chǔ)，因此兩套教材都關(guān)注到了學(xué)生推理能力的發(fā)展.

（5）知識(shí)含量因素的水平比較.

在知識(shí)含量方面，人教A版教材的201個(gè)例習(xí)題中1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的占58.7%，2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的占30.8%，而包含3個(gè)及3個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的占10.5%.在北師大版的195個(gè)例習(xí)題中含1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的占55.4%，2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的占29.2%，3個(gè)及3個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的占15.4%.如圖6所示.

圖6 知識(shí)含量因素的水平比較

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)兩版本包含1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例習(xí)題較多，而在北師大版中3個(gè)及3個(gè)以上的知識(shí)點(diǎn)含量要高于人教A版，由于人教A版教材要適用于好多地區(qū)，所以考慮到學(xué)生的知識(shí)背景，涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例習(xí)題較少.

四、結(jié)論與啟示

（一）結(jié)論

從整體來觀察兩個(gè)版本的例習(xí)題編寫形式，都是以例子作為引入，然后進(jìn)行分析，在中間穿插了探究題、思考題，再在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)后安排了相應(yīng)的習(xí)題，這些都符合教師教和學(xué)生學(xué)的規(guī)律.其次每個(gè)水平難度因素相當(dāng)，兩版本都注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，有助于提高他們的運(yùn)算技能.

北師大版教材與向量相關(guān)的實(shí)例較多，在例習(xí)題的情境設(shè)計(jì)方面更注重向量與其他學(xué)科，向量與實(shí)際生活的聯(lián)系，例習(xí)題的配圖豐富，類型設(shè)置較開放自由.注重培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，將向量知識(shí)的學(xué)習(xí)融入實(shí)際活動(dòng)及問題解決的過程之中，教材通過對(duì)問題情境的思考、討論和理解，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的同時(shí)掌握相應(yīng)的向量知識(shí).

人教A版教材向量知識(shí)點(diǎn)密度適中，數(shù)量上也較多，在“探究式教學(xué)”、“信息技術(shù)的應(yīng)用”方面更注重一些，緊跟課標(biāo)要求，習(xí)題的類型比較單一.但是，人教A版較為強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)，比如，在學(xué)習(xí)向量的基本運(yùn)算時(shí)，在例題的下面給出“想”的過程，而在學(xué)習(xí)使用向量來解決問題的時(shí)候，更給出了解決問題的基本思路，這可能是人教A版教材的一個(gè)亮點(diǎn).

在兩版本教材中，對(duì)于平面向量和空間向量的運(yùn)算性質(zhì)幾乎比較統(tǒng)一地采用先嚴(yán)密后寬疏的模式.即對(duì)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)一般給出較嚴(yán)格的證明，而對(duì)空間向量的運(yùn)算性質(zhì)則以“類似地可以得到”等描述一筆帶過.

（二）啟示

（1）例習(xí)題各水平難度應(yīng)盡量平衡.

例習(xí)題的設(shè)置要確保不同水平的學(xué)生在某一學(xué)科中共同學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)性，體現(xiàn)對(duì)于不同學(xué)生的能力要求，表明練習(xí)的內(nèi)容是真實(shí)可測(cè)的，提升學(xué)業(yè)評(píng)價(jià).研究表明，兩套教材都沒有保持5個(gè)因素的平衡性，背景因素的難度值相比其他4個(gè)因素要小很多，兩套教材都特別注重運(yùn)算，所以例題的選擇和編制應(yīng)與數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，充分考慮其特殊性，例如，在向量這一節(jié)中要特別注重背景知識(shí)，把背景嵌入到例題中，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)向量作用的認(rèn)識(shí).

（2）適當(dāng)運(yùn)用平面向量解決幾何問題.

平面向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用，從本書可以看到利用向量可以得到線段的定比分點(diǎn)公式、平移公式，可以證明正弦定理、余弦定理.在后續(xù)的學(xué)習(xí)中還可看到向量在不等式、函數(shù)、幾何中廣泛應(yīng)用等.由于應(yīng)用向量可以將形的推導(dǎo)、證明轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，因而向量是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具.向量處理一些幾何問題很容易，但由于教材考慮到課時(shí)少，控制難度等原因，在編寫平面向量時(shí)，只要求學(xué)生會(huì)用兩個(gè)向量表示其他向量，而沒有通過向量運(yùn)算證明幾何問題，任何一門學(xué)科都有其自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，但是作為學(xué)校課程在充分反映知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)也必須十分重視學(xué)生的心理發(fā)展階段，合理建立向量教材的螺旋式體系，并逐步應(yīng)用它們解決幾何問題和其他數(shù)學(xué)問題，將有利于學(xué)生對(duì)向量概念的正確理解和向量工具的有效掌握.

（3）貼近學(xué)生實(shí)際，優(yōu)化知識(shí)的呈現(xiàn)方式.

數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特征，例習(xí)題的選擇和編制要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)問題的背景，要讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)問題的解決，感覺到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中有原型，能體會(huì)到數(shù)學(xué)的作用和數(shù)學(xué)的意義.教材一般是通過提出問題，讓學(xué)生進(jìn)行自主探究和思考，并在解決問題的過程中學(xué)習(xí)向量的有關(guān)知識(shí)，且基本都是以例題的方式進(jìn)行講解和歸納，從而呈現(xiàn)相應(yīng)的向量?jī)?nèi)容，例題的講解很詳細(xì)，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，呈現(xiàn)的概念和問題大都比較簡(jiǎn)單和直接，缺乏一些貼近實(shí)際又能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考與實(shí)踐的內(nèi)容，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，建議改進(jìn)教材向量知識(shí)的呈現(xiàn)形式，創(chuàng)新習(xí)題設(shè)計(jì).

（4）通過向量的教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)各分支之間的廣泛聯(lián)系，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

向量為數(shù)學(xué)聯(lián)系提供了重要橋梁.教學(xué)中應(yīng)該努力使學(xué)生理解這種聯(lián)系，并促使他們自覺地利用這種聯(lián)系去構(gòu)建和改善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).從數(shù)的運(yùn)算發(fā)展到向量運(yùn)算，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的操作對(duì)象有了新的認(rèn)識(shí)，而向量運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律之間的高度相似性又使學(xué)生領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)中不同運(yùn)算對(duì)象之間在結(jié)構(gòu)化觀點(diǎn)下的和諧統(tǒng)一性.將幾何問題、三角問題等轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算特別是坐標(biāo)形式的向量運(yùn)算問題，則充分揭示了數(shù)學(xué)中化歸思想的深刻含義，同時(shí)也顯示了其巨大的威力.因此，通過向量的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生從以上各角度加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

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