邵文敏 邵亞飛

摘要：作圖是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的重要組成部分，小學(xué)階段的作圖是與圖形的認(rèn)識(shí)相結(jié)合的。筆者試圖追“根”溯“源”，采用對(duì)比與溝通的思路，整體把握小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的作圖內(nèi)容，為分階段的作圖教學(xué)實(shí)踐做指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 作圖體系；分析；反思

利用直尺、三角尺、量角器和圓規(guī)等工具進(jìn)行幾何作圖，是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域的一個(gè)重要的學(xué)習(xí)板塊，并貫穿于整個(gè)圖形與幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域。如何才能更好地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行作圖學(xué)習(xí)？筆者基于教材從作圖工具、作圖知識(shí)到作圖學(xué)習(xí)特點(diǎn)等方面進(jìn)行反思，尋找學(xué)生作圖知識(shí)結(jié)構(gòu)與作圖方法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生作圖不僅僅停留在簡(jiǎn)單的操作中，而是具有整體的認(rèn)識(shí)。

一、作圖工具對(duì)比與溝通

刻度尺，充分體現(xiàn)了“平直”的特點(diǎn)，為學(xué)生畫(huà)指定長(zhǎng)度的線段提供幫助。三角板，在此基礎(chǔ)上，又增加了角。學(xué)生既可以用三角板來(lái)度量長(zhǎng)度，又可以利用三角板來(lái)畫(huà)特殊度數(shù)的角，尤其是直角。量角器是可以畫(huà)出任意度數(shù)的角。

而這幾種工具的產(chǎn)生與使用，其實(shí)經(jīng)歷了一個(gè)“單位”創(chuàng)造與確定的過(guò)程。測(cè)量就是用“單位”量，例如測(cè)量長(zhǎng)度的本質(zhì)，就是確定一段長(zhǎng)度里包含了多少個(gè)長(zhǎng)度單位，所以測(cè)量長(zhǎng)度必須要有長(zhǎng)度單位。長(zhǎng)度單位是人類經(jīng)過(guò)曲折的探索過(guò)程才建構(gòu)起來(lái)的。人們先是使用日常的單位。如右圖所示，人們使用身體上的一部分作為長(zhǎng)度單位進(jìn)行測(cè)量。由于測(cè)量單位不統(tǒng)一，導(dǎo)致測(cè)得的結(jié)果不一致。在實(shí)際生活中人們感到非常不便，因而統(tǒng)一長(zhǎng)度單位就十分必要，由此刻度尺才作為統(tǒng)一測(cè)量長(zhǎng)度的工具產(chǎn)生。尺子上的“厘米”、“毫米”、“分米”、“米”就是人們統(tǒng)一規(guī)定的長(zhǎng)度單位。觀察左圖，我們也可以看到，量角器度量角的大小也正是應(yīng)用統(tǒng)一角度單位這一原理制作而成。

可見(jiàn)，工具的產(chǎn)生正是因?yàn)槿藗冋J(rèn)識(shí)到統(tǒng)一單位的必要性，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生親身經(jīng)歷類似的創(chuàng)造、統(tǒng)一單位的過(guò)程，從而幫助學(xué)生深入體會(huì)作圖工具產(chǎn)生與使用的重要意義。具體來(lái)看，這幾種測(cè)量工具具有以下幾方面的共同點(diǎn)：

1.都有刻度。不管是刻度尺還是量角器上都均勻地分布著許多刻度線，這些刻度

線就是用來(lái)衡量物體長(zhǎng)度或角度的。

2.都有0刻度線。刻度尺畫(huà)線段要從0刻度線開(kāi)始畫(huà)起，量角器進(jìn)行畫(huà)角也要將

所畫(huà)的一條射線對(duì)齊0刻度線，這是因?yàn)?刻度線代表起點(diǎn)。

3.都要確立一個(gè)刻度的標(biāo)準(zhǔn)。我們可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)刻度尺上刻度的分布十分講究，

毫米、厘米、分米、米，這些單位按照計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)制原則規(guī)定，溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，體現(xiàn)著人們統(tǒng)一單位長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)的智慧。

4.都要“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”“邊對(duì)邊”。學(xué)生只有找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊并對(duì)齊，這樣才能把圖畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范，不致于出現(xiàn)盲目或憑感覺(jué)作圖的現(xiàn)象。

教師在教學(xué)生學(xué)習(xí)刻度尺、三角板與量角器的基本結(jié)構(gòu)與作圖方法時(shí)，可以進(jìn)行“求同”對(duì)比設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將不同的作圖工具的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行必要的溝通，讓學(xué)生對(duì)作圖工具的學(xué)習(xí)不僅只停留于直觀感知和簡(jiǎn)單操作，而是對(duì)相關(guān)的作圖工具的作圖方法與內(nèi)在結(jié)構(gòu)有了整體的認(rèn)識(shí)。

二、作圖內(nèi)容的對(duì)比與溝通

有效地組織學(xué)生作圖學(xué)習(xí)的前提是深刻地理解作圖內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系。作圖的教學(xué)絕非簡(jiǎn)單照搬教參上的教學(xué)建議，而是要置于對(duì)知識(shí)體系連貫一致的認(rèn)識(shí)中加以把握，顧及學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)什么、將要學(xué)什么、前后知識(shí)間有哪些聯(lián)系等問(wèn)題。

1. 畫(huà)直角、畫(huà)垂線與畫(huà)高步步為營(yíng)

在二年級(jí)學(xué)習(xí)角的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生用三角板來(lái)畫(huà)直角，這其實(shí)就是“垂直”概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。兩條相交的直線是否垂直，學(xué)生可以用手上的三角板上的直角進(jìn)行驗(yàn)證。

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，用三角尺畫(huà)垂線與畫(huà)直角在方法上有許多相同之處。

（1）先是讓三角尺的一條直角邊與已知的線段進(jìn)行重合。

（2）接著，讓三角尺沿著線段移動(dòng)，使三角尺的直角頂點(diǎn)和線段上的一個(gè)端點(diǎn)重合。

（3）從直角的頂點(diǎn)起沿三角尺的另一條直角邊畫(huà)一條直線。

（4）在垂足處標(biāo)出垂直符號(hào)。

學(xué)生用三角板畫(huà)直角僅僅是對(duì)直角的初步感知，但是學(xué)生在畫(huà)垂線學(xué)習(xí)的過(guò)程中，卻有個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)，就是理解“點(diǎn)到直線的距離”：從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的線段中垂線段最短，這是后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形中作高的知識(shí)基礎(chǔ)。

如上圖所示，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中教學(xué)此三類圖形中作高。作高其實(shí)就是作垂線段，所以方法上與畫(huà)垂線的步驟是一樣的，只是學(xué)生認(rèn)識(shí)并會(huì)正確畫(huà)出相應(yīng)平面圖形的“高”。

因此，學(xué)生對(duì)“高”的表象積累特別重要，例如讓學(xué)生畫(huà)平行線之間的垂線段，再通過(guò)度量后發(fā)現(xiàn)畫(huà)出的所有垂線段的長(zhǎng)度都是相等的，這是認(rèn)識(shí)高的起點(diǎn)。教師重視提供“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”有利于幫助學(xué)生形成對(duì)高的充分認(rèn)識(shí)。

2.畫(huà)垂線為畫(huà)對(duì)稱做好孕伏

如圖所示，畫(huà)對(duì)稱圖形的本質(zhì)就是找到相應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，而對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的垂線段長(zhǎng)度相等，表現(xiàn)在格子圖上就是格子數(shù)量相同。從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱軸與對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線互相垂直，對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸距離相等。所以說(shuō)，學(xué)生“畫(huà)垂線”知識(shí)的習(xí)得為四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)作對(duì)稱圖形設(shè)好了鋪墊。

3.畫(huà)角與畫(huà)旋轉(zhuǎn)彼此相輔相成

畫(huà)角其實(shí)是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形。如圖所示：畫(huà)一個(gè)60度的角，就是把線段OA繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度所形成的圖形。

而平面圖形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中又體現(xiàn)著畫(huà)角的過(guò)程。例如，把三角形OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，其實(shí)就是把線段OA和線段OB分別繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到對(duì)應(yīng)位置的新線段，然后再連接即可。由此可見(jiàn)，這兩種作圖本質(zhì)上是互通的。

三、學(xué)生作圖學(xué)習(xí)特點(diǎn)探索

建構(gòu)主義指出，“學(xué)習(xí)”不僅僅是簡(jiǎn)單的信息積累的過(guò)程，而是新舊知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的相互作用，及由此而產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新組合，而小學(xué)生總是以特定的方式建構(gòu)新知的。為此，我們對(duì)學(xué)生作圖學(xué)習(xí)特點(diǎn)進(jìn)行了分析。

1.學(xué)生先進(jìn)行識(shí)圖再作圖

通過(guò)梳理，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有關(guān)圖形知識(shí)的學(xué)習(xí)具體可以分為識(shí)圖和作圖，識(shí)圖是頭腦中的操作，而作圖是行為中的操作，教材在編排上采用先讓學(xué)生識(shí)圖再讓學(xué)生作圖的方式進(jìn)行。

如右圖所示：學(xué)生先是認(rèn)識(shí)和理解“互相垂直”和“垂線”概念，然后要會(huì)畫(huà)垂線。在實(shí)踐過(guò)程中我們也觀察到，當(dāng)已知直線不是水平放置時(shí)，學(xué)生的畫(huà)圖工具往往在本子上無(wú)所適從，這是因?yàn)樗麄儗?duì)“相互垂直”的概念往往習(xí)慣于“豎著”理解，因而教師在設(shè)計(jì)作圖學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)不僅要提供標(biāo)準(zhǔn)范式，還要變換材料的非本質(zhì)屬性，提供充分的變式讓學(xué)生感知、比較。

從教材的編排中可以發(fā)現(xiàn)，作圖技能對(duì)概念的形成有著不可低估的作用，學(xué)生通過(guò)畫(huà)直觀圖的過(guò)程感悟各概念的特征，即學(xué)生通過(guò)“認(rèn)識(shí)圖形、畫(huà)圖形”達(dá)到“以圖識(shí)性”的目的。

2.學(xué)生工具操作上逐步復(fù)雜化

低年級(jí)學(xué)生的作圖工具比較簡(jiǎn)單，就是直尺和三角板，作圖的內(nèi)容也直觀易操作，線段，角都處于初步感知階段，只需利用“平”或“直”兩方面就可以完成了。而從四年級(jí)開(kāi)始，量角器和三角板成為教學(xué)中重要的作圖工具，學(xué)生作圖工具操作比較復(fù)雜。

如右圖，量角器它復(fù)雜的構(gòu)造，就讓一些學(xué)生困難重重，不管是量角器的擺放上，還是利用內(nèi)外圈正確讀出角的度數(shù)，都需要學(xué)生按照思維的連續(xù)性去整體把握。學(xué)生在用量角器時(shí)，不論角的一邊對(duì)的是哪一圈的“0”刻度線，他們往往習(xí)慣看的是外圈的度數(shù)，即使學(xué)生外圈內(nèi)圈看對(duì)了，但是在讀刻度的時(shí)候，有時(shí)會(huì)把四十幾讀成五十幾，從哪邊讀過(guò)來(lái)在學(xué)生的頭腦中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

再比如圖形里畫(huà)高，隨著邊位置的變化，學(xué)生要找到三角尺擺放的相應(yīng)位置才能準(zhǔn)確作圖，這都需要學(xué)生兼顧整體，找準(zhǔn)目標(biāo)，無(wú)疑是對(duì)學(xué)生的作圖學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)。

3.學(xué)生從直觀感知到直觀操作

我們發(fā)現(xiàn)，第一學(xué)段學(xué)生的作圖學(xué)習(xí)，只是直觀感知圖形的特征，例如通過(guò)借助刻度以及方格中的“平”“直”等直觀概念畫(huà)一些常見(jiàn)的簡(jiǎn)單圖形：線段，角，長(zhǎng)方形，正方形等。第二學(xué)段學(xué)生的作圖學(xué)習(xí)有了理論的提升，學(xué)生作圖時(shí)需要理解作圖的原理，例如直線、射線、角、平行、垂直、平行四邊形、梯形、三角形、底、高、腰等概念教學(xué)的高密度集中呈現(xiàn)，學(xué)生的作圖學(xué)習(xí)有了理論的提升，就處于直觀形象的操作階段，畫(huà)圖時(shí)需要理解畫(huà)圖的原理。

如右圖所示，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)教材中，學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形后，只要求學(xué)生根據(jù)對(duì)長(zhǎng)方形和正方形特征的直觀認(rèn)識(shí)，在方格紙和點(diǎn)子圖上“描畫(huà)”。但到了四年級(jí)學(xué)習(xí)了平行和垂直后，要求學(xué)生用直尺和三角尺來(lái)畫(huà)。由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)一些作圖知識(shí)的理解和掌握需要有逐步深化、提高的過(guò)程。

總之，讓學(xué)生學(xué)會(huì)作圖，使之成為翹起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個(gè)重要的支點(diǎn)，不是一朝一夕能夠解決的問(wèn)題，利用幾節(jié)課或者專門(mén)訓(xùn)練學(xué)生作圖是不可取的，而且也肯定是不行的。因此，我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)中要盡量多的“滲透”作圖指導(dǎo)，細(xì)水長(zhǎng)流，久而久之，學(xué)生就能逐步掌握。

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