喬云成

[摘 要] 錯題是初中生數(shù)學學習中的寶貴資源. 錯題資源的發(fā)掘，目的要鎖定在提升學生的思維品質上. 錯題資源的發(fā)掘需要師生共同認識其價值作為前提，然后在具體的策略下實施.

[關鍵詞] 初中數(shù)學；錯題資源；學習品質

教學質量是衡量教師個體教學水平的主要因素，教學質量與教師的教學相關，也與學生的學習相關. 從辯證的角度來看，教學質量是師生教與學相結合的產物，就初中數(shù)學學科而言，教師的教學質量更多的決定于學生的學習質量，因此數(shù)學教師在教給學生數(shù)學知識的同時，更要教會學生如何學好數(shù)學. 考慮到學生運用數(shù)學知識的主要環(huán)節(jié)在于解題，因此從解題角度提升學生的數(shù)學學習品質，就成為提升教學質量的重要舉措. 在實際教學中，最能體現(xiàn)數(shù)學思維品質的是解題（問題解決），最能反映學生思維不足的也是解題，尤其是當遇到學生做錯題的時候，師生如何面對？又應當采取什么樣的跟進措施？筆者以為這是需要重點研究的課題，只有當錯題當作一種資源，并從這些資源中發(fā)掘教學價值，才能讓學生的數(shù)學學習品質得到進一步的提升，本文試就這個話題展開探討.

初中數(shù)學錯題的資源價值在哪里

認識到數(shù)學錯題的資源價值所在，才能真正發(fā)掘出其價值，并且服務于學生的數(shù)學學習.

當前，數(shù)學教師關于錯題的價值認識普遍基于這樣的一種共識：錯題在得到重視并進行了適當?shù)闹貜椭?，學生能夠做對，于是解題能力就能得到一定程度的提升. 這樣的認識符合經驗，同時這樣的認識又有一定的局限性. 經驗表明，當前學生在數(shù)學學習中表現(xiàn)出的一個顯著特點，就是只有做過的習題才能在下次遇到時輕車熟路，而只要題型一變，就會感覺非常困難，甚至是連一些學優(yōu)生也是如此. 在感覺到困惑的同時，教師通常會選擇幫學生擴大視野，即通過設計、編制更多種類型的題目讓學生去練習，而在出錯之后則繼續(xù)進行錯題整理與歸類，以試圖提高學生的解題水平.

在筆者看來，這樣的做法的作用可以說是治標不治本，因為數(shù)學習題真如海，有限的訓練不可能讓學生形成必要的解題能力（當然，筆者并不反對必要的、一定量的訓練）. 因為如果說學優(yōu)生身上都表現(xiàn)出這種缺乏應對變式或反例（最基本的兩個心理學概念）時，那說明我們的訓練方法可能存在不足. 或者說得直接一點，就是簡單的錯題整理與歸類，實際上并不會讓學生的解題能力有明顯提高. 因此，錯題的真正的資源價值是需要重新發(fā)掘的.

筆者以為，初中數(shù)學教學中將錯題視作寶貴的資源并發(fā)揮其價值. 需要建立兩個基本認識：第一，有價值的錯題，必然反映學生思維的不足. 因此并不是所有的錯題都是有價值的，只有真正反映學生思維盲點的錯題，才具有研究的價值；第二，錯題研究的方向不在于一道題的解決，而在于一類題的解決，因此錯題資源的開發(fā)與利用，應當是一個系統(tǒng)過程，絕不是錯題整理一下、正確答案書寫一下就完事的. 基于這樣的兩點基本認識，筆者以為數(shù)學教師對錯題及其價值的認識要提升一個層次，至少要將目光集中到提升學生的思維品質上來；而從學生的角度來看，讓學生在研究錯題的過程中，反思自己的解題思路上的不足則是必然之舉.

用數(shù)學錯題提升學生的思維品質

那么，利用數(shù)學錯題來提升學生的思維品質，到底有哪些具有可操作性的措施呢？筆者結合自己的實踐進行了總結，提出如下三點錯題分析思路供同行們參考：

第一，能力主線式錯題整理. 整理錯題切忌錯一題整理一題，結果可能會得到一本工工整整的錯題集，但其可用性與實效性實際上是得不到保證的，相比較而言，筆者更傾向于學生通過分析自己的數(shù)學解題能力，尤其是發(fā)現(xiàn)自己解題能力或者說某種意識的不足來整理錯題. 比如說在一類幾何證明題中，筆者指導一位學生發(fā)現(xiàn)自己在證明“兩角相等”和證明“一條線是某角的角平分線”時所出現(xiàn)的錯誤，讓學生認識到了其出錯原因在于沒有將角平分線的性質——角平分線上的點到兩邊的距離相等活學活用，他不知道利用這個性質引導自己去形成構建全等三角形的思路. 于是筆者讓他將曾經錯過的若干題目中的兩題提取出來記入錯題集，并在這兩題之前做上同樣的記號，這兩題題干看起來并不相同，但實質都指向同一思路. 這種遵循同一思路去整理錯題的做法，是發(fā)掘錯題資源價值的重要基礎.

第二，思路回溯式錯題分析. 錯題的價值是要通過分析才能發(fā)現(xiàn)的，分析的落腳點應當是解題思路，而解題思路中的不足是通過比較才能發(fā)現(xiàn)的，因此有效的比較是數(shù)學錯題資源價值發(fā)現(xiàn)的重要途徑.

例如這樣的一道題目：如圖1，△ABC和△EFC都是等邊三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若點E在直線AD上運動，連接DF，則在點E運動過程中，線段DF的最小值是（ ）

這題本來的思路是根據(jù)三角形的性質來判定得出∠FBC=30°，進而根據(jù)垂線段的性質判斷當圖中的DF與BF垂直時，DF取最小值，然后根據(jù)剛剛得出的∠FBC=30°與直角三角形的性質來求解. 而學生在解題的過程中，他們的思路常常卡在不知道DF的值在什么時候最小. 通常情況下，學生對此類習題的解答都需要教師的講授才能構建完整的解題思路，而這個思路之于學生的價值，則在于幫學生完善自己原有的思路. 打個不恰當?shù)谋确?，這類試題學生在初次解決的時候，其思路是零散的、碎片化的，而教師的講授就如同修補匠一般，是幫學生的原有思維打補丁的過程. 真正有效的學習過程，不是接受這些補丁，而是在補丁打完之后學生的反思過程. 筆者在此題教學的過程中，重點讓學生梳理自己原有思路的“錯誤”（這是錯題的價值之一），然后讓學生復述正確思路，并比較自己思路與正確思路的差異，重點判斷自己在哪個地方沒有形成準確的判斷. 待到自己的思路清晰之后，筆者還讓學生在錯題集上進行反思性描述，其大體格式是這樣的：初次思考時，因為……原因，沒有想到關鍵的……一步；梳理正確的解題思路之后，我認為……對我而言是最關鍵的，以后解題要注意……

這種反思式的錯題總結，實際上是讓學生回溯自己的初次解題過程，并將之與正確的解題思路進行比較，以在比較中發(fā)現(xiàn)自己的不足. 這種分析錯題的思路，應當成為初中數(shù)學錯題資源發(fā)掘中的常態(tài)，很多時候我們發(fā)現(xiàn)學生在解題之后就忘記了自己的解題思路，筆者以為這是學生解題中過于被動的表現(xiàn)，說明了學生對自己解題思路清晰化的忽視，而真正學習能力強的學生，是不會這樣的. 通過這種回溯式的分析，可以讓學生逐步形成注重思維品質，并在錯題中提升思維品質的習慣.

第三，合作對比式錯題總結. 初中學生的心理特點決定了他們在做錯題目之后，總喜歡掩飾自己的錯誤，這實際上無形當中使得學生喪失了一個直面自己錯誤的機會. 針對學生的這一心理特點，筆者的錯題資源發(fā)掘的另一思路，就是培養(yǎng)學生“強大的心理”，讓學生不但敢于面對自己的錯誤，還愿意與他人分享自己的錯誤. “分享錯誤”對于學生來說，是一個新的學習理論，筆者跟學生強調：在初中數(shù)學學習的過程中，沒有誰不出錯的，即使是最優(yōu)秀的學生，有時候也會犯低級的錯誤（這里可以征得優(yōu)生的同意，舉他們的實際出錯的例子）……錯誤其實往往比正確更有價值，因為在日常的訓練過程中，做對了題目說明自己已經會了，說明這些題目對自己已經沒有多大的價值了，而只有做錯了的題目，才能讓自己獲得更大的進步. 通常情況下，初中學生是能夠認識到這一道理的，在學生認同了這一理念之后，教師可以利用小組合作的學習方式，讓學生就某個階段所做錯的題目進行專題討論，事實證明，這確實是一個非常好的策略.

有一次測試的時候，筆者發(fā)現(xiàn)學生的所出的錯誤呈現(xiàn)出兩個特點：一是部分難題，錯誤集中；其余部分中檔題，則出錯比較分散. 基于這一特點，筆者讓學生在小組合作中分兩步對錯題進行討論分析：首先，看共同的錯題，這實際上是共性問題，教師講授不可忽視，具體不贅述；其次，就分散的錯題在小組內“先提問，后討論”. 提問就是講自己的思路，講“為什么我這么做就錯了”，講“這種題目應該怎么想（思考）”. 而且筆者明確必須這么問，因為只有這么問，學生的解題方法的意識才會增強.

例如這樣一題：如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，A（-4，0），B（0，2），（1）求點C的坐標；（2）如圖3，若點A不動，點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角三角形BOF與等腰直角三角形ABE，連接EF交y軸于P點，問當點B在y軸正半軸上移動時，BP的長度是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出其長度.

在討論中，筆者要求做錯的學生必問的問題是：第1問對第2問有什么作用？這是這一類題目的基本特點，通常第1問對第2問的求解都有思路上的啟發(fā)作用，而很多學生之所以出錯，正是因為不能很好地意識到這一點，或者說雖然意識到，但由于題設條件變化較大，他們無法實現(xiàn)有效的轉變. 而這種情況下，學生之間的講授，可以讓他們在安全的學習情境中打開思路，最后教師再加以點撥，就可以讓學生的思路更加明晰.

錯題資源的發(fā)掘須建立生本意識

錯題資源的發(fā)掘與數(shù)學概念的教學不同，在解題中，錯誤是學生自己犯的，錯誤反映著學生思維的不足或者說缺陷，而矯正錯誤也是學生自己的事. 因此，教師研究錯題并嘗試以錯題分析為出發(fā)點來提高學生的解題能力與思維品質，關鍵的一點，是必須堅持以學生為本，真正從學生的角度出發(fā)去思考問題.

具體有兩點認識：一是要讓學生理清自己錯在哪里，哪怕學生忘記了自己的解題思路，也要讓學生重新看自己的錯誤解題過程，以知道自己錯在哪里. 只有知道“錯在哪里”，才能認識到“對在哪里”的價值；二是要讓學生自己描述正確的解題思路，通常錯題訂正的時候，學生只喜歡抄正確答案，卻不知道背后的思路. 嚴格來說，這不是真正的訂正，真正的訂正是需要思路支撐的. 因此，說思路比寫過程更重要.

當然還有必須交代的一點，本文所說的錯題，是指學生有思路，但思路出錯的那些試題. 一點不會、毫無頭緒的錯題，嚴格來講，不在學生的“最近發(fā)展區(qū)”之內，其價值發(fā)掘不如這一類試題.