練育宏

[摘? 要] 教學(xué)需要想象，教師的教學(xué)想象可以讓教學(xué)過程更為流暢、完整. 教學(xué)想象對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的支撐作用可以得到理論與實踐兩個方面的佐證，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用教學(xué)想象，可以更好地確定教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育. 教師的教學(xué)想象需要向?qū)W生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的想象能力培養(yǎng)延伸，這樣可以更好地實現(xiàn)教學(xué)相長.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);教學(xué)想象;核心素養(yǎng)

教學(xué)需要想象，這是核心素養(yǎng)背景下的基礎(chǔ)教育的一個重要命題. 教學(xué)想象就是教師在教學(xué)過程中根據(jù)自身的經(jīng)驗與課程教學(xué)的需要，在教學(xué)前預(yù)設(shè)教學(xué)效果，在教學(xué)過程中根據(jù)對學(xué)情的判斷（也是想象）完成或調(diào)整教學(xué)過程，在教學(xué)后評價教學(xué)過程并對其后的教學(xué)進(jìn)一步展開想象的過程. 教學(xué)之所以需要想象，是因為在教學(xué)的過程中，教師面對的是學(xué)生，而學(xué)生的成長是需要想象來提供支撐的，無論是智力的發(fā)展還是品格的培養(yǎng)，沒有必要的想象是不完整的. 伊根教授將想象分為認(rèn)知和情感兩個領(lǐng)域，恰恰也是這個指向，將這兩個指向與核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的必備品格與關(guān)鍵能力對應(yīng)起來，就會發(fā)現(xiàn)教學(xué)想象與核心素養(yǎng)培育是完全吻合的，也因此研究教學(xué)想象就有著更重要的價值.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)知識的邏輯體系非常明顯，又由于思維所加工的對象都是抽象的數(shù)與形，因此邏輯思維將成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主要方式. 而這對學(xué)生的挑戰(zhàn)是非常大的，雖然說高中學(xué)生抽象思維能力已經(jīng)比較強(qiáng)，但學(xué)生的實際思維能力與數(shù)學(xué)知識要求之間仍然存在落差，要彌補(bǔ)這個落差，主動權(quán)在于教師，在于教師通過自身的教學(xué)想象，去為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)構(gòu)建一個合理的情境，以讓學(xué)生能夠在此情境中更好地運(yùn)用抽象思維與形象思維的結(jié)合來構(gòu)建知識. 本文試就高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教師想象提出自己的觀點(diǎn)，并嘗試總結(jié)其價值.

教學(xué)想象可以更讓教師更準(zhǔn)確地確定教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)總是要確定教學(xué)目標(biāo)的，通常情況下教學(xué)目標(biāo)的確定都是依據(jù)教學(xué)參考書或教學(xué)經(jīng)驗來確定的. 而且要注意的是，教學(xué)目標(biāo)的確定都是用知道、了解、理解等詞語來界定的，需要注意的是這些結(jié)果都是終結(jié)性的，并不指向具體的教學(xué)過程，但這些目標(biāo)又是基于具體的過程來實現(xiàn)的，而教學(xué)過程如何在教學(xué)之前又是未知的，因而就需要教師通過教學(xué)想象去預(yù)設(shè). 由于我們強(qiáng)調(diào)教學(xué)想象必須是基于教師的經(jīng)驗與學(xué)生的學(xué)習(xí)心理去進(jìn)行，因此良好的教學(xué)想象可以保證教學(xué)目標(biāo)得到更好的實現(xiàn).

比如在“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)”的教學(xué)中，教師預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)通常是：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡橢圓方程的過程中形成基本的運(yùn)算能力（知識目標(biāo)，對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算）;經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推理過程，學(xué)會從具體實例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，經(jīng)歷從形象到抽象、從具體到一般的思維過程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)一定的歸納概括能力;學(xué)會用坐標(biāo)化的方法求動點(diǎn)軌跡方程——解析法（能力目標(biāo)，對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象等）;進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識（情感目標(biāo)，對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模）.

要實現(xiàn)這些目標(biāo)，教師需要基于對學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的把握與教學(xué)目標(biāo)去發(fā)揮教學(xué)想象，以促進(jìn)這些目標(biāo)的達(dá)成. 筆者在教學(xué)中重點(diǎn)對這兩個基本問題進(jìn)行了教學(xué)想象：一是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷一個什么樣的建立過程？二是如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去讓學(xué)生得出橢圓的性質(zhì).

對于第一個問題，筆者想象下的教學(xué)設(shè)計是這樣的：先讓學(xué)生復(fù)習(xí)自己熟知的橢圓定義或者說是得出橢圓的方法：確定兩個焦點(diǎn)，確定它們之間的距離，然后根據(jù)橢圓定義中的到兩個定點(diǎn)的距離等于定值，讓學(xué)生將這段文字轉(zhuǎn)換為具體的圖形. 這里涉及轉(zhuǎn)換，也涉及邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象，當(dāng)學(xué)生在草稿紙上按要求作出圖形之后（教師這個時候要準(zhǔn)備好一個橢圓生成過程的動畫，以幫學(xué)生進(jìn)一步生成這個表象）;其后，根據(jù)橢圓的定義建立等式，即橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y）到兩個焦點(diǎn)的距離等于定值2a，然后再引導(dǎo)學(xué)生對等式進(jìn)行推理，最終得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 這個過程中的重點(diǎn)是等量關(guān)系的建立與邏輯推理的運(yùn)用，在教學(xué)想象中需要認(rèn)真考慮的是，邏輯推理得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，必須要讓學(xué)生的思路非常清晰，否則他們對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程理解肯定會產(chǎn)生困惑感，這雖說是經(jīng)驗之談，但確實反映著相當(dāng)一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實.

對于第二個問題，筆者想象下的教學(xué)設(shè)計是這樣的：首先，要想辦法讓學(xué)生知道描述橢圓的性質(zhì)需要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等角度進(jìn)行. 筆者預(yù)設(shè)的教學(xué)過程是給出學(xué)生一個平面直角坐標(biāo)系中的橢圓，然后初步用問題去引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識橢圓，如橢圓有大小之分嗎？（指向橢圓的范圍）如果沿x軸或y軸對折，會出現(xiàn)什么情形？（指向橢圓的對稱性）從圖上來看橢圓的大小確定于哪些點(diǎn)？（指向橢圓的頂點(diǎn)）為什么有的橢圓看起來扁一些，有的橢圓看起來圓一些？（指向橢圓的離心率）. 這樣的系列問題的提出，可以讓學(xué)生對橢圓的性質(zhì)的探究有一個全面的印象與準(zhǔn)確的方向，其后的教學(xué)過程中，學(xué)生的思路會更明確. 當(dāng)然，也可以采用數(shù)學(xué)探究的思路，在學(xué)生不明白具體從哪些角度探究性質(zhì)的情況下，逐步得出性質(zhì). 具體選擇，主要還是看學(xué)生的具體情況與目標(biāo)預(yù)設(shè).

教學(xué)想象可以支撐數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有效培育

在上面的論述中，多次提到了教學(xué)想象與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系，實踐證明，教學(xué)想象確實是可以支撐起數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的. 下面仍以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)”的教學(xué)為例來說明.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是用“數(shù)”去描述“形”的，橢圓的幾何性質(zhì)又是從形的角度去認(rèn)識橢圓的，在標(biāo)準(zhǔn)方程得出的過程中，第一個教學(xué)重心應(yīng)當(dāng)是橢圓形成過程表象的建立，筆者以為學(xué)生基于原有經(jīng)驗去畫出一個橢圓的過程會是很順利的，而將橢圓置于平面直角坐標(biāo)系中，尤其是當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)分別在x軸或y軸上時，所得到的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有所不同這個過程，學(xué)生可能會存在隱藏著的風(fēng)險，因為這不僅僅是標(biāo)準(zhǔn)方程中的a值分別在x或y對應(yīng)的分母上，而應(yīng)當(dāng)是推理得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程過程中的數(shù)學(xué)運(yùn)算的差異. 因此綜合起來看，從對橢圓的文字描述到標(biāo)準(zhǔn)方程的得出，其中存在著的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及標(biāo)準(zhǔn)方程本身在后來的問題解決中作為模型的運(yùn)用，都很好地對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本要素.

橢圓的幾何性質(zhì)探究過程中，邏輯推理起著基礎(chǔ)性的作用，因為根據(jù)上一點(diǎn)的構(gòu)想，筆者通過四個問題的提出給明學(xué)生探究的方向，那在這四個問題的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維就會圍繞橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)與離心率等來進(jìn)行推理. 譬如在離心率的探究過程中，引導(dǎo)性的問題是橢圓的“圓”或“扁”，學(xué)生需要完成的數(shù)學(xué)探究是用細(xì)繩的兩端點(diǎn)固定在長短不同的兩點(diǎn)（焦點(diǎn)），然后比較所得到的橢圓的圓或扁的不同，再去猜想用什么樣的數(shù)學(xué)關(guān)系去描述這種不同，學(xué)生會在不同情況的比較中發(fā)現(xiàn)不同——a和c的不同，然后用a/c的比值就可以表征橢圓的圓或扁，于是離心率也就出來了. 這個過程中，對橢圓的認(rèn)識從形到數(shù)，是一個典型的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的相互作用，最后生成一種模型性認(rèn)識的過程.

在解決知識構(gòu)建問題的同時，核心素養(yǎng)的培育如何得到更顯性的體現(xiàn)？這是一個需要思考的問題，在上述兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者的構(gòu)想是：在知識生成的過程之后跟學(xué)生一起反思，讓學(xué)生明確哪一部分進(jìn)行了數(shù)學(xué)抽象，什么時候進(jìn)行了邏輯推理，并適當(dāng)向?qū)W生熟悉的其他知識延伸，這樣會讓他們強(qiáng)化這一認(rèn)識，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相關(guān)因素的能力.

教學(xué)想象可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生成想象

教學(xué)想象支撐著教師的教學(xué)設(shè)計，良好的教學(xué)設(shè)計可以引導(dǎo)學(xué)生在想象的過程中更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識. 要知道，數(shù)學(xué)知識固然是經(jīng)由邏輯推理得出的，但學(xué)生的想象力其實在此過程中發(fā)揮著重要的作用.

一方面，學(xué)生的想象影響著其對知識學(xué)習(xí)過程的判斷. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，其對數(shù)學(xué)知識的演繹總是有著預(yù)期的. 譬如探究橢圓的離心率，其在看到橢圓有所謂的扁圓不同的時候，總對描述橢圓的扁或圓的工具有著一定的預(yù)期，這個預(yù)期就是由想象支撐的.

另一方面，學(xué)生的想象影響著數(shù)學(xué)知識體系的建立. 數(shù)學(xué)知識體系的作用不言而喻，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)知識體系并非完全是邏輯推理的產(chǎn)物，想象在其中發(fā)揮著重要的潤滑、填補(bǔ)作用. 當(dāng)然，這種情況下的想象也與學(xué)生的直覺相關(guān)，也因此直觀想象才在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的地位.

從這個角度講，教師的教學(xué)想象與學(xué)生在學(xué)習(xí)中的想象是互通的，教師在提升自身教學(xué)想象力的同時，對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中想象能力的關(guān)注，可以讓師生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模的過程中，很好地實現(xiàn)抽象與形象、推理與直觀、建模與應(yīng)用的融合，這對于核心素養(yǎng)的培育來說，是一個重要且有意義的過程. 而核心素養(yǎng)的培育過程研究，正是當(dāng)下的一個熱點(diǎn)，其現(xiàn)實意義與歷史意義并重.