陳桂珠

（平潭綜合實(shí)驗(yàn)區(qū)城中小學(xué)，福建 平潭 350499）

學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程中，不斷感悟數(shù)學(xué)模型思想，并通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，在解決問題的過程中不斷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生自主探索，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)歷一個(gè)感知、建構(gòu)、運(yùn)用和深化的過程呢？

一、在生活情境中提煉數(shù)學(xué)問題，初步感知數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型往往可以在生活中找到，模型的建構(gòu)依賴于一定的現(xiàn)實(shí)情境，要想使學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出符合學(xué)生實(shí)際的生活情境。學(xué)生可以通過觀察、分析，從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)問題，并在初步感知模型的基礎(chǔ)上，逐步向建構(gòu)數(shù)學(xué)模型過渡。

如在教學(xué)《速度時(shí)間路程》時(shí)，教師在屏幕展示小明和小強(qiáng)家與超市之間的方位及路程示意圖。學(xué)生提取信息：“小明家離超市360米，小明從家到超市走了6分鐘。小英家離超市560米，小英從家到學(xué)校用了8分鐘。那么，誰走得快呢？”讓學(xué)生把自己的想法記錄下來。接著，學(xué)生展示比較的過程：“小明是360÷6=60（米），小英是560÷8=70（米），因?yàn)?0米小于70米，所以小英走得比較快?！苯處熥穯枺骸?60除以6是什么意思呢？”學(xué)生疑惑不解。教師繼續(xù)追問：“為什么360÷6就是表示小明1分鐘所走的路程呢？”經(jīng)過互相補(bǔ)充交流，學(xué)生從除法的角度進(jìn)行分析，把360米平均分成6份，每份是60米，也就是小明每分鐘所走的路程。教師繼續(xù)質(zhì)疑：“為什么不用總路程比較他們的快慢呢？”學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)：“因?yàn)樗麄兯玫臅r(shí)間不一樣，路程也不一樣，所以不能比較。”最后，學(xué)生感悟到：“分別求出了小明和小英1分鐘所走的路程進(jìn)行比較，也就可以把這兩個(gè)同學(xué)的時(shí)間轉(zhuǎn)化成相同的一分鐘。在這相同的1分鐘之內(nèi)，他們所行走的路程卻不一樣，這樣就可以直接比較他們的快慢了?！贝藭r(shí)教師順勢(shì)小結(jié)：“小明平均1分鐘走的路程就是小明的速度，小英平均1分鐘走的路程就是小英的速度，比較他們的快慢就是比較他們的速度?！?/p>

以上片段教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，在充分交流的基礎(chǔ)上，初步感知每1分鐘所走的路程其實(shí)就是“速度”這一數(shù)學(xué)模型。最后的總結(jié)提升，讓學(xué)生充分體會(huì)到平均1分鐘的路程在這里就是比較的標(biāo)準(zhǔn)。在這樣觀察、分析的探究過程中，學(xué)生在大腦中形成“速度”的直觀表象，感覺到某種數(shù)學(xué)模型的存在，初步建立起“速度”模型。

二、在歸納概括中分析數(shù)學(xué)問題，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

模型思想在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透和應(yīng)用，就是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生感悟模型思想。也就是說，模型思想的建立要蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)建模之中。而建立和求解模型的過程包括：用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生對(duì)模型的自主建構(gòu)與求解是需要不斷的歸納與概括。［2］

如在教學(xué)《除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算方法》時(shí)，先由同桌互相寫兩道除數(shù)是一位數(shù)的除法和除數(shù)是兩位數(shù)的除法算式并進(jìn)行計(jì)算，然后比較兩種計(jì)算方法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無論除數(shù)是一位數(shù)還是兩位數(shù)，都是從被除數(shù)的高位除起?！氨怀龜?shù)的最高位一定都會(huì)比除數(shù)大嗎？可能出現(xiàn)什么情況？誰能舉出這樣的例子？計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，在除的順序上，要遵循什么法則？”以上連續(xù)追問，在學(xué)生所舉的個(gè)性化的具體實(shí)例中闡述，除的順序得以具體化，除數(shù)是一位數(shù)的除法與除數(shù)是兩位數(shù)的除法的不同點(diǎn)躍然紙上。接著，學(xué)生通過比較實(shí)例算式（1）736÷5=147和算式（2）585÷45=13，討論如何確定商的位置。算式（1）中，因?yàn)橄扔贸龜?shù)5試除被除數(shù)的最高位7，也就是用5試除7個(gè)百，商1個(gè)百，余2個(gè)百，所以商要寫在百位上，和被除數(shù)百位上的7對(duì)齊。算式（2）中，用45去除58個(gè)十，商1個(gè)十，余13個(gè)十，所以商要寫在十位上，和被除數(shù)的十位對(duì)齊。教師再次質(zhì)疑：“同樣是商1，為什么兩題中的商1表示的意義卻不一樣？”這個(gè)問題再次引發(fā)學(xué)生反思：“為什么除到哪一位，就在那一位上面寫商？”學(xué)生在整數(shù)除法范圍內(nèi)充分理解了“商對(duì)正”的重要性和意義，那么，理解后續(xù)的小數(shù)除法中商的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊的原因，就不僅會(huì)知其然，而且知其所以然。教師進(jìn)一步質(zhì)疑：“每次除得的余數(shù)為什么都要比除數(shù)小呢？”學(xué)生可以從這兩個(gè)算式比較中發(fā)現(xiàn)原因，也可以從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)中提煉余數(shù)都要比除數(shù)小的本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生從“除的順序”“商的位置”“余數(shù)小于除數(shù)”三個(gè)角度總結(jié)除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算方法。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步明確除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算方法與算理之間的關(guān)系，完成模式抽象，建立起除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算法則這一數(shù)學(xué)模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程中，不僅理解和掌握了除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算法則，而且感悟和體會(huì)了模型思想，還積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟到數(shù)學(xué)比較與抽象之美，體驗(yàn)到探索數(shù)學(xué)規(guī)律之妙。這樣的教學(xué)，將學(xué)生由“簡(jiǎn)單的會(huì)計(jì)算”的層次轉(zhuǎn)向“深入理解算法背后所蘊(yùn)含的道理”的層次，使學(xué)生從小養(yǎng)成自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)。

三、在聯(lián)系運(yùn)用中解決數(shù)學(xué)問題，深化數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的過程應(yīng)包括“觀察實(shí)際情境—發(fā)現(xiàn)、提出問題—抽象成數(shù)學(xué)模型—得到數(shù)學(xué)結(jié)果—檢驗(yàn)并調(diào)整、矯正模型”等多個(gè)環(huán)節(jié)。［2］在學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用列舉、比較、分析、展示等活動(dòng)加深對(duì)該模型本質(zhì)的理解。在抽象成數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后，教師又要及時(shí)組織學(xué)生應(yīng)用已確立的模型檢驗(yàn)并解決具體的數(shù)學(xué)問題。通過溝通聯(lián)系、拓展延伸，進(jìn)一步鞏固、內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知體系。

如在教學(xué)《除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算方法》的最后，教師質(zhì)疑：“除數(shù)是三位數(shù)的除法的計(jì)算方法可能是什么樣的？試著計(jì)算17407÷103=（ ）并用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證?！痹谛W(xué)階段，教材只安排到《除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算方法》，今后不再學(xué)習(xí)除數(shù)是三位數(shù)的除法。因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)的除法的計(jì)算方法同樣適用于除數(shù)是三位數(shù)的除法。學(xué)生在本節(jié)課掌握了除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算方法這個(gè)運(yùn)算模型之后，能否自主應(yīng)用和推廣呢？這個(gè)課外問題的拓展，充分延伸了學(xué)生思維的長(zhǎng)度，讓學(xué)生充分感受模型的運(yùn)用與推廣。

例如在教學(xué)《速度時(shí)間路程》的最后，也可以選擇以下一些生活中有關(guān)速度的信息，讓學(xué)生自己編題，并進(jìn)行解答。（1）蝴蝶的飛行速度是500米/分。（2）鴕鳥的跑步速度是72千米/小時(shí)。（3）藏羚羊奔跑速度可達(dá)每小時(shí)70～110公里。（4）一輛高鐵的速度是290千米/小時(shí)。通過欣賞生活中的速度，豐富學(xué)生對(duì)速度的理解，讓學(xué)生選擇其中的一個(gè)速度素材，增加一個(gè)信息，編寫求路程的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步深化“速度×?xí)r間=路程，時(shí)間=路程÷速度”的模型。這不僅讓學(xué)生深刻理解了速度的意義，也為學(xué)生今后靈活地運(yùn)用“速度=路程÷時(shí)間”這一數(shù)學(xué)模型打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

引導(dǎo)學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力、提升小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段之一。當(dāng)然，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型只是一種手段而不是目的。在教學(xué)中，教師應(yīng)該基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)合理有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)建模能力和深化運(yùn)用數(shù)學(xué)模型能力。