斯瑤
【摘 要】在小學階段培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念,幫助學生體驗數(shù)據(jù)的隨機性。教師需要著眼解決問題,讓學生親身經(jīng)歷統(tǒng)計思想產(chǎn)生和發(fā)展的過程。通過實驗、統(tǒng)計,體驗數(shù)據(jù)的隨機性。以歸納推理的形式,分析數(shù)據(jù),推斷整體,幫助學生感受數(shù)據(jù)的魅力,建立數(shù)據(jù)分析觀念,滲透統(tǒng)計思想。
【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;隨機性;數(shù)據(jù)分析觀念
隨著對“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的探索與教學,我們意識到教學絕非停留在繪制統(tǒng)計圖、求平均數(shù)等知識技能的傳授上,數(shù)據(jù)分析觀念的建立,更符合學生發(fā)展的需求?!皵?shù)據(jù)分析觀念”成為《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》所提出的十大核心概念之一,也是“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的核心。史寧中教授對“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵進行了闡述,認為“體驗數(shù)據(jù)的隨機性”是數(shù)據(jù)分析觀念的一部分,它有兩個層次的含義:一是對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的,二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
那么,在小學數(shù)學的教學中如何體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析觀念,如何讓學生體驗數(shù)據(jù)的隨機性?本文將以人教版五年級上冊“擲一擲”一課為例,結(jié)合教學實踐,談談筆者的想法。
數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)需要基于學生感興趣的事物,進而引導學生了解要解決現(xiàn)實問題往往需要經(jīng)歷調(diào)查、數(shù)據(jù)收集、分析的過程,并根據(jù)數(shù)據(jù)中蘊含的信息進行推斷。創(chuàng)設解決問題的現(xiàn)實背景,能有效溝通數(shù)學知識與具體問題間的聯(lián)系,激發(fā)學生主動參與探究活動的積極性。因此在了解了擲兩枚骰子面朝上的點數(shù)和可能是2~12這11種可能之后,創(chuàng)設了古代小商販擺賭局的情境。玩家擲一次付給商販10文錢,如果擲出的點數(shù)和是2,3,4,9,10,11,12這7個數(shù),則商販付給玩家20文錢,反之則10文錢歸商販。點數(shù)和7∶4的分組設計區(qū)別于教材中6∶5的分組設計(2,3,4,10,11,12為一組,5,6,7,8,9為一組),其原因在下文中會談到。
學生在學習本課之前,已經(jīng)在“可能性”單元通過簡單試驗體會可能性是有大小的,并與數(shù)量的多少有關(guān)。表決統(tǒng)計也顯示,全班44人,有40位同學表示玩家贏的可能性大,理由是數(shù)量點數(shù)和多。3位同學表示玩家贏的可能性小,理由分別是:商販以營利為目的,不會輸;每個點數(shù)和的組合不同,只有擲出1和1才能出現(xiàn)點數(shù)和2。有1位同學表示可能性一樣大,綜合了兩方的想法。此時,即便是覺得玩家輸?shù)目赡苄源蟮?位同學也是出于一種感覺。當即教師提出問題:怎樣才能知道玩家究竟是贏的可能性大還是輸?shù)目赡苄源?。學生立即反應,做實驗,并不斷有學生補充,需要大量做實驗,對實驗結(jié)果還需要進行記錄統(tǒng)計以發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念,首先就要讓學生經(jīng)歷產(chǎn)生統(tǒng)計思想的過程,體會統(tǒng)計在解決問題中的必要性。實驗、統(tǒng)計、發(fā)現(xiàn)規(guī)律,在教師的引導過程中,學生逐步構(gòu)建數(shù)據(jù)分析的過程,數(shù)據(jù)分析觀念也慢慢在學生腦中形成。
對于同樣的事件,每次收集到的數(shù)據(jù)可能會不同,而大量收集數(shù)據(jù)后有可能會形成某種規(guī)律。這就是數(shù)據(jù)的隨機性。從部分推斷整體是統(tǒng)計的一個基本思想,既然是由部分來推斷,我們就不能保證推斷是準確無誤的。這也是產(chǎn)生數(shù)據(jù)隨機性的原因之一。
在“擲一擲”一課的教學中,學生自主提出通過實驗和統(tǒng)計探究玩家輸贏的可能性大小。隨即開展了四人小組合作的實驗活動。教師提供了類似條形統(tǒng)計圖的表格,擲出的和是多少就在對應的點數(shù)和上方涂一格,任意一列涂滿,游戲結(jié)束。
這里就要談到7∶4分組的設計意圖。兩枚骰子點數(shù)的組合方式共36種,6∶5的分組設計,點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小分別是[1236]和[2436]。7∶4的分組設計,點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小分別是[1636]和[2036]。細小的變化,卻讓實驗結(jié)果變得更為有趣。全班共分成11個小組,下圖為3個小組的實驗結(jié)果。
由于兩組數(shù)出現(xiàn)的概率較接近,學生的實驗結(jié)果中,兩組數(shù)擲出的次數(shù)也會相對較接近。即便如此,全班11個小組,每個小組最終擲的次數(shù)都在50次左右,其中10個小組都得到了玩家贏的可能性小的結(jié)論。通過觀察統(tǒng)計圖,學生都發(fā)現(xiàn)中間的點數(shù)和出現(xiàn)的次數(shù)多一些,兩邊的少一些。這里,也讓學生些許體會到統(tǒng)計與概率的魅力。但在反饋圖1和圖2后,學生也感受到兩組數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果的差異,初步體會數(shù)據(jù)的隨機性。在幾次試教中,幾乎每個班都會出現(xiàn)有一組是玩家勝利的結(jié)果,如圖3。這就讓課堂變得更為有趣。學生的回答也非常精彩:我們小組的統(tǒng)計圖也呈現(xiàn)中間多兩邊少的形狀,但由于9出現(xiàn)的次數(shù)異常多,所以我們組得到的結(jié)論是A組出現(xiàn)次數(shù)少,玩家贏的可能性大。至此,學生對數(shù)據(jù)的隨機性又得到了更深刻的體驗。
由部分推斷整體,然而部分數(shù)據(jù)存在隨機性,因而結(jié)論也會出現(xiàn)偏差。
統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)進行推斷,其推理方式主要是歸納。而實際教學中,教師往往習慣于先給出定義。以“拋硬幣”為例,一般的教學步驟是:①面朝上的可能有哪些?(可能是正面朝上,也可能反面,基于概率角度的隨機性)②它們的可能性大小是多少?(幾乎每個五年級的孩子都知道正面或反面朝上的概率是二分之一)③學生或計算機實驗驗證。這就類似于演繹推理的過程,先得出結(jié)論再進行實驗,而學生對于數(shù)據(jù)隨機性的體會是模糊而不深刻的,更談不上數(shù)據(jù)分析觀念的建立了。
在前文的論述中,已經(jīng)闡述了學生通過實驗體驗了數(shù)據(jù)的隨機性。而數(shù)據(jù)隨機性中,還包括了一點,只要有足夠的數(shù)據(jù),就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在這里筆者將它稱為數(shù)據(jù)的規(guī)律性。
學生在感知數(shù)據(jù)具有隨機性,小數(shù)據(jù)更具有偶然性后,開始主動尋求大數(shù)據(jù),探究規(guī)律。有學生想到將全班的數(shù)據(jù)合在一起。課前安排了大組的觀察員,在小組合作實驗結(jié)束后,統(tǒng)計了大組的實驗數(shù)據(jù)。課堂上將各個大組的數(shù)據(jù)通過excel統(tǒng)計形成統(tǒng)計圖,在輸入的過程中,引導學生不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律:隨著數(shù)據(jù)的增加,統(tǒng)計圖“山”一樣的形狀越來越穩(wěn)定。從而幫助學生體會到收集大量的數(shù)據(jù)后就會形成某種規(guī)律,讓學生對數(shù)據(jù)的隨機性也有了更完整的認識。
已有經(jīng)驗與實驗結(jié)果的沖突,讓學生不禁質(zhì)疑:明明占的點數(shù)和少,為什么出現(xiàn)的次數(shù)反而多呢?為什么會呈現(xiàn)中間多兩邊少的形態(tài)?進而激發(fā)學生繼續(xù)探究的欲望,引起學生思考。在實驗過程中,會有學生感悟到每個點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小不同,這與數(shù)的組成有關(guān)。
從實驗到統(tǒng)計,從統(tǒng)計到數(shù)據(jù)分析,揭秘真相,這樣一個類似于“猜謎”的活動,學生既體會到了數(shù)據(jù)的隨機性,又感受到數(shù)據(jù)中蘊含著信息,大數(shù)據(jù)中還可能蘊藏規(guī)律,幫助我們作出判斷。這實際就是一個歸納推理的過程。在小學階段,教材上有讓學生經(jīng)歷歸納推理的過程,但大多都是規(guī)律、公式、定理的推導。像這樣通過自己創(chuàng)造的數(shù)據(jù)推理現(xiàn)實問題,從部分數(shù)據(jù)推斷整體結(jié)果的具有統(tǒng)計意義的推理,于學生而言是非常難得的。
在學生談到點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小與數(shù)的組成有關(guān)后,筆者讓學生在表格中記錄所有點數(shù)和是2~12的算式,如圖4,再次觀察,看看有什么發(fā)現(xiàn)?
通過觀察進而發(fā)現(xiàn),出現(xiàn)點數(shù)和5,6,7,8的可能為20種,所以出現(xiàn)的可能性大,剩余7個點數(shù)和出現(xiàn)的可能有16種,出現(xiàn)的可能性小。學生也體會到,可能性的大小不能由表面的數(shù)量決定,要找到真正影響可能性大小的因素。在這個游戲中影響可能性大小的因素是數(shù)的組合方式。
從數(shù)據(jù)分析到探究原因,從實踐操作到理論分析,是學生自己得到的實驗數(shù)據(jù)推動著進一步的思考,是主動的探索與發(fā)現(xiàn)。
課堂最后,筆者將通過實踐得到的統(tǒng)計圖(圖5)和通過數(shù)的組成分析得到的表格(圖4)進行對比,兩幅形似“山”一樣的圖片重合在了一起,讓筆者產(chǎn)生視覺的沖擊,同時也讓學生說說自己的想法。一學生回答道:實踐與理論是一致的。學生都不禁感嘆,兩幅圖驚人的相似。
這一環(huán)節(jié)的設計,旨在幫助學生感悟任何不確定事件的背后一定有理可依,偶然中藏著某種必然。這是學習數(shù)學的價值,它可以在一定程度上幫助我們分析生活中的不確定事件。這同樣也是統(tǒng)計的魅力所在,通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計可以幫助我們對實物作出判斷。就像我們常說的,理論指導實踐,實踐檢驗真理。
要讓學生建立起數(shù)據(jù)分析觀念,需要讓學生在解決問題的過程中,親身經(jīng)歷統(tǒng)計思想產(chǎn)生和發(fā)展的過程。在體會數(shù)據(jù)分析的必要性后,通過實驗統(tǒng)計分析數(shù)據(jù),感知可以通過部分推斷整體,即便這個“部分”存在一定的隨機性。以歸納推理的形式,展開數(shù)據(jù)分析,對于幫助學生建立數(shù)據(jù)分析觀念,滲透統(tǒng)計思想,具有重要意義。
[1]史寧中,張丹,趙迪.“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學建議[J].課程·教材·教法,2008(6):40-44.
(浙江省杭師大東城實驗學校 310000)