☉江蘇省無(wú)錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 過(guò)大維 錢軍先

一、問(wèn)題提出

“掌握數(shù)學(xué)意味著什么，那就是解題.”解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直占據(jù)著主導(dǎo)地位，學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與常用方法的理解和掌握，只有通過(guò)解題才能實(shí)現(xiàn)和達(dá)成.如何通過(guò)解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的解題能力，是每一位數(shù)學(xué)教師必須面對(duì)和需要著力解決的課題.美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”［1］數(shù)學(xué)解題不能等同于題海戰(zhàn)術(shù)，不能就題論題，而要適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式訓(xùn)練，在變式拓展中揭開(kāi)數(shù)學(xué)題目中的內(nèi)涵和價(jià)值，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的學(xué)科觀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，促使學(xué)生觸類旁通，舉一反三，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之道，從而有效地提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面以《基本不等式的應(yīng)用》一課中的教學(xué)片斷為例，談?wù)劰P者的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，供大家參考.

二、教學(xué)片斷

師：我們來(lái)看這樣的一個(gè)問(wèn)題：x，y＞0，x+y=1，求

思考片刻，有兩個(gè)學(xué)生各自提出一種解法：

生1：因?yàn)閤，y＞0，x+y=1≥的最小值為4.

生2：因?yàn)閤，y所以的最小值為4.

師：兩位同學(xué)從不同的角度，運(yùn)用基本不等式求出了最小值，上述過(guò)程，有需要完善的地方嗎？

生：都沒(méi)有檢查等號(hào)成立的條件.

師：很好！運(yùn)用基本不等式求最值，一定要注意一正、二定、三相等，缺一不可.

經(jīng)過(guò)學(xué)生驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)雖然生1用了兩次基本不等式，但是等號(hào)同時(shí)成立，所以兩個(gè)方法都可行，這里筆者特意強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件，為后面打下伏筆.下面筆者趁熱打鐵，給出變式：

師：如把“x+y=1”改為“x+y=2”（變式1），這個(gè)題目還可以解決嗎？

很快，有學(xué)生用類似生1的方法解決了問(wèn)題，并且嚴(yán)格地檢驗(yàn)了等號(hào)成立的條件.但是，當(dāng)筆者要他們看看有沒(méi)有類似生2的方法時(shí)，學(xué)生面露難色了.

師：我們來(lái)回顧一下生2的解法，生2在處理的時(shí)候，是把“1”換成了題目中的x+y，那現(xiàn)在x+y=2，怎么辦，不能代換了？

同學(xué)們恍然大悟：把的“1”理解（x+y），其他和生2做法都一樣了.

師：難不倒你們嗎？再來(lái)！條件、結(jié)論互換，如果是“因?yàn)閤，y＞=1，求x+y的最小值”呢？（變式2）

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的課堂范圍討論，學(xué)生意識(shí)到變式2的處理依然是法1和法2都可以用.

前面，通過(guò)三個(gè)類似的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)運(yùn)用基本不等式求最值加深了認(rèn)識(shí)，熟悉了方法，但是鑒于學(xué)生的理解還不夠，要?dú)w納通性通法，也為了承上啟下，筆者進(jìn)行了小結(jié)：

師：原題和變式，我們都用了兩種方法，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，法1都用到了兩個(gè)基本不等式，恰巧兩次基本不等式等號(hào)成立條件一致，不等式可以連續(xù)取到等號(hào).而法2我們是把已知條件的“1”進(jìn)行了代換，好處是只需要用一次基本不等式即可.如果給的已知條件不是等于1而為m的話，那在用法2時(shí)就再乘一個(gè)湊配成右邊為1的形式即可.

剛才的兩個(gè)變式，一個(gè)改變了數(shù)字，一個(gè)改變了條件、結(jié)論的順序，都被同學(xué)們輕松地解決了.下面，你們可以自己編制出類似的題目嗎？只提一個(gè)要求，所有已知或者要求的字母前系數(shù)為正.

一開(kāi)始，學(xué)生面面相覷，畢竟以前都是教師出題，學(xué)生解題，突然改成了開(kāi)放性問(wèn)題，要他們自己出題，他們還是很不適應(yīng).但是為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，課堂上要給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì).一會(huì)兒，一個(gè)學(xué)生在下面躍躍欲試.

生4：按照前面兩個(gè)變式的方法，我的題目是：x，y＞0，x+2y=5，求的最小值.

師：非常好，我們不僅要學(xué)會(huì)解決現(xiàn)成的問(wèn)題，還要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題.同學(xué)們還有其他的想法嗎？

一石激起千層浪，同學(xué)們的積極性被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，紛紛舉手，我根據(jù)難易程度，把學(xué)生的問(wèn)題，依次歸納為下面3類：

師：非常好，大家提出了很好的問(wèn)題，怎么解決這些問(wèn)題呢？先來(lái)看變式3吧.

生5：跟法1類似，因?yàn)閤，y所以

師：大家同意嗎？

學(xué)生都點(diǎn)頭，筆者提問(wèn)，有沒(méi)有其他方案？

生6：跟法2類似，用前面的總結(jié)得（x+2y

師：怎么兩個(gè)方法結(jié)果不同？

學(xué)生紛紛稱奇，仔細(xì)觀察兩個(gè)方法.

生7：生5的方法用的兩次基本不等式等號(hào)不是同時(shí)成立，所以答案錯(cuò)了！

有了前面的鋪墊，這個(gè)問(wèn)題的處理，學(xué)生顯然得心應(yīng)手了.緊接著的變式4和變式5，學(xué)生也很快發(fā)現(xiàn)法1走不通，而法2卻沒(méi)有問(wèn)題.到了這里，筆者要求學(xué)生對(duì)本段內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，學(xué)生陷入了沉思.

最后通過(guò)討論，大家對(duì)這些題目進(jìn)行了分析比較，達(dá)成如下共識(shí)：

（1）運(yùn)用基本不等式求最值，不能忘記檢查等號(hào)成立的條件.

（2）形如mx+ny和的兩個(gè)式子（字母都為正數(shù)），知道其中一個(gè)是定值的話，另一個(gè)就可以求最小值，法1有局限性，所以從通法的角度說(shuō)，法2顯然是常規(guī)方法.

師：非常好，最后筆者留下了兩個(gè)思考題：

①x∈（0，1），求的最小值.

②如果形如mx+ny和的兩個(gè)式子，其中字母m、n、p、q有負(fù)數(shù)，該如何處理，還能不能解決呢？

三、幾點(diǎn)思考

變式訓(xùn)練是一種揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維過(guò)程，作為一種教學(xué)常用的手段，它能夠基于一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的拓展和擴(kuò)充，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，避免同一個(gè)問(wèn)題反復(fù)練、天天練，將學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，能在不斷變化的背景下辨析正誤、深化理解，內(nèi)化知識(shí)、形成網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)學(xué)思維能力、升華數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力，從而使解題思路從“特殊到一般”的質(zhì)的飛躍.［2］在解題教學(xué)中，要善于運(yùn)用變式拓展，從而有效地提高教學(xué)的效益.

1.一題多解，在探索發(fā)現(xiàn)中拓寬解題的思路

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，因思考的角度不同，可得到多種不同的思路.解題教學(xué)時(shí)，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，用不同的方法建立模型，讓學(xué)生去比較，在思考比較的過(guò)程中，使學(xué)生感受從不同的角度解決問(wèn)題，用不同的模型理解問(wèn)題的優(yōu)劣性.不同的解題方法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是一種創(chuàng)新思考的機(jī)會(huì)，學(xué)生的思維不會(huì)被題型所局限，有助于學(xué)生更深層次地理解題型，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

為了拓展和發(fā)散學(xué)生的解題思維，我們需要在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不失時(shí)機(jī)地來(lái)引導(dǎo)學(xué)生共同開(kāi)展“一題多解”的訓(xùn)練，幫助學(xué)生更進(jìn)一步地了解和認(rèn)識(shí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，深化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，以便借此來(lái)促使學(xué)生進(jìn)行全方位、多角度的思考，拓寬學(xué)生的解題思路，拓展學(xué)生的思維空間，提高學(xué)生思維的深刻性和廣闊性.

2.一題多變，在變式引申中發(fā)展學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，往往一節(jié)課就學(xué)習(xí)一個(gè)知識(shí)點(diǎn).要讓學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)習(xí)的知識(shí)掌握好，就要求我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要吃透教材，將知識(shí)向縱深處挖掘.一題多變，就是為做到這一點(diǎn)而首選的一種好的操作方法.由課本上的例題或習(xí)題設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練題，這樣不僅能使學(xué)生學(xué)會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)，還能提高學(xué)生的應(yīng)變能力，拓展學(xué)生的思維空間.而不需給學(xué)生布置太多的課外作業(yè)來(lái)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，因?yàn)樽鳂I(yè)多了只會(huì)加劇學(xué)生的厭學(xué)情緒，變式訓(xùn)練起到了讓學(xué)生有章可循、層層推進(jìn)、逐步提高的作用.

教師應(yīng)將講解的例題進(jìn)行適度的推廣和變通，將題目中的具體條件亦或是解題的結(jié)論作為已知條件進(jìn)行再次轉(zhuǎn)變，從而更全面、深人地探究問(wèn)題本質(zhì)的變與不變的內(nèi)在聯(lián)系.使學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋根據(jù)改變的情況進(jìn)行主動(dòng)、積極的思考，迅速找出針對(duì)問(wèn)題解決的方法，避免呆滯和僵化的現(xiàn)象發(fā)生.拓展學(xué)生學(xué)習(xí)領(lǐng)域的同時(shí)刺激學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索與發(fā)現(xiàn)的求知欲望，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)欲望和發(fā)現(xiàn)精神.

3.多題一解，在本質(zhì)揭示中深化學(xué)生的理解

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程就是在頭腦中尋找適合該題目的解題途徑及方法.許多同學(xué)在不同類型的題目中無(wú)法選擇合適的方法解決問(wèn)題，最根本的原因在于沒(méi)有歸納整理出一套有價(jià)值的規(guī)律及體系.這就要求教師在教知識(shí)的過(guò)程中，注重用一種方法解決多種題型，將表面上變換不同的條件，找出其本質(zhì)相同的要素，從而更有效地解決問(wèn)題，通過(guò)事物的本質(zhì)揭示事物的整體規(guī)律，實(shí)現(xiàn)變厚為薄的教學(xué)目的，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律總結(jié)的方法，以及培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

“多題一解”的變式教學(xué)，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是，從看上去題目不太相同，問(wèn)題要求不大相同的題目中，梳理出它們之間存在的一定的內(nèi)在聯(lián)系.所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是依據(jù)一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)組織成的，而數(shù)學(xué)這一學(xué)科又是所有的學(xué)科中，知識(shí)的聯(lián)系性、邏輯性最強(qiáng)的一門學(xué)科，也就意味著數(shù)學(xué)學(xué)科的所有知識(shí)存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.教師就應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生打開(kāi)思維，從“題?！敝邪l(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)一類題型的共性，從而找到這類題型的解題思路，進(jìn)而提高解題的速度，最終幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)屬性，準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)學(xué)科的規(guī)律.

4.角色互換，在問(wèn)題提出中發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.”科學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的第一個(gè)重要環(huán)節(jié)是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.因此，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是很有意義的.即使經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題是錯(cuò)誤的，但對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練也是有益的.如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)在從變化中找出不變的本質(zhì)呢？一個(gè)最有效的方法，就是教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)去變式.在教學(xué)中，教師要善于抓住適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，巧妙地運(yùn)用角色互換的方法，主動(dòng)地引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題，讓學(xué)生也學(xué)會(huì)變題并去探索分析綜合，進(jìn)而有效地提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

學(xué)生是學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要主體，從他們的思維特征和生理、心理特點(diǎn)來(lái)看，每個(gè)學(xué)生都有探索與創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)和求知欲.［3］運(yùn)用變式教學(xué)不僅能使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容與練習(xí)保持濃厚的興趣，而且還創(chuàng)設(shè)了學(xué)生共同參與的環(huán)節(jié)，并使學(xué)生在親自參與的實(shí)踐中去認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，體驗(yàn)靈活運(yùn)用知識(shí)與技能解決問(wèn)題的樂(lè)趣，從中促進(jìn)智力的發(fā)展和能力的提升.

教學(xué)實(shí)踐表明，大量單一的、重復(fù)性的機(jī)械性練習(xí)，達(dá)到的效果不是“生巧”，而是“生厭”，它不僅對(duì)學(xué)生知識(shí)和技能的掌握無(wú)所裨益，而且還會(huì)使學(xué)生逐步喪失學(xué)習(xí)的興趣，這正是“題海戰(zhàn)術(shù)”的最大弊端.而變式教學(xué)是使學(xué)生在親自參與中展示知識(shí)發(fā)展過(guò)程，并在知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)到解決問(wèn)題的快樂(lè)，從中進(jìn)一步激發(fā)參與的積極性，并在積極主動(dòng)的思考、探索中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，抓住本質(zhì)、把握其規(guī)律性，從而將所學(xué)知識(shí)納入自己已有的知識(shí)系統(tǒng)，獲得更深刻的理解，并逐步形成解決問(wèn)題的能力素質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.因此，我們要深入研究變式訓(xùn)練思想的含義，將變式訓(xùn)練運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)解題實(shí)際中，以提高學(xué)生解題時(shí)的應(yīng)變能力，拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.南小康.一道課本例題的改造和延伸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2016（02）.

2.李紅光.變式挖掘，借題發(fā)揮——以一道課本例習(xí)變式構(gòu)造為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（11）.

3.蘇振新.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)——以數(shù)系的擴(kuò)充為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.F