季小明

[摘? 要] “直線的傾斜角與斜率”是人教版數(shù)學(xué)必修2第一節(jié)的內(nèi)容，其中的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念，是描述直線傾斜程度的要素，學(xué)習(xí)本內(nèi)容對(duì)于學(xué)生掌握解析幾何的研究方法極為重要.

[關(guān)鍵詞] 傾斜角;斜率;概念;規(guī)律;過程;思想方法

“直線的傾斜角與斜率”內(nèi)容是解析幾何學(xué)習(xí)的重要起點(diǎn)，不僅包含一些重要的概念，還有解決解析幾何問題的一般方法，其知識(shí)和思想是后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，下面將探討該內(nèi)容的教學(xué)建議.

遵循教學(xué)規(guī)律，科學(xué)引入概念

“直線的傾斜角與斜率”是平面幾何的重要內(nèi)容，其中的“傾斜角”和“斜率”是銜接幾何與代數(shù)的重要概念，也是章節(jié)內(nèi)容開展的基礎(chǔ). 在教學(xué)中需要遵從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)發(fā)展規(guī)律，精化概念引入設(shè)計(jì)，完成概念自然引入.

學(xué)生學(xué)習(xí)傾斜角與斜率之前已掌握了一次函數(shù)圖像和平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)，高中課程標(biāo)準(zhǔn)指出在教學(xué)斜率概念時(shí)需要以直角坐標(biāo)系為背景，結(jié)合具體的函數(shù)圖像和幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生探究表示直線位置的相關(guān)要素. 因此，教學(xué)的伊始有必要借助一次函數(shù)的圖像來完成概念的抽象. 如教學(xué)中可以給出圖1所示的一次函數(shù)圖像，讓學(xué)生思考函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線是由哪些要素來確定的，學(xué)生根據(jù)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)一般可以推理出利用點(diǎn)的坐標(biāo)來確定直線，此時(shí)則可以進(jìn)一步給出圖2，讓學(xué)生思考同樣是通過點(diǎn)P₁的直線，為何兩者的圖像不同. 通過鮮明的對(duì)比學(xué)生很容易會(huì)關(guān)注直線上點(diǎn)以外的要素——角度. 此時(shí)教師就可以適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察兩直線圖像的不同點(diǎn)，也可以從直線旋轉(zhuǎn)的角度引導(dǎo)學(xué)生思考何種情況下兩條直線可以重合為同一條直線（圖3的l1旋轉(zhuǎn)得到l2），引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系中需要用一點(diǎn)和傾斜角來確定唯一的直線，認(rèn)識(shí)幾何角存在的意義.

斜率是解析幾何重要的研究?jī)?nèi)容，而研究解析幾何最為重要的方法是代數(shù)法，在使用代數(shù)法進(jìn)行研究時(shí)需要利用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，因此教學(xué)斜率就需要利用點(diǎn)的集合知識(shí)，從點(diǎn)的衍生規(guī)律角度來完成概念教學(xué). 學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)知道兩點(diǎn)可以確定一條直線，此時(shí)就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的坐標(biāo)可確定一次函數(shù)，即利用點(diǎn)的坐標(biāo)來求解一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，而根據(jù)函數(shù)解析式可以繪制出直觀的函數(shù)圖像，從而完成“兩點(diǎn)坐標(biāo)→函數(shù)解析式→函數(shù)圖像”的認(rèn)知規(guī)律構(gòu)建，為后續(xù)直線斜率的教學(xué)打下知識(shí)基礎(chǔ).

關(guān)注構(gòu)建過程，揭露概念本質(zhì)

教材在安排內(nèi)容時(shí)，利用傾斜角與斜率的關(guān)系來完成后者的概念衍生，考慮到傾斜角是一個(gè)相對(duì)特殊且重要的幾何量，因此在構(gòu)建斜率概念時(shí)除了需要準(zhǔn)確把握兩者的聯(lián)系，還需遵從知識(shí)構(gòu)建的規(guī)律. 在實(shí)際教學(xué)中可以借助直觀的圖像，利用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，揭示概念的本質(zhì)，全面呈現(xiàn)概念的構(gòu)建過程.

對(duì)斜率的概念學(xué)習(xí)不僅需要將其直觀化，還需要將其坐標(biāo)化，教學(xué)中可以把握生活圖像釋義和幾何公式推演兩條主線，分別完成斜率概念的數(shù)學(xué)語言描述.

主線一：生活圖像釋義

首先，給出圖4所示的兩幅圖片，讓學(xué)生觀察圖片中的坡面哪個(gè)最大. 然后根據(jù)實(shí)際圖像進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建圖5所示的幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生得出“坡面的陡峭程度和坡面與平面所成的角度相關(guān)”. 緊接著教師可以給出“前進(jìn)量”和“升高量”兩個(gè)衡量坡面的參量，結(jié)合圖6讓學(xué)生進(jìn)一步思考坡面角度與前進(jìn)量和升高量之間的關(guān)系，自然而然地完成坡度表示的構(gòu)建，即坡度=，最后借用傾斜角來完成坡度概念的數(shù)學(xué)化，“坡度”本質(zhì)上就是“傾斜角α的正切值”，即tanα=坡度=.

主線二：幾何公式推演

對(duì)斜率概念的坐標(biāo)化和公式推演需要借助平面直角坐標(biāo)系，教學(xué)中需從“兩點(diǎn)確定一條直線”定理出發(fā)完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和表達(dá)式過程的推導(dǎo). 學(xué)生已經(jīng)掌握不同的兩個(gè)點(diǎn)可以表示一條確定的直線，引導(dǎo)學(xué)生明確“確定的兩點(diǎn)”與“直線斜率確定”的關(guān)系，然后借助直角三角形、正切和平行線的相關(guān)知識(shí)，構(gòu)建圖7所示的數(shù)學(xué)模型：在過點(diǎn)P（x，y）的直線上選取兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），然后分別過點(diǎn)P1和P2作x軸、y軸的平行線，設(shè)兩線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y1）. 最后根據(jù)圖7的幾何模型完成斜率公式的推導(dǎo)，即過點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的直線，其直線的斜率可以表示為k=，即斜率的計(jì)算公式.

在完成兩條主線的構(gòu)建后只需要將斜率公式與坡度聯(lián)系起來即可，實(shí)際問題中的坡度就是數(shù)學(xué)上的斜率，即坡度==k==tanα，則學(xué)生很容易理解斜率計(jì)算公式中的y2-y1和x2-x1就是在計(jì)算模型中的升高量和前進(jìn)量，這為后續(xù)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是十分有利的.

通過上述兩條主線的不同構(gòu)建過程，顯然可以發(fā)現(xiàn)：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可以推算直線的斜率k，利用“兩個(gè)不同的定點(diǎn)→斜率k→直線點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=k（x-x1）”的推演模式可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)到函數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)，這從本質(zhì)上可幫助學(xué)生理解“點(diǎn)坐標(biāo)”“直線斜率”和“函數(shù)解析式”三者之間的關(guān)系.

滲透數(shù)學(xué)思想，提升核心素養(yǎng)

“直線的傾斜角與斜率”章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中隱含著一定的思想核心，即引導(dǎo)學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)的思想方法. 相對(duì)而言數(shù)學(xué)思想更為抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來更為吃力，但卻是數(shù)學(xué)的精髓所在，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分重要的. 在實(shí)際教學(xué)過程中教師可以采用思想方法滲透于知識(shí)內(nèi)容的方式，即寄“無形思想”于“有形知識(shí)”中.

本節(jié)內(nèi)容教學(xué)時(shí)需要滲透的思想方法有模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和化歸統(tǒng)一思想. 模型思想主要體現(xiàn)在教學(xué)引入環(huán)節(jié)的生活實(shí)例問題的模型抽象，數(shù)形結(jié)合思想存在于直線傾斜角α與直線變化情況的辨析中，討論不同一次函數(shù)圖像的斜率情況時(shí)需滲透分類討論思想，而化歸統(tǒng)一思想則體現(xiàn)在傾斜角、斜率和坐標(biāo)三者關(guān)系的深化中，教學(xué)滲透具體情形如下：

1. 模型思想

課例引入階段采用情景教學(xué)方式，首先給出具體的實(shí)物圖像，然后對(duì)實(shí)物進(jìn)行建模，最后從中抽象幾何模型，如圖8. 給出常見的高射炮圖像，以地面和垂直于地面的直線為坐標(biāo)軸建坐標(biāo)系，將高射炮的炮管抽象成數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生了解引入傾斜角的概念是為了描述相關(guān)實(shí)物的傾斜程度. 而從實(shí)物圖像到數(shù)學(xué)幾何的轉(zhuǎn)化過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)模型是描述和分析生活實(shí)物的重要手段.

2. 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，即將數(shù)學(xué)圖像與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生理解傾斜角的概念和存在意義時(shí)可以采用該思想. 如教學(xué)中可以利用幾何畫板呈現(xiàn)傾斜角變化對(duì)一次函數(shù)圖像的影響（圖9），幫助學(xué)生建立“傾斜角α變化→直線圖像變化→函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b中的k變化”的深刻認(rèn)識(shí)，通過動(dòng)態(tài)的變化圖將數(shù)與形相結(jié)合. 另外，在探究?jī)A斜角α的取值范圍時(shí)也可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生觀察直線旋轉(zhuǎn)過程中α的變化情況，從而找到傾斜角的取值范圍，充分理解傾斜角的概念.

3. 分類討論思想

一次函數(shù)的圖像根據(jù)斜率存在性可以分為兩種情形，因此在教學(xué)直線上任意兩點(diǎn)均可以確定直線的傾斜角時(shí)采用分類討論思想來完成討論，如圖10，引導(dǎo)學(xué)生分別對(duì)α=90°和α≠90°兩種情形的直線斜率進(jìn)行計(jì)算，從而得出：α≠90°時(shí)，tanα=（x1≠x2）;α=90°時(shí)，tanα不存在. 另外，在討論α的取值范圍與斜率k的符號(hào)的關(guān)系時(shí)也可以采用該思想，可將k分為k<0、k>0、k=0和k不存在四種情形.

4. 化歸統(tǒng)一思想

理解傾斜角α、斜率k與點(diǎn)坐標(biāo)三者關(guān)系是幫助學(xué)生形成解題策略，提升繼續(xù)深造能力的關(guān)鍵，在實(shí)際教學(xué)中可以結(jié)合具體的問題來進(jìn)行. 首先給出兩個(gè)點(diǎn)的具體坐標(biāo)，如點(diǎn)A（-3，1）和B（-4，2），讓學(xué)生求解過點(diǎn)A和B的直線的斜率，以及對(duì)應(yīng)的傾斜角. 學(xué)生從點(diǎn)坐標(biāo)求解直線斜率和傾斜角的過程中可以提煉出求解一般問題的思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生化歸統(tǒng)一的思想. 另外也可以反向求解，給出過點(diǎn)A（-2，4）和B（-4，y）的直線的斜率k=2，讓學(xué)生反推點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)一步構(gòu)建由點(diǎn)坐標(biāo)為引導(dǎo)的解題模型.

總之，本章節(jié)的核心內(nèi)容是直線傾斜角和斜率的概念詮釋與公式搭建，課堂教學(xué)應(yīng)以概念的幾何與代數(shù)屬性為基礎(chǔ)，基于學(xué)生的認(rèn)知，從知識(shí)的發(fā)展規(guī)律入手來開展;關(guān)注概念的構(gòu)建過程，主抓教學(xué)主線，滲透數(shù)學(xué)思想，在深化學(xué)生概念理解的基礎(chǔ)上搭建解決實(shí)例問題的模型平臺(tái)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思想，提升學(xué)生的解題能力.