胡瑩瑩　孫毅

摘要：《線性代數(shù)》是工程類、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理類等非數(shù)學(xué)專業(yè)中必不可少的一門數(shù)學(xué)課。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、科學(xué)計(jì)算以及大數(shù)據(jù)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的快速發(fā)展，《線性代數(shù)》理論和思想在以上各領(lǐng)域都有了更深、更廣泛的應(yīng)用。因此，在信息時(shí)代和新的科技背景下，人們對(duì)《線性代數(shù)》課程的教學(xué)與學(xué)習(xí)又提出了新的更高的要求，本文針對(duì)當(dāng)前《線性代數(shù)》課程教學(xué)中存在的問(wèn)題進(jìn)行了一些思考和研究，并結(jié)合自己的專業(yè)背景與時(shí)代的要求提出了自己的一些改革意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)改革；教材改革

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2018.3.014

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-1580（2018）3-0049-04

眾所周知，《線性代數(shù)》課程幾乎是我國(guó)所有高等學(xué)校理工類和經(jīng)管類學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課?！毒€性代數(shù)》的理論知識(shí)及其數(shù)學(xué)思想已經(jīng)滲透到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，包括自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)和社會(huì)科學(xué)等。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、科學(xué)計(jì)算的發(fā)展以及大數(shù)據(jù)科學(xué)的興起，《線性代數(shù)》課程所提供的思想方法在互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)等領(lǐng)域都有了更加廣泛而深刻的應(yīng)用。最典型的一個(gè)例子就是谷歌，谷歌搜索引擎所用排序算法就是著名的Pagerank算法，這一算法構(gòu)成了谷歌搜索引擎的核心技術(shù)，該算法的理論基礎(chǔ)就是基于線性代數(shù)中的矩陣特征值理論。

另外，《線性代數(shù)》理論在大數(shù)據(jù)和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的應(yīng)用也有很多，除了用矩陣表示數(shù)據(jù)和網(wǎng)絡(luò)以及利用矩陣的運(yùn)算對(duì)數(shù)據(jù)和網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行處理外，還可以利用矩陣的譜理論對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘以及對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行劃分等。雖然這里面的有些理論超出了本科生能夠理解《線性代數(shù)》的理論范圍，但是其所用的思想方法是相通的。既然線性代數(shù)在理論實(shí)踐和現(xiàn)實(shí)生活中有非常重要的價(jià)值和應(yīng)用，那么如何才能更好地提高大學(xué)生《線性代數(shù)》課程的教學(xué)質(zhì)量以及如何才能讓《線性代數(shù)》的理論與思想方法深入學(xué)生的腦海里，并使之更好地服務(wù)于大學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐呢？筆者帶著這些問(wèn)題，結(jié)合自己的專業(yè)研究方向以及近年來(lái)在《線性代數(shù)》教學(xué)方面的一些經(jīng)驗(yàn)和思考，對(duì)目前《線性代數(shù)》課程教學(xué)的一些問(wèn)題進(jìn)行了研究，并一起談?wù)勛约旱目捶?，以便與同行進(jìn)行討論交流。

一、《線性代數(shù)》課程的內(nèi)容及教材現(xiàn)狀

目前，各高校所使用的《線性代數(shù)》教材內(nèi)容大同小異，其主要內(nèi)容包括：矩陣及其運(yùn)算、線性方程組的解及其解的結(jié)構(gòu)、特征值與特征向量、線性空間及其變換、二次型理論。這些理論內(nèi)容都是線性代數(shù)中的經(jīng)典結(jié)果。雖說(shuō)它們是古老的經(jīng)典結(jié)果，但是這些內(nèi)容幾乎蘊(yùn)含了《線性代數(shù)》這門課程的思想精髓，其他更深的理論結(jié)果諸如數(shù)學(xué)專業(yè)類的研究生所學(xué)的矩陣分析課程也都是建立在上述內(nèi)容之上，當(dāng)然里面有一小部分是建立在數(shù)學(xué)分析與泛函分析的基礎(chǔ)之上?！毒€性代數(shù)》理論是在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)學(xué)科中的應(yīng)用中產(chǎn)生并發(fā)揚(yáng)光大的，后來(lái)在經(jīng)濟(jì)管理和統(tǒng)計(jì)分析理論方面得到了比較廣泛的應(yīng)用。事實(shí)上，有關(guān)《線性代數(shù)》在實(shí)際生活和高科技中的應(yīng)用屢見(jiàn)不鮮。例如，除了前面提到的谷歌算法外，還有在計(jì)算機(jī)工程領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)的圖像處理、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以《線性代數(shù)》為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；另外在運(yùn)籌學(xué)中的管理與決策，在機(jī)械工程等領(lǐng)域都可以找到應(yīng)用原型。因此，對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的《線性代數(shù)》教材，理所應(yīng)當(dāng)?shù)赝怀鏊膶?shí)用性。然而，目前幾乎所有的《線性代數(shù)》教材并沒(méi)有突出它的實(shí)用性或者只涉及了很少一點(diǎn)實(shí)用背景，甚至有的教材通篇是《線性代數(shù)》的理論、推導(dǎo)和計(jì)算。雖然這些年一直在談教材改革和教學(xué)改革，但是并沒(méi)有真正解決《線性代數(shù)》教材重理論輕應(yīng)用的問(wèn)題。這就容易導(dǎo)致以下幾個(gè)問(wèn)題：

一是教師不得不花費(fèi)大量的時(shí)間講授理論知識(shí)，少有時(shí)間甚至沒(méi)有時(shí)間考慮給學(xué)生講相關(guān)理論的實(shí)際應(yīng)用；

二是學(xué)生聽(tīng)起課來(lái)會(huì)感覺(jué)《線性代數(shù)》理論像是“空中樓閣”，中看不中用，學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)感到很枯燥乏味，從而對(duì)《線性代數(shù)》課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸心理；

三是由于《線性代數(shù)》內(nèi)容過(guò)于側(cè)重理論而輕視它的實(shí)用價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，就會(huì)造成理論與實(shí)踐應(yīng)用相脫節(jié)，從而導(dǎo)致該課程教學(xué)效果達(dá)不到理想的效果，同時(shí)也非常不利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也更加不利。

二、《線性代數(shù)》課程的教學(xué)理念和教學(xué)方法

盡管近些年來(lái)針對(duì)有關(guān)高等學(xué)校《線性代數(shù)》教材、教育理念、教學(xué)方法等方面的改革一直在進(jìn)行，但是由于種種原因并未取得實(shí)質(zhì)性的效果。事實(shí)上，目前有關(guān)《線性代數(shù)》課程的教學(xué)理念和教學(xué)方法依然滯后。傳統(tǒng)的“以教師教學(xué)生學(xué)”的教學(xué)模式還是《線性代數(shù)》課程教學(xué)的主流。所以導(dǎo)致目前《線性代數(shù)》課程的教學(xué)理念和教學(xué)方法并沒(méi)有徹底改觀。以新疆大學(xué)為例，課堂教學(xué)基本以教師講授《線性代數(shù)》理論為主，甚至學(xué)校安排的上課教室都沒(méi)有多媒體設(shè)備，教學(xué)手段和教學(xué)方法比較單一，理論知識(shí)滿堂灌、填鴨式教育的現(xiàn)象依然普遍。

另外，現(xiàn)在在新疆高校每個(gè)學(xué)期除去國(guó)家法定節(jié)假日和少數(shù)民族的節(jié)假日以外，真正用于教學(xué)的時(shí)間不到4個(gè)月，在這么短的時(shí)間里要將《線性代數(shù)》的全部經(jīng)典理論講清楚、講好是件不容易的事，再加上教學(xué)大綱的硬性要求以及期末考試出題老師和授課老師相分離的規(guī)定，還有現(xiàn)在考試試題強(qiáng)調(diào)理論輕視應(yīng)用的背景，這就導(dǎo)致老師們?yōu)榱送瓿山虒W(xué)要求一方面不得不加快進(jìn)度采取滿堂灌的方式講授理論知識(shí)以使學(xué)生應(yīng)付考試，另一方面也沒(méi)有多余的時(shí)間去講授《線性代數(shù)》在物理學(xué)、工程學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。所以，在當(dāng)前的社會(huì)環(huán)境下，如果各高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的《線性代數(shù)》課程在教學(xué)理念和教學(xué)方法上不突出線性代數(shù)理論的實(shí)用價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，不通過(guò)《線性代數(shù)》的實(shí)用價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值的啟發(fā)與刺激，僅僅對(duì)學(xué)生采取布道式的說(shuō)教《線性代數(shù)》是多么的有用多么的有經(jīng)濟(jì)價(jià)值，或者簡(jiǎn)單地要求學(xué)生一定要學(xué)好《線性代數(shù)》，那么《線性代數(shù)》教學(xué)效果是大打折扣的。雖然學(xué)生在《線性代數(shù)》的考試結(jié)果中常常取得了很好的成績(jī)，但是考試過(guò)后腦子里對(duì)該門課的內(nèi)容或許就空空如也了，以至于到了畢業(yè)走上工作崗位后遇到可以用線性代數(shù)思想或理論解決的問(wèn)題卻想不到用它來(lái)解決。這不得不讓人們感嘆由兩位美國(guó)畢業(yè)生以Pagerank算法作為核心競(jìng)爭(zhēng)力而創(chuàng)立全球第一家搜索引擎谷歌的偉大傳奇故事了，而Pageraunk算法的核心卻是矩陣的特征值理論。

所以總體而言，《線性代數(shù)》課程教學(xué)在教學(xué)理念和教學(xué)方法依然存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

一是教學(xué)理念和教學(xué)方法比較傳統(tǒng)，教師以講授為主、學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的現(xiàn)象沒(méi)有改變；

二是教學(xué)手段和教學(xué)方法比較單一，啟發(fā)性、興趣性、情景創(chuàng)設(shè)等教學(xué)手段和方法缺乏；

三是教師知識(shí)存儲(chǔ)的廣度深度以及更新程度不夠，跟不上新時(shí)代，新科技發(fā)展的要求。這就導(dǎo)致老師沒(méi)有足夠的能量提供給學(xué)生，從而也就使學(xué)生無(wú)法了解與《線性代數(shù)》相關(guān)的最新的科技成果和科學(xué)進(jìn)展。

三、《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革的一些思考

針對(duì)前文提到的一些問(wèn)題，并結(jié)合筆者在《線性代數(shù)》教學(xué)與研究過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)以及專業(yè)研究背景，現(xiàn)對(duì)線性代數(shù)的教材建設(shè)和教學(xué)改革等方面的問(wèn)題進(jìn)行思考并提出自己的一些建議。

（一）關(guān)于《線性代數(shù)》教材建設(shè)的一些思考和建議

考慮到目前已有的《線性代數(shù)》教材在理論體系上已經(jīng)比較完備，內(nèi)容選擇也很經(jīng)典。但是，《線性代數(shù)》教材的啟發(fā)性、趣味性、實(shí)用性和廣延性還很缺乏。要想改變這一現(xiàn)狀，需要從以下幾個(gè)方面人手：

一是在每個(gè)重要的概念或者符號(hào)提出之前需要引入相關(guān)的應(yīng)用背景，而不是單刀直入地先來(lái)一番定義又來(lái)一串定理；比如引入矩陣的概念之前，可以先介紹一下一個(gè)網(wǎng)絡(luò)或者數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中是如何存儲(chǔ)的，然后再引入相關(guān)概念。這種處理方式就能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能夠啟發(fā)學(xué)生沿著老師的思路進(jìn)行思考。

二是根據(jù)應(yīng)用背景提出問(wèn)題，然后將解決的問(wèn)題再以定理的形式展現(xiàn)出來(lái)；比如根據(jù)組合學(xué)中格路計(jì)數(shù)之間的聯(lián)系，可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子提出如何在一個(gè)格網(wǎng)絡(luò)中求出內(nèi)部點(diǎn)不相交的格路的數(shù)目不僅增強(qiáng)抽象理論的直觀性還可以激起學(xué)生的好奇心。

三是適應(yīng)當(dāng)?shù)卦黾永碚撛谄渌鼘W(xué)科以及在最新科技中的應(yīng)用，這里需要點(diǎn)到為止，不能過(guò)度，以喚起學(xué)生的好奇心和興趣點(diǎn)，然后通過(guò)提供參考文獻(xiàn)或者網(wǎng)站鏈接的方式讓感興趣善于鉆研的學(xué)生去深入地學(xué)習(xí)；比如在講特征值理論時(shí)，可以講一下谷歌最初發(fā)展的故事，講一下谷歌搜索的核心算法——Pagerank算法是如何利用特征值進(jìn)行排序的等；再比如特征值理論在網(wǎng)絡(luò)社區(qū)發(fā)現(xiàn)和數(shù)據(jù)挖掘中有哪些應(yīng)用等。

四是在講授《線性代數(shù)》理論的同時(shí)，要引人數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用計(jì)算機(jī)處理問(wèn)題，為了避免過(guò)度利用數(shù)學(xué)軟件而忽視了對(duì)《線性代數(shù)》理論知識(shí)和思想方法的培養(yǎng)，教師可以讓學(xué)生自己通過(guò)計(jì)算機(jī)編程的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)《線性代數(shù)》中的一些理論結(jié)果；比如在講到線性方程組求解或者矩陣運(yùn)算這些內(nèi)容時(shí)可以給學(xué)生介紹目前有哪些數(shù)學(xué)軟件可以用，這些軟件各自的特點(diǎn)與側(cè)重點(diǎn)有什么不同以及用多媒體演示如何利用這些軟件等；還可以進(jìn)一步地要求學(xué)生自己來(lái)編程去實(shí)現(xiàn)線性方程組的求解或矩陣運(yùn)算等。

五是在各章節(jié)末尾增加與該章節(jié)理論知識(shí)有關(guān)的名人小傳、理論背景、應(yīng)用鏈接等趣味性閱讀材料。

六是關(guān)于《線性代數(shù)》廣延性，就是要求老師結(jié)合自己的專業(yè)研究背景，適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生談一下與授課主題相關(guān)的最新研究成果是什么，它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中有哪些重要的應(yīng)用。這對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和激起學(xué)生的好奇心求知欲都有幫助。當(dāng)然，要想實(shí)現(xiàn)以上幾個(gè)方面并不容易，需要老師們花費(fèi)一些時(shí)間去廣泛閱讀，了解新的反映時(shí)代最新進(jìn)展的科學(xué)技術(shù)，同時(shí)還要加強(qiáng)自身的專業(yè)的深入研究。

（二）關(guān)于《線性代數(shù)》教學(xué)理念和教學(xué)方法改革的一些思考和建議

作為講授《線性代數(shù)》課程的老師，在大數(shù)據(jù)時(shí)代、網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，需要立足于目前新的歷史背景下，摒棄傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中不合時(shí)宜的教學(xué)理念和教學(xué)方法。以《線性代數(shù)》課程的教學(xué)為例，應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

一是課堂教學(xué)不能總以教師為主，要讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，帶著學(xué)生一起提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，給學(xué)生更高的地位；

二是利用《線性代數(shù)》的概念和理論在大數(shù)據(jù)科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、工程學(xué)科、統(tǒng)計(jì)學(xué)科、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科的應(yīng)用背景下啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生，以此來(lái)自然地引入新的教學(xué)內(nèi)容；

三是利用《線性代數(shù)》的概念和理論在現(xiàn)實(shí)中實(shí)用價(jià)值以及由此產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)價(jià)值來(lái)刺激學(xué)生學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》激情和動(dòng)力；

四是講授《線性代數(shù)》課程之前，講清楚線性代數(shù)理論的脈絡(luò)和主線，針對(duì)每個(gè)章節(jié)，一定要講清楚基本概念和重要結(jié)論成立的條件以及要注意的問(wèn)題；

五是借助直觀形象來(lái)幫助學(xué)生理解和掌握抽象的概念和理論，比如借助三維幾何空間來(lái)解釋向量空間的內(nèi)容，用幾何體的體積或者網(wǎng)格中不交格路的組合計(jì)數(shù)來(lái)解釋行列式的幾何意義或組合意義；

六是讓布置一些應(yīng)用背景的思考題，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，讓學(xué)生多動(dòng)手計(jì)算；比如可以讓學(xué)生將線性代數(shù)中的一些理論結(jié)果進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)；還可以給學(xué)生提供具有應(yīng)用背景的例子和參考資料，讓學(xué)生自己在課下弄明白，然后在課堂上講給老師和學(xué)生等。

實(shí)現(xiàn)以上幾點(diǎn)需要老師們博聞強(qiáng)識(shí)，不僅需要知識(shí)要專而且知識(shí)面要廣，還要積極主動(dòng)去學(xué)習(xí)吸收最先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)，將最先進(jìn)的科學(xué)進(jìn)展反映到課堂上，讓課堂跟隨時(shí)代的腳步翩翩起舞。

[責(zé)任編輯：周海秋]