張洪　莊嚴(yán)

摘要：眾所周知，“有限無限問題”是數(shù)學(xué)的基本問題，也是哲學(xué)的基本問題。本文基于以下哲學(xué)觀點(diǎn)開展討論：反對(duì)唯心主義，接受辯證唯物主義，在這樣的大前提下討論“有限無限問題”。本文從哲學(xué)和數(shù)學(xué)角度全面回顧、剖析了黑格爾的辯證無限觀，同時(shí)介紹了恩格斯關(guān)于無限的論述，并對(duì)數(shù)學(xué)中的實(shí)無限、潛無限觀進(jìn)行了分析，指出實(shí)無限觀實(shí)際上是徹頭徹尾的唯心主義的無限觀。與此同時(shí)，作者對(duì)黑格爾的無限觀和數(shù)學(xué)中的兩種無限觀進(jìn)行了詳細(xì)的分析比較，在此基礎(chǔ)上作者提出了“辯證唯物主義無限觀”，摒棄潛無限、實(shí)無限觀中錯(cuò)誤的一面，積極吸取兩者正確的一面，即既要承認(rèn)無限的客觀存在性和可認(rèn)識(shí)性，又要承認(rèn)無限過程的不可完成性，這是解決數(shù)學(xué)實(shí)踐中諸多矛盾的唯一正確途徑。

關(guān)鍵詞：實(shí)無限；真無限；潛無限；惡無限；辯證唯物主義的無限觀

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2018.3.049

中圖分類號(hào)：01-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-1580（2018）3-0180-07

四、黑格爾的無限觀與數(shù)學(xué)中兩個(gè)無限觀的差別分析

上述從數(shù)學(xué)、哲學(xué)兩個(gè)方面對(duì)“無限性”進(jìn)行了論述，顯然可以看出各種無限觀在概念上存在著本質(zhì)的差異。主要?dú)w納如下：

（一）黑格爾的“惡無限”、“真無限”的主要特點(diǎn)與關(guān)系

“惡無限”、“真無限”是同一無限物的兩個(gè)方面、兩個(gè)屬性，誰也離不開誰。

無限物是客觀存在的。這是不言自明的；只要我們堅(jiān)持唯物辯證法，我們就會(huì)自然得到這一結(jié)論?？陀^物質(zhì)世界中的空間、時(shí)間就是典型的無限物或無限客體。

“惡無限”性：承認(rèn)無限客觀存在，但認(rèn)為無限進(jìn)程不可以完成，從而是一種惡的無限。

“真無限”性：認(rèn)為無限是“在別物中達(dá)到的自我聯(lián)系”，是對(duì)“惡無限”的揚(yáng)棄，是無限物之間的共同本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系或普遍性。因而認(rèn)為無限是可認(rèn)識(shí)、可完成。它本身是質(zhì)量互變的結(jié)果，是“惡無限”的否定、揚(yáng)棄，是“惡無限”的彼岸，因而是一個(gè)肯定，從而是一個(gè)更高層次上的有限事物。

綜合“惡無限”、“真無限”的特點(diǎn)，可以看出黑格爾的無限觀：無限客觀存在，無限可以認(rèn)識(shí)，無限進(jìn)展不可以完成。這其實(shí)就是馬克思恩格斯的無限觀點(diǎn)。（當(dāng)然黑格爾的無限觀與馬克思主義的無限觀是有區(qū)別的，馬克思恩格斯在剔除了其思辨的神秘成分之后將之發(fā)展成為辯證唯物主義的無限觀，即馬克思主義的無限觀。）

（二）“惡無限”與“潛無限”的主要差異

雖然人們常常把兩者視為同一個(gè)東西，但是從哲學(xué)上講，這兩者有著根本的質(zhì)的區(qū)別。

“潛無限”認(rèn)為無限并不客觀存在，而是一種潛在，因?yàn)闊o限進(jìn)展完成不了。

“惡無限”認(rèn)為無限客觀存在，但同時(shí)承認(rèn)無限進(jìn)展完成不了。

它們的相同點(diǎn)：

無限進(jìn)展完成不了；

相對(duì)有限的人類的意識(shí)，它是潛在的。這深刻地反映了主客觀世界的矛盾。

由于兩者在本質(zhì)上有很大的共性，人們往往將兩者視為同一個(gè)概念。

（三）“真無限”與“實(shí)無限”的主要差異

認(rèn)真研究黑格爾的無限理論之后，顯而易見，黑格爾的“真無限”與數(shù)學(xué)中的“實(shí)無限”是完全不同的兩個(gè)概念。

數(shù)學(xué)中的“實(shí)無限”：認(rèn)為無限客觀存在，“無限進(jìn)展”可以完成，與哲學(xué)中的“惡無限”直接對(duì)立，承認(rèn)“實(shí)無限”就直接否定“惡無限”。

黑格爾的“真無限”：是指“無限物”的內(nèi)在聯(lián)系、共同本質(zhì)、規(guī)律性，而不是“無限進(jìn)展”是否可以完成。由于“真無限”與“惡無限”是辯證統(tǒng)一的，因而承認(rèn)“真無限”也必然承認(rèn)無限的客觀存在、承認(rèn)“惡無限”、承認(rèn)無限不可能完成。

因?yàn)橐姓J(rèn)“真無限”首先必須承認(rèn)“惡無限”，因?yàn)椤罢鏌o限”是對(duì)“惡無限”的揚(yáng)棄，而不是對(duì)“惡無限”的拋棄?！皭簾o限”、“真無限”是無限物的不同屬性，是一個(gè)統(tǒng)一體，缺一不可；承認(rèn)其中一個(gè)就必然要承認(rèn)另外一個(gè)。

兩者與“惡無限”的關(guān)系：“實(shí)無限”直接與“惡無限”對(duì)立，不存在辯證的統(tǒng)一關(guān)系，而“真無限”則與“惡無限”是一種辯證的統(tǒng)一，它離不開“惡無限”。

兩者的共同點(diǎn)：都承認(rèn)無限對(duì)象的客觀存在性；都是一種有限（“實(shí)無限”是一種有限，見后面的論述）。

兩者的不同點(diǎn)：“實(shí)無限”認(rèn)為無限進(jìn)展可以完成，而“真無限”認(rèn)為無限進(jìn)展不可能完成；前者是一種唯心主義的認(rèn)識(shí)論，而后者則是一種辯證的唯物主義的認(rèn)識(shí)論。

由此可見，“實(shí)無限”觀與黑格爾的“惡無限、真無限”思想完全背道而馳。

（四）“潛無限”與“實(shí)無限”的異同點(diǎn)

結(jié)合朱梧槚先生對(duì)這兩種無限觀的數(shù)學(xué)和哲學(xué)分析，歸納它們的不同點(diǎn)如下：

關(guān)于“無限”的客觀存在性：“實(shí)無限”認(rèn)為無限客觀存在，而“潛無限”認(rèn)為無限不是一種實(shí)在，因而否認(rèn)無限客觀存在。

關(guān)于無限是否可以完成：“實(shí)無限”認(rèn)為無限可以完成，反之，“潛無限”認(rèn)為無限肯定不能完成。

在“潛無限”觀者那里，“無限”是一種潛在，處于不斷構(gòu)造之中，因而不是一種實(shí)在，這顯然是用主觀世界對(duì)無限的認(rèn)識(shí)的不可能性來否定無限的客觀存在性。而“無限物”作為客觀事物是真實(shí)存在的，不以人類的意志為轉(zhuǎn)移，因而“潛無限”觀犯了主觀主義的錯(cuò)誤，從而是一種唯心主義的無限觀。

綜上所述，“實(shí)無限”、“潛無限”都是將有限、無限對(duì)立起來，卻未能將之統(tǒng)一起來，實(shí)際上是延續(xù)了康德的先驗(yàn)的“二律背反”思想，而黑格爾的無限觀則是將對(duì)立的有限、無限辯證地統(tǒng)一起來，把量的無限和質(zhì)的無限結(jié)合起來考察無限，從而形成辯證的無限觀，因而是馬克思主義的無限觀。

五、結(jié)論

（一）主觀世界與客觀物質(zhì)世界之間的矛盾就是一個(gè)有限無限矛盾

主觀世界是一個(gè)有限世界。關(guān)于“人的思維的有限性”，恩格斯在《反杜林論》中進(jìn)行了精辟的論述，認(rèn)為人的思維是被限制的、是有限的，是不斷前進(jìn)和發(fā)展的一個(gè)過程。在“永恒真理”那一篇，他說：“在這里，我們又遇到在上面已經(jīng)遇到過的矛盾：一方面，人的思維的性質(zhì)必然被看作是絕對(duì)的，另一方面，人的思維又是在完全有限思維著的個(gè)人中實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)矛盾只有在至少對(duì)我們說來實(shí)際上是無止境的人類世代更迭中才能得到解決。從這個(gè)意義來說，人的思維是至上的，同時(shí)又是不至上的，它的認(rèn)識(shí)能力是無限的，同樣又是有限的。按它的本性、使命、可能和歷史的終極目的來說，是至上的和無限的；按它的個(gè)別實(shí)現(xiàn)和某一時(shí)候的現(xiàn)實(shí)來說，又是不至上的和有限的”（參見恩格斯，1970年，第84頁(yè)）。因而，主觀世界是一個(gè)不斷變化發(fā)展著、不斷壯大的有限世界，而客觀世界則是一個(gè)絕對(duì)的無限世界；而有限無限矛盾就是主觀世界與客觀世界之間的一個(gè)不斷解決著、但卻不能終結(jié)解決的矛盾。

有限無限矛盾是人類在認(rèn)識(shí)客觀世界時(shí)所面臨的一種矛盾，是此時(shí)此刻的人類主觀世界不能完全了解、掌握的無窮無盡的客觀物質(zhì)世界。它反映了主觀世界在認(rèn)識(shí)客觀物質(zhì)世界時(shí)所遇到的一種困難、一種矛盾，而這種“困難或矛盾”是長(zhǎng)期的、永恒的、不可終結(jié)解決的，是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)無限世界時(shí)的一個(gè)不可逾越的溝壑。這就是人類在認(rèn)識(shí)客觀世界時(shí)消極、無能的一面。關(guān)于主客觀世界之間的矛盾，愛因斯坦也曾說過：“在我們之外有一個(gè)巨大的世界，它離開我們?nèi)祟惗?dú)立存在，它在我們面前就像一個(gè)偉大而永恒的謎，然而至少部分地是我們的觀察和思維所能及的?！币虼耍瑹o限既是真無限與惡無限的統(tǒng)一，也是客觀存在與隱性存在的統(tǒng)一，集中體現(xiàn)了有限無限矛盾。我們可以說：人類既能認(rèn)識(shí)客觀無限世界，又不能認(rèn)識(shí)客觀無限世界，而這就是馬克思主義關(guān)于“有限和無限關(guān)系”的自然辯證法。

（二）“實(shí)無限”觀是一個(gè)徹頭徹尾的唯心主義的無限觀

1.“實(shí)無限”與“潛無限”是一種對(duì)立的關(guān)系，不存在辯證的統(tǒng)一關(guān)系，因而是一個(gè)虛假的無限。

“實(shí)無限”觀直接對(duì)“潛無限”進(jìn)行否定并且沒有肯定，這樣，“有限無限矛盾”（無限過程）在它那里就消失了；而矛盾消滅了，那就是無限的終結(jié)。黑格爾早就從辯證的角度對(duì)“有限無限矛盾”給予了闡明：無限進(jìn)展只是這種矛盾的表現(xiàn)并不是這種矛盾的解決（參見黑格爾，1974年，第243頁(yè)）。我們?cè)凇皩?shí)無限”這兒找不到“潛無限”（無限進(jìn)展或者“惡無限”）的任何影子，而只有有限物。這種完完全全拋棄了“無限過程”的“無限”，與其說它是一個(gè)“無限”，倒不如說是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的“有限”；因?yàn)樗鼟仐壛恕盁o限過程”，也就拋棄了“有限無限矛盾”，從而讓自己變成一個(gè)徹頭徹尾的有限。

2.黑格爾強(qiáng)調(diào)有限和無限的統(tǒng)一，而“實(shí)無限”觀沒有把量的無限與質(zhì)的無限結(jié)合起來，它在對(duì)“量”進(jìn)行否定的同時(shí)沒有從量的否定中發(fā)現(xiàn)質(zhì)的東西，而是把“質(zhì)”的東西一同進(jìn)行了否定，甚至走向了“有限的存在”的對(duì)立面，變成了一個(gè)抽象物，人為割斷“有限”與“無限”的聯(lián)系，最終讓自己陷入虛無主義，讓自己變成與“無限過程”沒有內(nèi)在聯(lián)系的他物，也就是說，“實(shí)無限”與“無限過程”完全是兩回事。

在黑格爾看來，真正的無限，就是“在別物中達(dá)到的自我聯(lián)系”，就是無限物之間的共同本質(zhì)、相互規(guī)定、內(nèi)在聯(lián)系或普遍性，是否定之否定，從而是一種肯定，是一種自為存在；同時(shí)，“有限的存在”是具有質(zhì)的規(guī)定性，既是有限的又是可變的，既包含有肯定又包含有否定，而這種“質(zhì)的規(guī)定性”（即相互規(guī)定、共同本質(zhì)）是聯(lián)系“有限”和“無限”的紐帶，即聯(lián)系惡無限和真無限的紐帶。在“希爾伯特旅館”問題中，“實(shí)無限”者在否定“無限進(jìn)展”的同時(shí)把“無限物之間的相互規(guī)定（內(nèi)在聯(lián)系）”——“沒有空余房間”這一本質(zhì)——進(jìn)行了否定，而得出“存在空余房間”這一完全相反、對(duì)立的結(jié)論。這完全違背了有限與無限的統(tǒng)一性，違背了惡無限與真無限的統(tǒng)一性?！皩?shí)無限”觀認(rèn)為這種紐帶并不存在，否認(rèn)自身的回歸（即全盤否定而非辯證否定），把自己視為純粹在有限萬物彼岸的東西，與無限進(jìn)展（惡無限）沒有內(nèi)在的聯(lián)系，從而人為地割斷了“有限”與“無限”的聯(lián)系，最終導(dǎo)致了質(zhì)的不統(tǒng)一（“實(shí)無限”的質(zhì)與無限進(jìn)展的質(zhì)沒有統(tǒng)一性），導(dǎo)致自身的量與自身的質(zhì)的不統(tǒng)一，而讓“實(shí)無限”變成一個(gè)與“無限進(jìn)展”、“潛無限”毫無聯(lián)系的一個(gè)事物，變成了一個(gè)抽象物、一個(gè)他物。黑格爾分別用“直線”、“圓”來形容“惡無限”、“真無限”，而“實(shí)無限”既不是“直線”（惡無限），也不是“圓”（真無限），而是指存在一個(gè)“終極目標(biāo)”（或絕對(duì)真理），并且這個(gè)“終極目標(biāo)”是經(jīng)歷、完成了一個(gè)“無限進(jìn)展”之后可到達(dá)的目標(biāo)；因而其對(duì)“無限進(jìn)展”（即惡無限）不是辯證的揚(yáng)棄，而是機(jī)械的、形而上學(xué)的、人為的拋棄，人為割斷了與“無限進(jìn)展”的聯(lián)系，從而讓自己成為純粹在有限萬物彼岸的東西。事物的質(zhì)變并不是要與原事物完全沒有聯(lián)系、完全割斷，相反，辯證的否定是聯(lián)系的環(huán)節(jié)，沒有聯(lián)系的質(zhì)變是不存在的。人們常用“有限空間”的可達(dá)性來說明“無限過程的完成性”，如用坐標(biāo)軸x上的1可達(dá)0來證明這一無限過程可完成，其本質(zhì)是拋棄了“無限進(jìn)展”，用“有限性”代替“無限性”，把無限簡(jiǎn)單地視同有限對(duì)待，將人類思維產(chǎn)物強(qiáng)加于客觀物質(zhì)身上，人為地造成不可調(diào)和的對(duì)立，而“無限進(jìn)展”仍然獨(dú)立地存在著；這種想象的無限性（即實(shí)無限）并不是“無限進(jìn)展”本身，與“無限進(jìn)展”沒有任何內(nèi)在的聯(lián)系，它只是一個(gè)“旁觀者”，一個(gè)“他物”而已。關(guān)于“Cantor-Hilbert對(duì)角線法”這種具有“實(shí)無限”思想論證方法的有效性，朱梧槚先生也給出了旗幟鮮明的質(zhì)疑（參見朱梧槚，2010年）。

黑格爾要求把量的無限和質(zhì)的無限結(jié)合起來考察無限，認(rèn)為定量的無限并不是單純量的無窮進(jìn)展，而是對(duì)自身的質(zhì)的規(guī)定性。而數(shù)學(xué)上的這種“實(shí)無限”沒有將量和質(zhì)結(jié)合起來考察，因此其思想是遵循了康德的先驗(yàn)的、主觀的、形而上學(xué)的無限思想，而不是黑格爾的辯證的無限思想。因而，黑格爾堅(jiān)決批判了這種“實(shí)無限”，認(rèn)為這種“實(shí)無限”是虛無的“抽象物”，錯(cuò)誤地把客觀存在的無限當(dāng)成了完成了的、已經(jīng)認(rèn)識(shí)了的無限，把無限簡(jiǎn)單地視同有限對(duì)待；他在剖析康德的二律背反思想時(shí)指出了這種“實(shí)無限”的本質(zhì)：“那種理解的錯(cuò)誤，在于把這樣的思想物、抽象物，如無限多的部分，當(dāng)作某種真的、現(xiàn)實(shí)的東西；但是這種感性的意識(shí)卻不會(huì)超出經(jīng)驗(yàn)而達(dá)到思想的”（參見黑格爾，1974年，第210頁(yè)）。這樣一來，“實(shí)無限”就變成了一個(gè)抽象物，它不僅越過了“無限進(jìn)展（惡無限）”，也同時(shí)越過了“真無限”，從而讓自己變成了一個(gè)實(shí)實(shí)在在的“無”；因?yàn)樵诤诟駹柨磥?，越過了極限就會(huì)成了無。

黑格爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的無限在哲學(xué)上之所以重要，就在于它是建立在真正無限的基礎(chǔ)上，比形而上學(xué)的無限高明得多。數(shù)學(xué)的無限與形而上學(xué)的無限之分別，是無限性理論中的重大問題。真的數(shù)學(xué)無限是真無限，而形而上學(xué)的無限則是壞的無限。形而上學(xué)的無限堅(jiān)持著外在的否定性（惡無限），界限始終沒有被揚(yáng)棄；而真的無限堅(jiān)持著內(nèi)在的否定性，并且這種否定是向自身的回歸，是自身的量與自身的質(zhì)的統(tǒng)一。量的關(guān)系的極限與消失，并不意味著質(zhì)的規(guī)定的消失。黑格爾之所以強(qiáng)調(diào)質(zhì)的比例，因?yàn)檫@是從有限量轉(zhuǎn)化為無限量的依據(jù)（參見溫純?nèi)纾?003年）。因此，認(rèn)真對(duì)待數(shù)學(xué)中的實(shí)無限觀、潛無限觀，對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的健康發(fā)展至關(guān)重要。

3.以“主觀世界產(chǎn)物”完全代替“客觀物質(zhì)世界”本身，或者將“主觀世界產(chǎn)物”完全等同于、強(qiáng)加于“客觀物質(zhì)世界”，這就從根本上否定了主觀世界與客觀世界之間的差異、矛盾?！皩?shí)無限”拋棄了“有限無限矛盾”，也就拋棄了真實(shí)的無限；它將人類的思維產(chǎn)物強(qiáng)加于客觀物質(zhì)無限世界身上，并與客觀物質(zhì)世界相對(duì)立，因而“實(shí)無限”觀犯了與黑格爾一樣的錯(cuò)誤，它又是一個(gè)徹頭徹尾的唯心主義無限觀。

“無限可以完成”這是一種主觀世界的認(rèn)識(shí)，“實(shí)無限”觀認(rèn)為這就是客觀物質(zhì)世界本身。恩格斯早就對(duì)這種唯心主義認(rèn)識(shí)進(jìn)行了無情的批判。他說到：“企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產(chǎn)物的現(xiàn)實(shí)性，這正是一個(gè)叫做黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一”（參見恩格斯，1970年，第39-40頁(yè)）。上述論述說明，我們不能因?yàn)椤坝邢拗饔^世界”與“客觀物質(zhì)世界”存在“同一性”而去證明我們的思維產(chǎn)物——“無限過程可以完成”——現(xiàn)實(shí)性，這實(shí)際上指出了“實(shí)無限”觀存在的致命缺陷。也就是說，“思維的無限可超越j(luò)生”并不表示“客觀無限過程的可完成性”，而且“思維的無限可超越性”也從來沒有真正“完成過”；“存在的無限”決不等于“認(rèn)識(shí)了的無限”。

“無限”作為“無限個(gè)對(duì)象本身”，即作為一個(gè)“無限過程”，作為“惡無限”，是不可能完成、不可能“結(jié)束”的。但是，這并不等于說“不可以將這無限個(gè)對(duì)象（既包括完成了的有限也包括未完成的無限）看成一個(gè)整體、一個(gè)集合”，而人類事實(shí)上總是自覺、不自覺地把“無限個(gè)對(duì)象”看成是一個(gè)“整體”、一個(gè)“集合”；而這正是“無限可超越”的一面，也是“無限”在人類大腦思維中的自然的、必然的“思維結(jié)果、思維產(chǎn)物”，是“客觀無限世界”在“主觀有限世界”中的表象與反映。只是“無限”在“有限”的“人類意識(shí)”中是無法完全表達(dá)的，正由于無法“完全”表達(dá)，這才是“惡無限”或“潛無窮”的根本思想所在。

“實(shí)無限”觀總是混淆了這兩個(gè)概念——“無限過程”（即惡無限）與“無限整體”（是一種真無限），混淆有限與無限，混淆惡無限與真無限，并用“無限整體”（“思維的無限可超越性”）這一對(duì)客觀無限世界的主體認(rèn)識(shí)概念來替代“無限過程”這一認(rèn)識(shí)無限物質(zhì)世界的客觀過程（即用“真無限”來代替“惡無限”），把“主觀有限世界”對(duì)“無限客體”的超越性認(rèn)識(shí)當(dāng)成了“無限過程”本身，把“無限整體”的客觀存在性當(dāng)成“無限過程”的完成性，把思維的認(rèn)識(shí)產(chǎn)物當(dāng)成人類認(rèn)識(shí)客觀無限世界過程本身，用主觀認(rèn)識(shí)代替客觀事物本身，從而將“有限無限矛盾”徹底否定、徹底拋棄、徹底消滅。在“實(shí)無限”觀看來，有限無限矛盾消滅了，所以就可以完成、終結(jié)一個(gè)“無限過程”；可是有限無限矛盾從來也沒有消滅過，而且永恒存在。正如恩格斯在《反杜林論》中一針見血指出的那樣：“如果矛盾消滅了，那就是無限的終結(jié)。黑格爾已經(jīng)完全正確的看到了這一點(diǎn)，所以他以應(yīng)有的輕蔑態(tài)度來對(duì)待那些空談這種矛盾的先生們”（參見恩格斯，1970年，第48～49頁(yè)）。因此“實(shí)無限”觀總是不斷遇到致命的打擊，不斷遇到新的矛盾、新的悖論。這正是康托（cantor）“無限觀”的錯(cuò)誤之所在。

正是基于這種唯心主義的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，在“實(shí)無限”觀看來，“無限”作為一群“客體”的“集合”時(shí)，即作為一個(gè)“整體”時(shí)它是可“完成”的，因?yàn)檫@時(shí)“無限”的本質(zhì)內(nèi)涵——“惡無限性”——“無限過程”已被完全拋棄，所以它是可以“完成”的（即“思維的無限可超越性”）?！皩?shí)無限”觀將這種完成性當(dāng)成了“無限過程可完成”，將無限的客觀存在等同于無限過程，將“真無限”的可完成性當(dāng)成了“惡無限”的可完成性，用“真無限”完全替代“惡無限”，從而徹底拋棄“有限無限矛盾”，這就是“實(shí)無限”觀的錯(cuò)誤本質(zhì)。“存在性”是一種客觀，“完成性”是一種主觀，“實(shí)無限”觀將兩者混為一談，因而必然走向唯物主義的反面，必然導(dǎo)致不可克服的矛盾。讓我們進(jìn)一步舉例分析：“一條直線”作為一個(gè)“無限整體”是一種客觀存在，因而是一個(gè)肯定，是自為的存在，是完成了的質(zhì)，是一個(gè)有限（即一個(gè)“真無限”），但是其“無限延展性”卻是一個(gè)“惡無限”，因而是抽象的、不可完成的，是自在的存在和知性的存在；而“實(shí)無限”觀將前者等同于后者，并用前者來代替后者（用存在性代替完成性），從而讓自己遭受致命的打擊。

這種摒棄了“無限過程”、把思維的產(chǎn)物強(qiáng)加于客觀物質(zhì)世界身上的“無限觀”必然是一種反馬克思主義的無限觀，是一種實(shí)實(shí)在在的唯心觀。而黑格爾的無限觀正是既看到了“客觀物質(zhì)世界的普遍聯(lián)系性（真無限）”，又看到了“無限過程不可完成（惡無限）”的客觀實(shí)在性，所以它是一個(gè)科學(xué)的無限觀，是一個(gè)辯證的無限觀，因而也是一個(gè)馬克思主義的無限觀。因此，“無限”作為一個(gè)“無限過程”，是永恒不滅的，是絕對(duì)的，也是不可“完成”的；而當(dāng)“無限”作為一個(gè)整體、作為一個(gè)真無限時(shí)，即摒棄了“無限過程”時(shí)，這個(gè)“無限”是可以完成的，因?yàn)榇藭r(shí)，這個(gè)“無限”與其說是一個(gè)“無限”，倒不如說是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的“有限”。如“自然數(shù)集N”這個(gè)概念，是一個(gè)“無限客體”，但是其摒棄了“元素之間無限過程”（惡無限性）。這種離開了“無限過程”的“無限客體”已經(jīng)變成了一個(gè)單純的“概念”或“名稱”，已經(jīng)完全變成了一個(gè)“有限”性的事物了。因此，羅素才如此肯定地說“我們必須承認(rèn)有真實(shí)的無窮集合”，而事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們就是這樣干的，而且做得成績(jī)輝煌。我們把自然數(shù)集的存在看成是人們的實(shí)際現(xiàn)實(shí)需要，而這正是辯證無限觀的具體體現(xiàn)。

恩格斯在《反杜林論》中充分批判了像杜林先生那樣將“思維產(chǎn)物強(qiáng)加于外在客觀世界身上”的荒誕觀點(diǎn)，有效揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，認(rèn)為數(shù)學(xué)必須正確反映客觀物質(zhì)世界。他說，“但是在純數(shù)學(xué)中悟性絕不能只處理自己的創(chuàng)造物和想象物。數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來的。和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。和其他一切科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的……。但是，正如同在其他一切思維領(lǐng)域中一樣，從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的規(guī)律，在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實(shí)世界脫離，并且作為某種獨(dú)立的東西，作為世界必須適應(yīng)的外來的規(guī)律而與現(xiàn)實(shí)世界相對(duì)立”（參見恩格斯，1970年，第35～36頁(yè)）。

恩格斯對(duì)黑格爾的“絕對(duì)精神”這一唯心主義思想也進(jìn)行了有力的批判。他說：“黑格爾的體系作為體系來說，是一次巨大的流產(chǎn)，但也是這類流產(chǎn)中的最后一次。就是說，它還包含著不可救藥的內(nèi)在矛盾：一方面，它以歷史的觀點(diǎn)作為基本前提，即把人類的歷史看做一個(gè)發(fā)展過程，這個(gè)過程按其本性來說是不能通過發(fā)現(xiàn)所謂絕對(duì)真理來達(dá)到其智慧的頂峰的；但是另一方面，它又硬說自己是這個(gè)絕對(duì)真理的全部?jī)?nèi)容。包羅萬象的、最終完成的關(guān)于自然和歷史的認(rèn)識(shí)的體系，是和辯證思維的基本規(guī)律相矛盾的；但是這決不排斥，反而肯定，對(duì)整個(gè)外部世界的有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)是可以一代一代地得到巨大發(fā)展的?！保▍⒁姸鞲袼?，1970年，第22頁(yè)）。在這兒，恩格斯深刻批判了黑格爾那種具有“實(shí)無限”性質(zhì)的“絕對(duì)真理”的思想。

我們所反對(duì)的，正是恩格斯在《反杜林論》中所批評(píng)的杜林先生的“先驗(yàn)主義”的“終結(jié)真理”；而“實(shí)無限”觀本質(zhì)正是象“先驗(yàn)主義”一樣的東西，它本質(zhì)上是認(rèn)為世界的發(fā)展、運(yùn)動(dòng)一定會(huì)有個(gè)“盡頭”。而“無限”的本質(zhì)從來就是指“無限的不可窮盡性”，“不可窮盡”即“無限”，“無限”即“不可窮盡”。實(shí)無限觀認(rèn)為“無限”能夠“完成”，這與客觀物質(zhì)世界直接對(duì)立。

恩格斯在《反杜林論》中對(duì)這種觀點(diǎn)進(jìn)行了進(jìn)一步的批判：“如果在人類發(fā)展的某一時(shí)期，這種包括世界所有聯(lián)系——無論是物質(zhì)的或是精神的和歷史的——的最終完成的體系建立起來了，那么，人的認(rèn)識(shí)的領(lǐng)域就從此完結(jié)，而且從社會(huì)按照這一體系來安排的時(shí)侯起，未來的歷史進(jìn)展就中斷了——這是荒唐的想法，是純粹的胡說。這樣人們就處于矛盾之中：一方面，要毫無遺漏地從所有的聯(lián)系中去認(rèn)識(shí)世界體系；另一方面，無論是從人們的本性或世界體系的本性來說，這個(gè)任務(wù)都是永遠(yuǎn)不能完成的。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到，杜林先生是無所不在的——在一切可能的天體之上?，F(xiàn)在我們又看到，他是無所不知的。他解決了科學(xué)的最終的任務(wù)，從而封閉了一切科學(xué)走向未來的道路?！保▍⒁姸鞲袼梗?970年，第34頁(yè)）。

“存在的無限”不等于“認(rèn)識(shí)了的無限”，客觀的無限不等于主觀的無限，“實(shí)無限”既不是惡無限更不是真無限。關(guān)于真無限和惡無限，我們可以打一個(gè)很形象的比喻：“惡無限”就像被幽禁在封閉盒子里面的一個(gè)“魔鬼”，如果我們不打開這個(gè)盒子，這個(gè)“魔鬼”就永遠(yuǎn)不能出來（即無限進(jìn)展永遠(yuǎn)不能完成）。在這個(gè)比喻中，“魔鬼永遠(yuǎn)不能出來”是一種“惡無限”，而“真無限”則是指這個(gè)事件的內(nèi)在的“質(zhì)的規(guī)定性”——“封閉的盒子中有一個(gè)魔鬼”；將兩者結(jié)合起來表述整個(gè)事件就是：“封閉的盒子中有一個(gè)魔鬼，但是魔鬼永遠(yuǎn)不能出來”。前者表示事件的本質(zhì)，后者表示事件運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的可能，兩者相互依存但兩者并不等同。更形象的比喻，可以拿黑格爾用來形容“惡無限”的直線來具體說明：直線上的一個(gè)點(diǎn)在直線上自由的運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)事件中，“點(diǎn)在直線上”代表了事件的本質(zhì)、內(nèi)在的質(zhì)的規(guī)定性，體現(xiàn)了“點(diǎn)”與“直線”的關(guān)系，是一個(gè)真無限，而“點(diǎn)在直線上自由運(yùn)動(dòng)”則是代表“惡無限”，表明這個(gè)“點(diǎn)”可以達(dá)到直線上的任意一個(gè)位置，但是無論如何自由運(yùn)動(dòng)都不可能擺脫這條直線、都不可能改變“點(diǎn)在直線上”這一內(nèi)在的本質(zhì)。如果說上述事件的表述還有點(diǎn)模糊，那么讓我們把“直線”換成一個(gè)封閉的“圓”再來進(jìn)行事件的描述，上述事件就轉(zhuǎn)化為這樣的一個(gè)事件：封閉圓上的一個(gè)點(diǎn)在圓上自由的運(yùn)動(dòng)。同樣，“點(diǎn)在封閉的圓上”代表了事件的內(nèi)在規(guī)定性，體現(xiàn)了“點(diǎn)”與“圓”的關(guān)系，代表了事件的拓?fù)鋵傩?，因而是一個(gè)真無限，而“點(diǎn)在圓上自由運(yùn)動(dòng)”則是代表了“惡無限”，表明這個(gè)“點(diǎn)”可以在圓上任意移動(dòng)，但是無論如何自由運(yùn)動(dòng)都不可能擺脫這個(gè)圓。也就是說，“惡無限”的結(jié)果是“真無限”，而不是“實(shí)無限”；在這兒，我們找不到“實(shí)無限”的任何影子?！皩?shí)無限”自認(rèn)為自己已經(jīng)擺脫了“惡無限”，但仍然在無限進(jìn)展中；它不是從“質(zhì)”上思考無限、揚(yáng)棄無限進(jìn)展，而是主觀地、一廂情愿地中斷無限進(jìn)展，用主觀代替客觀，從而是一個(gè)自欺欺人的、唯心主義的認(rèn)識(shí)論，是一種變相的“二律背反”。

我們可以處處看到恩格斯批評(píng)杜林、所要反對(duì)的正是杜林先生的“存在就是被認(rèn)識(shí)了”的觀點(diǎn)。假若說“存在的無限”一旦被“思考”，就被“思考”為“統(tǒng)一的東西”——“完成了的無限”（實(shí)無限），那也太滑稽了。恩格斯在《反杜林論》中繼續(xù)論述：“……杜林先生就借助‘我們的統(tǒng)一思想，把存在的唯一性變?yōu)樗慕y(tǒng)一性了。因?yàn)橐磺兴季S的本質(zhì)都在于把事物綜合為一個(gè)統(tǒng)一體，所以，存在一旦被思考，就被思考為統(tǒng)一的東西……”（參見恩格斯，1970年，第38頁(yè)）“企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產(chǎn)物的現(xiàn)實(shí)性，這正是一個(gè)叫黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一?！保▍⒁姸鞲袼?，1970年，第39～40頁(yè)）。這兒已經(jīng)說明：“存在著的無限”一旦被“思維”并不能得到這一“思維產(chǎn)物”——“完成了的無限”（實(shí)無限）——的現(xiàn)實(shí)性。在這兒，恩格斯無情地批駁了“實(shí)無限”觀這種逃避“有限無限矛盾”的唯心主義的思想。

“實(shí)無限”觀把自己對(duì)“無限”的認(rèn)識(shí)當(dāng)成了“真實(shí)的客觀無限世界”本身，所以它必然走向了辯證唯物主義的對(duì)立面。因此，“實(shí)無限”本質(zhì)是一個(gè)“有限”觀，它摒棄了“客觀無限世界”與“主觀世界”的差異性，否定了“主觀世界”與“客觀世界”之間的“對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系77——41；有限無限矛盾”（無限進(jìn)展），從而否定了“主觀世界”的不斷前進(jìn)性。

（三）堅(jiān)持辯證唯物主義無限觀

重新定義、認(rèn)識(shí)“實(shí)無限”、“潛無限”，充分吸收黑格爾的辯證無限觀思想，回歸科學(xué)的無限觀上，即：無限客觀存在，無限可以認(rèn)識(shí)，但是“無限過程”不可以完成，而這就是馬克思主義無限觀（辯證唯物主義的無限觀）。

據(jù)上所述，雖然“潛無限”觀因?yàn)椤盁o限過程不可完成”而否認(rèn)了無限的客觀存在性，這是其錯(cuò)誤的一面。但是，由于其并沒有逃避“有限無限矛盾”，它客觀地承認(rèn)了人類認(rèn)識(shí)論上的這種困難、這種無法逾越的矛盾；它承認(rèn)我們不能夠結(jié)束一個(gè)“無限過程”而到達(dá)其某一終點(diǎn)，它沒有將“客觀存在的無限”思考成“完成了的無限”。因此，數(shù)學(xué)中的“潛無限”觀又有其正確的一面，而且這一面是完完全全堅(jiān)持了唯物辯證法。

而“實(shí)無限”觀，表面上承認(rèn)“客觀物質(zhì)世界的無限性”，但卻認(rèn)為“人類可以完全把握、認(rèn)識(shí)無限物質(zhì)世界”，完成一個(gè)無限進(jìn)展，從而回避了客觀存在的、認(rèn)識(shí)論上的“有限無限矛盾”。因此在本質(zhì)上，“實(shí)無限”觀否定了“客觀物質(zhì)世界”的“無限性”（惡無限性），而只承認(rèn)“客觀物質(zhì)世界”的“有限性”。這就決定了“實(shí)無限”觀總是用“有限性”的“方法”去處理、對(duì)待一個(gè)個(gè)“無限性”的客體，從而帶來一個(gè)又一個(gè)更大、更壞的“矛盾”。我們認(rèn)為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)其本質(zhì)就是“實(shí)無限”——“窮盡了無限”（窮盡了一個(gè)不可窮盡的東西）一一所導(dǎo)致的危機(jī)?！白畲笮驍?shù)悖論”、“最大基數(shù)悖論”都集中體現(xiàn)了“實(shí)無限”觀的根本錯(cuò)誤。

上述對(duì)“潛無限”、“實(shí)無限”觀進(jìn)行了全面的分析，全面論述了“潛無限”、“實(shí)無限”存在的哲學(xué)上的錯(cuò)誤。得出結(jié)論：既要承認(rèn)“有限無限矛盾”的客觀存在性——即無限過程不可能完成，又要承認(rèn)“無限”客體的客觀實(shí)在性；既要承認(rèn)惡無限，又要承認(rèn)真無限；既要承認(rèn)惡無限不可完成，又要承認(rèn)真無限可以認(rèn)識(shí)、可以完成。因此從數(shù)學(xué)上的角度上講，就是承認(rèn)所有自然數(shù)構(gòu)成為一個(gè)集合N，承認(rèn)N作為一個(gè)“無限客體”的客觀存在性。承認(rèn)N是一個(gè)無限性的集合，并不是否認(rèn)“惡無限（潛無限）”、否認(rèn)“無限過程不能完成”。從哲學(xué)的角度看，無限客體的存在不以人類的意志為轉(zhuǎn)移，也就承認(rèn)了N作為一個(gè)“無限客體”的合理性；但是人類的認(rèn)知能力又是有限的，這就決定了“無限過程”的客觀現(xiàn)實(shí)性，也就是承認(rèn)“無限過程”的不可完成性。這正是馬克思主義哲學(xué)對(duì)“無限”的最科學(xué)的、辯證的解釋。馬克思對(duì)“極限”概念的深刻剖析，無疑表明他就是“實(shí)無限”的堅(jiān)定反對(duì)者。正如馬克思的至理名言：“人的思維是否具有客觀的真理性，這并不是一個(gè)理論的問題，而是一個(gè)實(shí)踐的問題。人應(yīng)該在實(shí)踐中證明自己思維的真理性，即自己思維的此岸性。關(guān)于離開實(shí)踐的思維是否現(xiàn)實(shí)的爭(zhēng)論，是一個(gè)純粹經(jīng)院哲學(xué)的問題”。數(shù)學(xué)科學(xué)的實(shí)踐讓我們認(rèn)清了“實(shí)無限”的本質(zhì)。

綜上所述，我們?nèi)娼榻B了黑格爾的辯證無限觀，也介紹了恩格斯對(duì)黑格爾無限觀的批判繼承和發(fā)展，還介紹了四種無限觀之間的區(qū)別，并全面分析了“實(shí)無限”觀的錯(cuò)誤，因此現(xiàn)在我們可以自然總結(jié)出馬克思主義無限觀（即辯證唯物主義無限觀）就是：無限客觀存在，無限可以認(rèn)識(shí)，但是無限過程不可以完成。因此，正確理解和把握“有限無限矛盾”，是數(shù)學(xué)界、哲學(xué)界徹底解決“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的本質(zhì)所在，對(duì)于徹底認(rèn)識(shí)“羅素悖論”的哲學(xué)意義也有著極大的指導(dǎo)意義。

[責(zé)任編輯：盛暑寒]