馮世豪 盧德均

[摘 要] 勾股定理是初中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的概念，筆者通過(guò)折紙活動(dòng)中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，用折紙?jiān)O(shè)計(jì)了一堂綜合實(shí)踐課，以探究勾股定理的多種證明方法，并在此過(guò)程中淺談學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 折紙；勾股定理；創(chuàng)造性思維

引言

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確指出：“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中. 學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法. 創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育始終. ”現(xiàn)代折紙主要運(yùn)用于科技、數(shù)學(xué)、教育、藝術(shù)四大領(lǐng)域，數(shù)學(xué)課上的折紙是學(xué)習(xí)意義上的折紙，能夠?yàn)閷W(xué)生營(yíng)造一個(gè)手腦并用的學(xué)習(xí)環(huán)境，能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，能鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維，這也是筆者將折紙作為探索勾股定理教學(xué)素材的原因之一.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)分析

剛升入初中的學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單幾何圖形的性質(zhì)，為了增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，筆者將“用折紙來(lái)探索勾股定理”作為本堂課的內(nèi)容.

2. 材料準(zhǔn)備

為了方便學(xué)生觀察，選取邊長(zhǎng)為15 cm且正、反兩面顏色不同的雙面正方形紙作為本節(jié)課的材料.

3. 學(xué)情分析

根據(jù)選材內(nèi)容，將授課對(duì)象定為初中生. 在本堂課之前，學(xué)生掌握了一些簡(jiǎn)單幾何圖形的基本性質(zhì)，以及求簡(jiǎn)單幾個(gè)圖形的面積公式.

4. 教學(xué)目標(biāo)分析

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）將綜合實(shí)踐課的教學(xué)目標(biāo)分為知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度四個(gè)維度.

知識(shí)技能：在掌握正方形及等腰直角三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上理解折疊過(guò)程中的數(shù)學(xué)原理.

數(shù)學(xué)思考：通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的折疊與組拼過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，培養(yǎng)探索精神.

問(wèn)題解決：從組拼出來(lái)的圖案中發(fā)現(xiàn)勾股定理，運(yùn)用兩種求正方形面積的方法來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

情感態(tài)度：在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的折疊與組拼過(guò)程中，提高動(dòng)手操作能力，發(fā)散思維，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣.

5. 教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理內(nèi)容的掌握.

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的推導(dǎo)過(guò)程.

6. 教學(xué)方法

合作式探究.

7. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【探究問(wèn)題一】

師：同學(xué)們，對(duì)于正方形，我們已經(jīng)非常熟悉. 我們知道，正方形的四條邊相等，四個(gè)角都為直角. 那么，一張正方形紙，能否通過(guò)折疊分解為四個(gè)形狀和大小都相同的正方形？同樣地，能否通過(guò)折疊，分解成四個(gè)形狀和大小都相同的長(zhǎng)方形？

解答過(guò)程 將正方形ABCD的對(duì)邊AD，BC重合，可得一個(gè)長(zhǎng)方形. 在此基礎(chǔ)上，將長(zhǎng)方形兩條短邊重合，展開(kāi)后的折痕如圖1；將長(zhǎng)方形兩條長(zhǎng)邊重合，展開(kāi)后的折痕如圖2.

設(shè)計(jì)意圖 熟悉正方形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納和觀察能力.

【探究問(wèn)題二】

師：我們知道，等腰直角三角形的頂角是直角，兩條腰相等. 同樣的，正方形紙能不能通過(guò)折疊分解成四個(gè)形狀和大小都相同的等腰直角三角形？能否分解為四個(gè)形狀和大小都相同的一般直角三角形？請(qǐng)同學(xué)們嘗試思考多種折法.

解答過(guò)程 將正方形ABCD中不相鄰的兩組頂點(diǎn)A和C、B和D分別重合折疊，得圖3；正方形ABCD中兩對(duì)邊AB和CD重合，展開(kāi)后沿AE和DE（E為BC的中點(diǎn)）對(duì)折可得圖4.

設(shè)計(jì)意圖 熟悉等腰直角三角形的性質(zhì)，發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的操作能力.

【探究問(wèn)題三】

師：下面我們?cè)黾右稽c(diǎn)難度. 能否將正方形紙分解為形狀和大小都相同的兩個(gè)梯形呢？在此基礎(chǔ)上，能否將正方形分解為四個(gè)形狀和大小都相同的四邊形呢？你能想到哪些好的折疊方法？

解答過(guò)程 首先得到正方形的中心O，過(guò)點(diǎn)O任意折一條直線GH，展開(kāi)得圖5；在圖5的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)G和點(diǎn)H重合對(duì)折，展開(kāi)后得圖6. 還可以發(fā)現(xiàn)，得到的四邊形有兩個(gè)角是直角.

設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)勾股定理的情境.

【探究問(wèn)題四】

師：在圖6中，分別沿FH，HE，EG，GF折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解答過(guò)程 我們發(fā)現(xiàn)四個(gè)形狀、大小都相同的直角三角形圍成了一個(gè)正方形（圖7）. 三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法，嘗試對(duì)勾股定理做理論證明，這幅圖就是著名的“趙爽弦圖”. 趙爽的證明為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范.

設(shè)計(jì)意圖 構(gòu)建“趙爽弦圖”.

師：如圖8，我們?cè)O(shè)小直角三角形的直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，用兩種方法計(jì)算正方形EHFG的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解答過(guò)程 c2=（b-a）2+4×ab=a2+b2.

設(shè)計(jì)意圖 探究勾股定理的證明過(guò)程.

【探究問(wèn)題五】

師：請(qǐng)嘗試將翻折過(guò)來(lái)的四個(gè)形狀和大小都相同的直角三角形剪下，在另外一張同樣大小的正方形紙上組拼兩個(gè)長(zhǎng)方形，并讓余下的空白是兩個(gè)正方形.

解答過(guò)程？搖 如圖9.

設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.

師：同樣，我們還可以把四個(gè)形狀和大小都相同的直角三角形拼成圖7的形狀，如圖10. 設(shè)小直角三角形的直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，比較圖9和圖10中白色正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解答過(guò)程 由圖11和圖12可得c2=a2+b2.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)兩幅圖空白正方形面積相等，發(fā)現(xiàn)勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、推理能力.

【探究問(wèn)題六】

師：想一想，對(duì)于圖10，你同樣能推導(dǎo)出勾股定理嗎？你還能想到用其他的方法來(lái)證明嗎？

解答過(guò)程 如圖13，設(shè)小直角三角形的直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，根據(jù)正方形ABCD面積的兩種不同求法來(lái)推導(dǎo)公式，即正方形ABCD的面積=（a+b）2=ab×4+c2，整理可得c2=a2+b2.

設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加深學(xué)生對(duì)勾股定理的記憶.

思考：你還能想到證明勾股定理的其他方法嗎？

【附：其他方法證明勾股定理】

第一步：如圖14，在正方形CHGD的DG邊上取兩點(diǎn)B，M，使得BM=a，且BE=EM（E是DG邊的中點(diǎn)）；過(guò)點(diǎn)M將點(diǎn)G折到MD上，折痕為AM=b，連接AB，得直角三角形ABM，且AB=c.

第二步：將點(diǎn)A與點(diǎn)B重合對(duì)折，得折痕EF，如圖15.

第三步：沿折痕EF和AB剪成四個(gè)全等的四邊形，按圖16拼圖便可得到勾股定理.

如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

美國(guó)著名心理學(xué)家、美國(guó)心理學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)吉爾福特對(duì)于創(chuàng)造性思維的研究具有深遠(yuǎn)的影響. 他在“智力的三維結(jié)構(gòu)”模型中提出了創(chuàng)造性思維. 他認(rèn)為，創(chuàng)造性思維是指從給定的信息中產(chǎn)生新信息，其著重點(diǎn)是從同一來(lái)源中產(chǎn)生各種各樣的為數(shù)眾多的輸出. 創(chuàng)造性思維具有流暢性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性三個(gè)最主要的特征.

折紙作為一種教學(xué)工具用于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕所形成的邊角關(guān)系，幫助學(xué)生構(gòu)建折紙拼圖活動(dòng)與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力. 下面，筆者從本節(jié)課出發(fā)，淺析如何真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

1. 流暢性

流暢性是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生有效圖形信息的個(gè)數(shù). 我們說(shuō)創(chuàng)造性思維流暢，指的是遇到問(wèn)題時(shí)，心智活動(dòng)少阻塞，多流暢，在短時(shí)間內(nèi)能夠找到知識(shí)之間的多個(gè)聯(lián)系，能產(chǎn)生較多的可供選擇的解決方案. 本節(jié)課營(yíng)造的是一種探究式課堂，課堂開(kāi)始對(duì)一張正方形紙進(jìn)行四等分，從正方形、長(zhǎng)方形到等腰三角形、直角三角形，一直到梯形、一般四邊形，不僅為后面折疊“趙爽弦圖”埋下伏筆，更在于啟發(fā)學(xué)生思考一張正方形紙可以四等分為哪些圖形，能訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

2. 靈活性

靈活性是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生有效圖形信息的種類(lèi). 我們說(shuō)圖形創(chuàng)造性思維變通，是指遇到困難時(shí)能夠隨機(jī)應(yīng)變，及時(shí)調(diào)整解題思路或解題方法，能從多個(gè)方向、多個(gè)方面思考問(wèn)題，能產(chǎn)生多種不同類(lèi)型的可供選擇的解決方案，能用不同類(lèi)型的方法解決問(wèn)題，或能得到不同類(lèi)型的答案. 靈活性和流暢性的主要區(qū)別在于，提供選擇的方案、方法、答案的性質(zhì)有所不同.

本節(jié)課可歸納為解決兩個(gè)大問(wèn)題，一是將正方形紙四等分成多種圖形的折疊方法，二是探究勾股定理的多種證明方法. 筆者通過(guò)與某中學(xué)初中數(shù)學(xué)教師交流，在某班進(jìn)行了一堂課的教學(xué). 在與學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)，在第一個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生的折疊方法多樣，通過(guò)教師的引導(dǎo)，能夠思考正方形紙與目標(biāo)圖形之間的關(guān)聯(lián)，并按照正方形點(diǎn)、邊、角之間的關(guān)系，平面幾何圖形的性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)去嘗試折疊；對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，勾股定理的證法多樣，需小組合作探究、上臺(tái)展示、教師歸納總結(jié). 這兩個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程，都鍛煉了學(xué)生創(chuàng)造性思維的靈活性，總體上來(lái)說(shuō)，整堂課達(dá)到了預(yù)期設(shè)想的效果.

3. 獨(dú)創(chuàng)性

獨(dú)創(chuàng)性是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生新穎、獨(dú)特、有效信息的個(gè)數(shù). 我們說(shuō)圖形創(chuàng)造性思維獨(dú)特，是指在解決圖形問(wèn)題時(shí)，能突破常規(guī)和經(jīng)驗(yàn)的束縛，用新的觀點(diǎn)、新的方法、新的思路解決問(wèn)題，或得出新穎、獨(dú)特、稀有的答案，創(chuàng)造性成分中最重要的是獨(dú)創(chuàng)性. 對(duì)于創(chuàng)造性思維水平的測(cè)量，到目前為止，獨(dú)創(chuàng)性的測(cè)量一直是學(xué)術(shù)界的難點(diǎn). 對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，在教學(xué)過(guò)程中多提出能真正啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的問(wèn)題，多鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，多留時(shí)間給學(xué)生思考，才能更好地進(jìn)行師生互動(dòng)，從而上好“探究型”課.

結(jié)語(yǔ)

林崇德先生說(shuō)：“素質(zhì)教育是以創(chuàng)新精神為主題的教育，學(xué)生不僅僅應(yīng)該擁有學(xué)習(xí)的能力，更應(yīng)該有實(shí)踐和創(chuàng)新的能力. 開(kāi)展具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造力.”就本堂課而言，把幾何圖形的性質(zhì)以及求面積公式等數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到折紙活動(dòng)當(dāng)中，不僅能將數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方法遷移到應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，而且能讓學(xué)生形成學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，從中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.