☉福建省廈門大學附屬實驗中學 林運來

一、問題提出

1.何為邏輯推理素養(yǎng)

數學核心素養(yǎng)是具有數學基本特征的、適應個人終身發(fā)展需要的人的關鍵能力與思維品質.《普通高中數學課程標準（2017年版）》就是在大力倡導建構學生核心素養(yǎng)的背景下進行的修訂，此次修訂將數學教育的目標歸納為：用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，明確提出了6個數學核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.邏輯推理是由已經總結出來的規(guī)律推出新的規(guī)律，是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.

2.高三數學復習課現(xiàn)狀

當前高三數學復習課存在“輕視教材，重視題目”的傾向，教師把教材“丟棄”在一邊，將教輔資料奉為圭臬，把主要時間都花在講解公式、性質、定理和結論應用的例題上，對公式、性質、定理和結論的證明教學簡單帶過，一道例題接著一道例題，然后鞏固訓練.由于受教師的影響，不少學生頭腦里往往只留下公式、性質、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，應用時只會“死記硬背，生搬硬套”.而采取死記硬背的方式，學生對數學內容的理解和把握大多是不正確的，伴隨認知過程所產生的情意過程大多是消極的、負面的，死記硬背、機械訓練所形成的數學技能往往是片面、畸形的，相應的數學能力其實很難形成，而未能獲得理解、尚未內化的數學學習過程對于學生健全人格的塑造，其實是負面的.［1］

近期筆者對一道高考題進行變式教學，精心創(chuàng)設問題情境，促進學生建立知識網絡，引導學生提高邏輯推理等數學素養(yǎng)，教學中感觸頗多.

二、試題及評析

引題在平面直角坐標系中，兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的“L—距離”定義為||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內與x軸上兩個不同的定點F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值（大于||F1F2||）的點的軌跡可以是圖1中的（ ）.

圖1

評析：此題是2014年福建高考卷文科12題，試題通過定義“L—距離”，要求考生探究動點的軌跡，考查學生即時學習的能力，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.對問題追根溯源，不難發(fā)現(xiàn)此題源于對教材“兩點間距離公式”以及“橢圓第一定義”的深加工，以新穎別致的面目呈現(xiàn)，具有概念學習的深刻意蘊.“L—距離”定義形式簡潔優(yōu)美，具有很好的對稱性，選擇支給出的四個圖形都具有對稱美，令人賞心悅目.解答時要求考生通過對問題情境的轉化，揭示“L—距離”的本質屬性，能有效診斷、甄別學生數學思維水平，是一道內涵豐富的好題.

三、教學設計與實施

1.結合生活實際，創(chuàng)設問題情境

教師出示問題情境：在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點到達不在同一條街道上的另一點，常常不能僅僅沿直線方向行走，而只能沿街走（轉直角彎，很像字母L的手寫體）.因此我們可以引入平面直角坐標系，對給定兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），用以下方式定義P1與P2間的“L—距離”：||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|.

師：類比教材中“兩點間距離”，你能探究得出“L—距離”的某些性質嗎？證明你的結論.

設計意圖：數學教學要從生活和社會現(xiàn)實出發(fā)，要從學生已有的學習經驗、生活經驗和活動經驗出發(fā)，讓學生在數學探究活動中不斷積累數學思維的經驗，形成和發(fā)展學生的核心素養(yǎng).教師對高考題進行變式，在學生的最近發(fā)展區(qū)內設置問題情境，學生要解答這個問題必須具備一定的數學素養(yǎng)，能夠理解定義，在理解的基礎上進行推理.既讓學生認識到數學源于生活，又知道了課本以外的知識，更激發(fā)了對未知事物的好奇與探究的激情和興趣，而且結論是開放的，給學生很大的思考與探討的空間.

生1：||P1P2||≥0.

生2：||P1P2||=||P2P1||.

師：太棒了！生1提出的性質可以稱為非負性，生2提出的性質可以稱為對稱性.還有沒有哪個同學愿意給大家分享自己的發(fā)現(xiàn)？

生3：對平面上三點P1，P2，P3，都有||P1P3||≤||P1P2||+||P2P3||.

師：說一說，你是怎么想到的？你能證明嗎？

生3：老師你剛才指出了前面兩個同學提出的性質，我發(fā)現(xiàn)這兩條性質與學習過的“兩點間距離”的性質類似，于是聯(lián)想到“三角形不等式”，就得出這個性質，證明也比較容易.

師：非常好！生3的發(fā)現(xiàn)表明“L—距離”滿足“三角形不等式”這一性質.大家還有沒有其他發(fā)現(xiàn)？

生4：||P1P2||≥||P1P2||.

師：這個發(fā)現(xiàn)聯(lián)系到兩種距離，非常好！你能證明你的結論嗎？

生4：我想到兩種證明方法，一種是代數證法，即把兩種“距離”的表達式寫出來，兩邊平方就能得出結論；第二種是幾何證法，畫出圖形就能證明.

筆者請他到講臺上板書其證明所用圖形，如圖2所示.

師：非常好！生4利用圖2“直達”不等式||P1P2||≥||P1P2||的數學本質，即||P1P2||=||MP2||+||MP1||≥||P1P2||，同時也給出“L—距離”這一概念的直觀表示和合理解釋.

設計意圖：直觀想象是數學核心素養(yǎng)的一個方面，幾何圖形是直觀想象的一個重要載體，在學習中要引導學生關注不等式證明的幾何意義與背景，加強知識之間的聯(lián)系，發(fā)展學生的邏輯推理及分析解決問題的能力.

圖2

2.小組討論交流，進行類比推理

新課程理念強調過程教學的重要性.過程教學就是要暴露知識的形成過程及發(fā)生發(fā)展的過程.面對一個陌生的問題，教師可以從引導學生復習舊知開始，類比地提出問題，促進學生思考.

教師出示問題：對“L—距離”而言，我們還能探究得出其他一些性質，同學們可以在課后繼續(xù)研究.類比“兩點間距離”，如果要從剛才已經探究得出的這些性質中，選出幾條作為“L—距離”的“距離公理”，你認為選擇哪幾條比較合適？說說你的理由.請四個學習小組展開討論，然后每組派一名代表匯報結果.

設計意圖：數學不僅僅是計算和應用公式，數學的實質是思維方式，是演繹和歸納的邏輯思維方式.教師要求學生做出選擇，并說明理由，傳達出創(chuàng)造性比知識更重要的教育理念.在解答問題的過程中，學生思維的條理性和嚴密性都能得到一定程度的增強，進一步體會到“言必有據”的推理特征，感悟數學的理性精神.［2］

生5：我們小組選了三條，第一條“非負性”，因為一提到“距離”，人們往往想到的就是長度，具有非負性；第二條“對稱性”，因為它反映出“彼此”之間的一種關系，即“由此及彼”與“由彼及此”是一樣的，對P1，P2來說體現(xiàn)了公平性；第三條，我們選“三角形不等式”，因為在“不等式”的學習中，我們知道現(xiàn)實生活中的不等關系要遠多于相等關系，它們都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容，既然定義了“L—距離”，就要關注在這個概念下，量與量之間能不能進行比較，像一般的兩個復數就不能比較大小，同時這個性質與三角形這一重要的圖形聯(lián)系在一起.（全班同學都鼓掌）

師：說得非常好，看來文科生的語言確實富有詩情畫意.事實上，“距離”這一概念還有延拓的空間，“距離”的更一般意義是：對于一個集合A，如果在它的元素之間定義了一個實值函數d（a，b），滿足如下三條公理：

（1）（非負性）對任意a，b∈A，均有d（a，b）≥0，式中的等號當且僅當a=b時成立；

（2）（對稱性）d（a，b）=d（b，a）；

（3）（三角形不等式）對任意a，b，c∈A，有d（a，c）≤d（a，b）+d（b，c）.

這時，我們把函數d（a，b）叫做距離，并把定義了距離函數的集合A叫做距離空間.

3.通過數學應用，提升數學素養(yǎng)

教師出示問題：若平面上的動點P與x軸上兩個不同定點F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值（大于||F1F2||）.

（1）求出點P的軌跡方程；

（2）你能類比課本中通過橢圓的方程討論它的一些簡單而基本的性質的方法研究點P的軌跡的性質嗎？你認為要研究它的哪些性質？

（3）畫出點P的軌跡圖形，并描述圖形的特征.

設計意圖：反映數學的應用價值，發(fā)展學生數學應用意識，是我國中學數學課程的基本理念之一.數學應用是數學教學的一個重要環(huán)節(jié)，目的是運用數學，鞏固所學知識.教師要求學生描述圖形特征，有助于提升學生數學語言的轉譯能力，培養(yǎng)學生的思維與表達能力.

師生共同探究得出如下解答：

解析：（1）以經過定點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy.設F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），顯然||F1F2||=2c.

設點P（x，y）到定點F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值2a（其中a＞c＞0），由定義，點P的軌跡（即要求的曲線）就是集合A={|||PF1||+||PF2||=2a}.

因為||PF1||=|x+c|+|y|，||PF2||=|x-c|+|y|，

所以|x-c|+|x+c|+2|y|=2a. ①

（2）上面從動點P的軌跡的定義（幾何特征）出發(fā)建立了曲線對應的方程.下面再利用方程研究曲線的幾何性質，包括形狀、大小、對稱性和位置等.

范圍：可以利用方程（代數方法）研究它的范圍.因為|x-c|+|x+c|≥|（x-c）-（x+c）|=2c，由方程①可知，2|y|=2a-（|x-c|+|x+c|）≤2a-2c，所以曲線上的點的縱坐標都適合不等式2|y|≤2a-2c，即-（a-c）≤y≤a-c.同理有|x-c|+|x+c|=2a-2|y|≤2a，即-a≤x≤a.這說明曲線位于直線x=±a和y=±（a-c）所圍成的矩形框里.

對稱性：在方程①中以-y代y，方程并不改變，這說明當點P（x，y）在曲線上時，它關于x軸的對稱點P1（x，-y）也在曲線上，所以所求曲線關于x軸對稱；同理，以-x代x，方程也不改變，所以所求曲線關于y軸對稱；以-x代x，以-y代y，方程也不改變，所以所求曲線關于原點中心對稱.綜上，所求曲線關于x軸、y軸和坐標原點都是對稱的.

頂點：在方程①中，令x=0，得y=±（a-c），這說明所求曲線與y軸的兩個交點為B1（0，c-a），B2（0，a-c）.同理，令y=0，得x=±a，這說明A1（-a，0），A2（a，0）是軌跡與x軸的兩個交點，這四個交點可以定義為軌跡的頂點.

圖像：由前面的討論，只需考慮x≥0，y≥0的情形，再結合對稱性就可以得出方程①對應的軌跡.當x≥0，y≥0時，方程①可以化為只需畫出函數，的圖像，就可以得出動點P對應的軌跡.

（3）由（2）得，點P的軌跡如圖3所示.

圖3

四、教學思考

1.高考復習要回歸教材

核心素養(yǎng)就是兩件事：（1）學習和掌握現(xiàn)成的知識作為工具；（2）利用這些工具去解決新問題.［3］教學中筆者通過改編高考題，設計層層深入的問題串，為引導學生進行數學探究提供了良好的平臺，彰顯了問題的價值.學生在探究時，回歸到“L—距離”的定義，重新審視概念并用概念解決問題.接著“足夠地退”，“退回”課本，仿照教材中研究圓錐曲線的幾何性質的方法，通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的深入討論，從整體上把握曲線的形狀、大小和位置.“回歸課本”有助于深化對問題的認識，讓課本煥發(fā)新的活力，彰顯教材價值！

課堂教學內容由教師主導并精心設計，預設各個教學環(huán)節(jié)的教學規(guī)劃，是課堂教學取得成功和有序推進的保證.課程標準下，高中數學教材編寫的指導思想為“改進教學和學習的方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識”，因此作為一線的教育工作者，要認識到教材在教育教學中發(fā)揮的引導作用.［4］教師要做到“三個理解”（即理解數學、理解學生、理解教學），真正走進教材、走進高考、走進學生；教師在實施課程過程中，應根據課程標準對教材內容進行適度調整和加工，合理選用和“再度開發(fā)”，要能運用問題、變化問題、深化問題、活化問題，不斷開啟學生思維的大門.

2.數學核心素養(yǎng)必須經過真正意義上的數學學習才能形成

“數學核心素養(yǎng)應滲透在具體數學內容的教學過程中，成為引導學生理解和應用數學知識的指路明燈和導航儀”（李尚志語）.數學學習和研究的本質就是不斷地建立概念，挖掘概念的內涵和外延，引發(fā)新的沖突進而建立新的概念的過程，而不是僅僅停留在知識為本、記憶為主理念下的以接受事實性知識為主要目的.

一節(jié)課的教學目標不必兼顧所有核心素養(yǎng)，要根據教材內容和教學需求，恰當地聚焦于一個或幾個核心素養(yǎng)的發(fā)展；一節(jié)課的教學目標中涉及的幾個核心素養(yǎng)不必平均用力，結合學生情況和教師水平，可以突出某個核心素養(yǎng)的培養(yǎng).上述教學筆者通過創(chuàng)設問題情境，從概念學習立意，體現(xiàn)數學學習和研究的本質規(guī)律；通過問題解決，引導學生經歷思考的過程，感悟研究曲線的方程與性質的一般套路和思維方式，獲得直接的經驗和體驗，親身經歷數學概念的抽象過程、數學性質的推導過程，建構真正的數學理解，提高了知識遷移和問題解決的能力，提升了學生思維品質，相應的數學素養(yǎng)也伴隨這個過程逐漸提升.

1.孔凡哲，史寧中.中國學生發(fā)展的數學核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成路徑［J］.教育科學研究，2017（6）.

2.林運來.中美兩道考題帶給我們的啟示［J］.中學數學教學參考（中旬），2015（1-2）.

3.李尚志.核心素養(yǎng)滲透數學課程教學［J］.數學通報，2018（1）.

4.劉校國.螺旋式上升背景下教學內容呈現(xiàn)方式的研究——基于蘇教版高中數學教材必修1與必修4函數圖像變換編寫的比較［J］.中學數學（上），2017（10）.F