雷小華

三角函數(shù)是描述大量生產(chǎn)與生活中帶有周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，而解三角形是尋求三角形中邊、角、周長(zhǎng)、面積的值或相關(guān)數(shù)量關(guān)系.由這兩部分組成的高考三角題，不僅能考查考生的理性思維品質(zhì)，且可檢測(cè)解決數(shù)學(xué)問題的能力.因此數(shù)學(xué)高考中始終少不了以能力立意且逐年創(chuàng)新的三角題.本文是對(duì)近三年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)中的三角題作些分析，并對(duì)2018年三角題作些預(yù)測(cè).

一、試題回顧

二、試題分析

仔細(xì)品味近三年這一板塊的試題，發(fā)現(xiàn)試題立足課本知識(shí)，計(jì)算適宜，難易適中，若不是壓軸題，一般難度不大，毎年分值穩(wěn)定在15～17分之間，題量有3道小題的，也有1個(gè)小題加1道大題的.試題不斷創(chuàng)新，考生在從已知到未知的求索心路中，感到似熟非熟，似生非生.試題做到了對(duì)知識(shí)與能力、推理與運(yùn)算的綜合考查.可謂：

測(cè)知識(shí)儲(chǔ)備多少，檢求索能力大小；移形換位生計(jì)算，數(shù)形結(jié)合添活力；難可壓軸品素養(yǎng)，正解三角現(xiàn)能力；青山不改惟核心，綠水長(zhǎng)流永創(chuàng)新！

（一）測(cè)知識(shí)儲(chǔ)備多少，檢求索能力大小

縱觀近三年高考這一板塊所出現(xiàn)的試題，有直接套用公式計(jì)算即可作答的基礎(chǔ)題，也有出現(xiàn)在第12題或第16題位置的不易求解的壓軸難題，命題方向?qū)?zhǔn)三角基礎(chǔ)知識(shí)的考查與探索求解的能力檢測(cè).

如2015年的第2小題，給你sin20°cos10°-cos160°sin10°這個(gè)表達(dá)式，若你儲(chǔ)備了正弦或余弦的和角與差角公式，做下一步的思路應(yīng)該自然想到，通過對(duì)比，會(huì)進(jìn)一步思考對(duì)cos160°的處理方法，檢測(cè)誘導(dǎo)公式中cos（180°-？琢）=-cos？琢的掌握與否，最后測(cè)試特殊角的三角函數(shù)求值能力.在這一過程中，知識(shí)的儲(chǔ)備量決定思路的開寬程度，熟練操作決定解題的敏捷程度！

「解題思路導(dǎo)圖」

「解析」sin20°cos10°-cos160°sin10°

=sin20°cos10°-cos（180°-20°）sin10°

=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin（20°+10°）

=sin30°=. 答案選D.

啟示：

1. 能力中包括理解記憶能力.對(duì)課本基礎(chǔ)知識(shí)包括概念、定義、公式、性質(zhì)等的理解與記憶一個(gè)都不能少！除了會(huì)，最好還要熟！

2. 解題時(shí)，你所儲(chǔ)備的每一個(gè)知識(shí)都可以成為你求解的指路明燈，照你前行！

變式題組一：

1. sin（40°+）cos（10°+）+cos（140°-）sin（10°+）=（ ）

A. - B. C. - D.

2. 若0≤≤π，且sin（+）cos-cos（-）sin=，則=（ ）

A. B. C. 或 D. 或

[答案]1. D；2. D.

（二）移形換位生計(jì)算，數(shù)形結(jié)合添活力

由于三角函數(shù)及圖像是歷年高考中的一個(gè)?？贾R(shí)點(diǎn)，需熟知y=Asin（x+）（A>0， >0），的圖像及其各種變換. 試題中出現(xiàn)過定形析數(shù)的，也出現(xiàn)了定數(shù)解形的，當(dāng)然還要關(guān)注動(dòng)形求數(shù)等數(shù)形結(jié)合的題型.

1. 移形換位生計(jì)算

（1）定形析數(shù)

對(duì)于2015年高考數(shù)學(xué)中的第8小題，已知了函數(shù)f（x）=cos（x+？覬）的部分圖像，如圖所示.若要求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，必須知道f（x）的一個(gè)周期內(nèi)的波峰橫坐標(biāo)x1與波谷橫坐標(biāo)x2，這樣f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間就可以寫成（kT+x1， kT+x2），k∈Z，T為周期.

「解題思路導(dǎo)圖」

「解析」由x2==，故x1=2×-=-，而周期T=2（x2-x1）=2[-（-）]=2， 故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間就可寫為（2k-， 2k+）， k∈Z， 答案選D.

（2）定數(shù)解形

在2017年高考數(shù)學(xué)中的第9小題，已知了曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），需要考生判斷由曲線C1的圖像得到曲線C2的圖像的正確的變換方式，考察異名三角函數(shù)之間轉(zhuǎn)換的一組誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)圖像之間的變換方式.

「解題思路導(dǎo)圖」

「解析」

方法一：

由曲線C1：y=cosx=sin（x+）=①=>C1：y=sin（2x+）.

=②=>C1：y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）即為曲線C2.

其中變換①為f（x）→f（2x），即把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變；變換②為g（x）→g（x+），即把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2.

方法二：

由曲線C2：y=sin（2x+）=cos[（2x+）-]=cos（2x+）.

故C1：y=cosx=③=>C1#： y=cos2x=④=>C1##： y=cos[2（x+）]，即為曲線C2.

其中變換③為h（x）→h（2xx），即把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變；變換④為k（x）→k（x+），即把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2.

不管走哪條路，我們都可以選出答案D.

此外，還有動(dòng)形求數(shù)等表現(xiàn)形式，放在變式題組中練習(xí)提高.

2. 數(shù)形結(jié)合添活力

在2015年高考數(shù)學(xué)中的第16小題中，給出了平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范圍. 最巧妙的解法是讓滿足條件的四邊形ABCD動(dòng)起來，觀察其變化中的極端情況所得到的值而作答！

「解題思路導(dǎo)圖」

「解析」如圖所示，延長(zhǎng)BA、CD交于A2，平移AD至A′D′、A″D″、AD，…，其極限與點(diǎn)A2重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，此時(shí)，在Rt△BA2H中，BA2==，解得：BA2=+；同理，平移AD至?xí)rA1C，AB最短，此時(shí)，在Rt△BKC中，BK=BCcos75°=2sin15°，故BA1=2BK=-. 所以AB的取值范圍為（-，+）.

啟示：

1. 熟知y=Asin（x+）（A>0，>0）的圖像及其各種變換，提高定形析數(shù)、定數(shù)解形、動(dòng)形求數(shù)與數(shù)形結(jié)合的能力；

2. 能用運(yùn)動(dòng)變化的思想靈活巧妙解題.

變式題組二：

1. 將函數(shù)y=2sin（2x+）的圖像向左平移個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（ ）

A. y=-2sin2x B. y=2sin2x C. y=-2cos2x D. y=2cos2x

2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的AB邊、AD邊上移動(dòng)，AB=3，AD=2，AE=AF，設(shè)∠CFE=. 則當(dāng)？駐CFE的面積最大時(shí)，cos=（ ）

A. B.

C. D.

[答案]1. D ；2. A.

（三）難可壓軸品素養(yǎng)，正解三角現(xiàn)能力.

1. 難可壓軸品素養(yǎng)

所謂的壓軸題，即大多數(shù)考生面對(duì)所給條件茫然不解以至無從下手或?qū)λo條件分解處理后仍無法有機(jī)結(jié)合尋求突破.除了前面2015年第16小題外，2016年的第12題也可算是一道壓軸題.要對(duì)這道題作出正確選擇需要具備三層功力，第一是具備了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)；第二，在解題對(duì)局時(shí)，中局不迷茫，能夠從開局產(chǎn)生的小成果與新局勢(shì)作出較好的運(yùn)算與推理，決擇出正確的新的推算方向；第三，具備了仔細(xì)謹(jǐn)慎不驕不躁內(nèi)斂前行的數(shù)學(xué)品質(zhì)，能繞開暗礁，迎風(fēng)破浪駛向勝利的彼岸！

2016年高考卷的第12題在給定函數(shù)y = sin（x+） （>0， ||≤）的條件下，再給另外滿足① x=-為f（x）的零點(diǎn)；②x=為y= f（x）圖像的對(duì)稱軸；③f（x）在（， ） 單調(diào)這三個(gè)條件，要求出的最大值.

「解題思路導(dǎo)圖」

「解析」由題意知：-+=r， r∈Z+=s+， s∈Z兩式相減得：=2k+1，其中k∈Z.

∵ f（x）在（， ）單調(diào)， ∴ ≥-=，即≤12，

接下來驗(yàn)證：

若=11， =-，此時(shí)f（x）=sin（11x-）. 當(dāng)x∈（， ）時(shí)，（11x-）∈（， ）=（， ]∪（， ），先增后減，不單調(diào)，故不合題意，舍去=11.

若=9，=，此時(shí)f（x）=sin（9x+）. 當(dāng)x∈（， ）時(shí)，（9x+）∈（， ）， 單調(diào)遞減，滿足f（x）在（， ）單調(diào). 故選答案B.

2. 正解三角現(xiàn)能力

2016年與2017年連續(xù)兩年第17大題為難度中等的三角大題，都設(shè)有兩問，像登山一樣，爬上一個(gè)小山頭之后再上另一個(gè)更高的山頂. 目的是考查是否具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)，包括正弦定理、余弦定理、面積公式等；是否具有較好的數(shù)學(xué)能力，包括運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力、分析問題與解決問題的能力等；是否能把知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，能給溝壑搭一座座彩橋？是否能對(duì)解題時(shí)出現(xiàn)的“斷路”（即解題無法推進(jìn)）與“短路”（即錯(cuò)因得錯(cuò)果）自我修復(fù)，并朝正確的方向繼續(xù)前進(jìn)？

先來看2016年第17大題的第（1）問，如何對(duì)條件① 2cosC（acosB+bcosA）=C（“山下”）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，朝求∠C這個(gè)結(jié)果（“山頭”）靠攏？

「第1小問思路導(dǎo)圖」

「解析」（1）由題意知：2cosC（acos B+bcos A）=c，由正弦定理得：2cosC（sin A·cos B + sin B·cos A） = sin C，即2cosC·sin（A+B）=sin C，∵ A+B+C=？仔，A、B、C∈（0，），∴ sin（A+B）=sin C>0，∴ 2cosC=1，cosC=，∵ C∈（0，？仔），∴C=.

對(duì)于第（2）問，需站在剛上的小山頭基礎(chǔ)上再向上攀登，即求出△ABC的周長(zhǎng).

「第2小問思路導(dǎo)圖」

「解析」（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab·cosC，即7=a2+b2-2ab·，即（a+b）2-3ab=7；又S=ab·sinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，故a+b=5，因此△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=5+.

再來看2017年第17大題，已知△ABC的面積為，首先要求sinBsinC的值.

「第1小問思路導(dǎo)圖」

「解析」（1）方法一：由題設(shè)得：S△ABC=absinC=，即bsinC=，再由正弦定理得：sinBsinC=，即sinBsinC=.

方法二：由已知可得：S△ABC=bcsinA=，即bcsinA=，再由正弦定理得：sinBsinCsinA=，即sinBsinC=.

方法三：由已知可得：S△ABC=acsinB=，即csinB=，再由正弦定理得：sinBsinC=，即sinBsinC=.

原來，三種方法殊途同歸！

「第2小問思路導(dǎo)圖」

「解析」（2）由題設(shè)及（1）得：cosBcosC-sinB· sinC=-，即cos（B+C）=-，即cos（？仔-A）=-，故cosA=，∵A∈（0，？仔），故∠A=.

由已知得：bcsinA=，又a=3，故bc=8，由余弦定理得：b2+c2-bc=9，即（b+c）2-3bc=9，故（b+c）=，所以△ABC的周長(zhǎng)為3+.

啟 示：

解好三角形靠的是基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力.要善用知識(shí)間的聯(lián)系給溝溝壑壑搭一座座彩橋，要快速修復(fù)解題時(shí)的“斷路”與“短路”，并繼續(xù)爬山越嶺，勇攀高峰！

變式題組三：

1. 已知函數(shù) f（x）=cos（x+）（>0， ≤），x=-為 f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖像的對(duì)稱軸，且f（x）在（，）單調(diào)，則的最大值為（ ）

A. 7 B. 5 C. 3 D. 1

2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)E、F、G分別在矩形ABCD的AB邊、AD邊、CD邊上移動(dòng)，且滿足AE=AF=CG. AB=3，AD=2，設(shè)∠GFE=，△EFG的面積為f（）. 則當(dāng)f（）最大時(shí)，cos=（ ）

A. B.

C. D. -

【答案】1. C；2. B.

（四）青山不改唯核心，綠水長(zhǎng)流永創(chuàng)新

解三角題，不僅需要正確的思維方法，有一定的邏輯思維能力，還要有敏銳的洞察力和整體把握能力，以及對(duì)創(chuàng)新試題出現(xiàn)的新情景的駕馭能力和較好的運(yùn)算能力等等.

“年年高考題不同，三角如棋局局新.”雖然毎年高考對(duì)三角題都有涉及，但是試題外形包裝卻題題不同！雖然年年三角題外形包裝各有不同，但是試題要考查數(shù)學(xué)能力為主線的核心內(nèi)涵卻年年相同！這一特點(diǎn)已成為了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向.

從近三年的高考可以看到，三角題在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，重在考查考生分析問題與解決問題的能力，這是高考三角題始終不變的主題！

波利亞所說“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本”.在有限的高考時(shí)間里，若你想擁有高效率的答題而事先沒有“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫”是不可想象的！

因此，平時(shí)要打牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的底盤，深刻理解概念本質(zhì)，理解其內(nèi)涵與外延，不停留在表層，對(duì)概念、公式、定理、法則等心中有數(shù)，運(yùn)用嫻熟.養(yǎng)成邏輯推理、順理成章、言必有據(jù)的好習(xí)慣.其次，對(duì)觀察、試驗(yàn)、歸納、演繹、類比、猜想、比較、分析、綜合、間接、抽象、概括等常用到的思維方法能運(yùn)用得當(dāng)，發(fā)揮自如，側(cè)重如何分析問題、解決問題的訓(xùn)練，提高思維能力.

正如有正確的方向與較好的體能就能爬上一座座山頂，解三角題從已知到未知的探索過程就好比爬山登頂，同樣需要正確的思維方法與較好的推算能力才能獲得正解.如下圖.

正所謂：年年高考題不同，三角如棋局局新；周長(zhǎng)面積連邊角，謀定而后解三角；扎實(shí)基礎(chǔ)現(xiàn)思路，方法手段捷徑走；相信青山終不改，來年綠水仍長(zhǎng)流！

三、對(duì)2018年三角題的預(yù)測(cè)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，2a，2b，3c成等比數(shù)列.

（1） 求A；

（2） 若A為銳角，點(diǎn)D是以AB中點(diǎn)O為圓心，半徑為a的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且│+│+││的最大值為5，試求△ABC的面積.

【簡(jiǎn)答】（1）方法一：

由A，B，C成等差數(shù)列，故2B=A+C，即B=60°.

2a，2b，3c又成等比數(shù)列，故4b2=2a·3C，即2b2=3ac. 根據(jù)正弦定理可得：2sin2B=3sinAsinC，

因?yàn)锳+C=120°， B=60°，所以sinAsin（120°-A）=.

由兩角差公式與二倍角公式可得：sin2A-cos2A=，即sin（2A-30°）=.

∵ 0

【簡(jiǎn)答】（1）方法二：

同法一得：B=60°，與2b2=3ac.根據(jù)余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，三式聯(lián)合可得：c=2a，或a=2c.故c=2a，b=a或a=2c，b=c. 即A=30°或90°.

【簡(jiǎn)答】（2）若A為銳角，則A=30°，B=60°，C=90°.

如圖，在以AB中點(diǎn)O為圓心，半徑為的圓中，D′D為過圓心O的直徑，則四邊形AD′BD為平行四邊形； 連結(jié)CO并延長(zhǎng)交圓于C′.則

│+│=││=a，││max=││=a+a=a. 故│+│+││的最大值為a，所以a=5a=2，由此S△ABC=ab=×2×2=2.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)