王佩其

解析幾何包含直線與圓的方程和圓錐曲線方程兩個內(nèi)容，新課標(biāo)高考對解析幾何的考查一般涉及三個小題（選擇題或填空題）和一個大題（把關(guān)題或壓軸題），約占30分，它是左右考生高考數(shù)學(xué)成績的“杠杠”，也是廣大考生畏懼的重要考點(diǎn).常言道，有備無患.那么在2018年的高考備考中，關(guān)于解析幾何有哪些考點(diǎn)值得廣大考生特別關(guān)注呢？本文加以大膽預(yù)測，供考生們參考.

一、直線方程及其應(yīng)用

【考情分析】

直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程；兩條直線平行與垂直的判定；兩條直線的交點(diǎn)和距離問題等，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度一般.

【考題預(yù)測】

預(yù)測題1 （1）已知點(diǎn)A（-1，0），B（cos？琢，sin？琢），且│AB│=1，則直線AB的方程為（ ）

A. y=x+或y=-x-

B. y=x+或y=-x-

C. y=x+1或 y=-x-1

D. y=x+或y=-x-

（2）若動點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）分別在直線l1：x-y-5=0，l2：x-y-15=0上移動，則P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是（ ）

A. B. 5 C. D. 15

（3）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），且AC=BC，則△ABC的歐拉線的方程為_________.

解析：（1）因?yàn)锳（-1，0），B（cos？琢，sin？琢），且|AB|=，所以==1，所以cos？琢=-，sin=±，所以kAB=±，即直線AB的方程為y=±（x+1）.

所以AB的方程為y=x+或y=-x-. 故選B.

（2）由題意得P1P2中點(diǎn)的軌跡方程是x-y-10=0，則原點(diǎn)到直線x-y-10=0的距離d==5.故選B.

（3）由于AC=BC，可得△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，求出線段AB的垂直平分線，即可得出△ABC的歐拉線的方程.

AB線段的中點(diǎn)為M（1，2），kAB=-2，

∴線段AB的垂直平分線為：y-2=（x-1），即x-2y+3=0.

∵ AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線的方程為x-2y+3=0 .

說明：求直線方程關(guān)鍵是確定它的斜率，可以通過斜率公式k=，也可以利用兩條直線的平行或垂直關(guān)系求其中一條直線的斜率.

二、圓的方程及其應(yīng)用

【考情分析】

對于圓的考查，主要是結(jié)合直線的方程用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程；利用圓的性質(zhì)求動點(diǎn)的軌跡方程；直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系等問題，其中含參數(shù)問題為命題熱點(diǎn).一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，從能力要求看，主要考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分析問題與解決問題的能力.

【考題預(yù)測】

預(yù)測題2.1 已知圓C的圓心位于直線x+y=0上，且圓C與直線x-y=0和直線x-y-4=0均相切，則圓的方程為（ ）

A. （x+1）2 +（y-1）2 =2 B. （x-1）2 +（y+1）2 =2

C. （x+1）2 +（y+1）2 =2 D. （x-1）2 +（y-1）2 =2

解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，-m） ，由題意可得 = ，解得m=1，圓的半徑為 =，據(jù)此可得圓的方程為（x-1）2 +（y+1）2 =2 . 故選B.

說明：求圓的方程主要有兩種方法：

（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨(dú)立等式.

預(yù)測題2.2 已知點(diǎn)A（-2，0），B（0，4） ，點(diǎn)P在圓C：（x-3）2+（y-4）2=5上，則使∠APB=90°的點(diǎn)P的個數(shù)為__________.

解析：由題意可得，若∠APB=90°，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，此時點(diǎn)P的軌跡是（x+1）2+（y-2）2=5，且點(diǎn)P在圓C：（x-3）2+（y-4）2=5上，即點(diǎn)P為圓（x+1）2+（y-2）2=5與圓（x-3）2+（y-4）2=5的交點(diǎn).考察兩圓的圓心距：d==2，而兩圓的半徑：r1=，r2= ，滿足d=r1+r2，即兩圓外切，據(jù)此可得點(diǎn)P的個數(shù)為1個.

說明：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

預(yù)測題2.3 設(shè)直線l：3x+4y+a=0，圓C：（x-2）2+y2=2，若在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線l上存在一點(diǎn)M，使得∠PMQ=90°，則a的取值范圍是___________.

解析：圓C半徑為，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時，所成的角最大，此時四邊形MPOQ為正方形，邊長為，所以對角線|OM|=2，故圓心C到直線l的距離d≤2，所以有=≤2，求出-16≤a≤4.故a的取值范圍是[-16，4].

說明：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系.由切線的對稱性和圓的知識，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時，所成的角最大，這樣就轉(zhuǎn)化為圓心C到直線l的距離小于或等于2，再由點(diǎn)到直線的距離公式解不等式可求出a的范圍. 由已知得出圓心C到直線l的距離小于或等于2是本題解題的關(guān)鍵.

三、圓錐曲線的方程與性質(zhì)

【考情分析】

圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容.主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容.對圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，以選擇題、填空題為主，主要考查求曲線的方程和研究曲線的離心率及雙曲線的漸近線等性質(zhì).

預(yù)測題3.1（1）一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為__________.

（2）雙曲線E的中心在原點(diǎn)，離心率等于2，若它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，則雙曲線E的方程是________.

解析：（1）兩定圓的圓心和半徑分別是O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.

設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設(shè)條件，可得MO1=R+1，O2M=9-R.

∴MO1+MO2=10>O1O2=6.

由橢圓的定義知點(diǎn)M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且2a=10，2c=6，∴b2=16.

∴動圓圓心的軌跡方程為+=1.

（2）因?yàn)閥2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）， 所以雙曲線E的一個頂點(diǎn)為（2，0），即a=2，又因?yàn)殡x心率e===2，c=4，因此b==2，故雙曲線E為-=1.

說明：求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法.而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2+ny2=1（mn≠0），這樣可以避免對參數(shù)的討論.

預(yù)測題3.2（1）若雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且線段F1F2被拋物線y2=4bx的焦點(diǎn)分成5 ∶ 4的兩段，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

（2）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓的頂點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，延長B1F2與A2B2交于點(diǎn)P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是_______.

解析：（1）由題意，知拋物線的焦點(diǎn)為F（b，0），又線段F1F2被拋物線y2=4bx的焦點(diǎn)分成5 ∶ 4的兩段，所以（b+c） ∶ （c-b）=5 ∶ 4，所以c=9b，所以a2=c2-b2=80b2，所以e====，故選A.

（2）設(shè)B1（0，-b），B2（0，b），F(xiàn)2（c，0），A2（a，0）.所以=（a，-b），=（-c，-b）.因?yàn)椤螧1PB2為鈍角，所以與的夾角為銳角，所以·=-ac+b2>0，即a2-c2-ac>0.兩邊同時除以a2并化簡得e2+e-1<0，解得

又0

說明：在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.

預(yù)測題3.3（1）已知雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C，且BC=CF2，則雙曲線的漸近線方程為________.

（2）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的一條漸近線與直線3x+y +3=0垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓（x-c）2+y2=2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為________.

解析：（1）由題意作出示意圖，易得直線BC的斜率為，cos∠CF1F2=，又由雙曲線的定義及BC=CF2可得CF1-CF2=BF1=2a，BF2-BF1=2aBF2=4a，

故cos∠CF1F2==b2-2ab-2a2=0

（）2-2（）-2=0=1+，故雙曲線的漸近線方程為y= ± （+1）x.

（2）由直線垂直的條件，求出漸近線的斜率，從而得到漸近線方程，根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑，求得b，進(jìn)而求出焦距2c由已知，得·（-）=-1，所以=.

由點(diǎn)F（c，0）到漸近線y=x的距離d=

=，可得c=，2c=2.

說明：本題將圓的方程與雙曲線的漸近線綜合在一起考查.這種“小綜合題”，一直是新課標(biāo)高考命題的重要題型.

預(yù)測題3.4 （1）過點(diǎn)（0，-2）的直線交拋物線y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且-=2，則OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（ ）

A. B. C. D.

（2）設(shè)橢圓C：+=1與函數(shù)y=tan的圖像相交于A1，A2兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么PA1直線斜率的取值范圍是________.

解析：（1）由題意得，=16x1，=16x2，∴-=16（x1-x2）=，

∴直線AB的方程為y=x-2，令y=0，∴ x=，

∴S=||·|y1-y2|=|-|=，故選C.

（2）由題意，得A1，A2兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)A1（x1，y1），A2（-x1，-y1），P（x0，y0），則有+=1，+=1，即=（4-），=（4-），

兩式相減整理，得=-·=-·.

因?yàn)橹本€PA2的斜率的取值范圍是[-2，-1]，

所以-2≤≤-1，所以-2≤-·≤-1，解得≤≤.

說明：解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點(diǎn)弦問題時，也可用“點(diǎn)差法”求解. 有時也可以依據(jù)圓錐曲線的定義加以合理轉(zhuǎn)化.

四、圓錐曲線綜合性問題

【考情分析】

1. 圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點(diǎn)、定值問題，探索性問題.

2. 試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對計算能力也有較高要求，難度較大.

預(yù)測題4.1 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且點(diǎn)（1，）在該橢圓上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程.

解析：（1）由題意可得e==，又a2=b2+c2，所以b2=a2.

因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，），所以+=1，

解得a=2，所以b2=3，故橢圓C的方程為+=1.

（2）由（1）知F1（-1，0），設(shè)直線l的方程為x=ty-1，

由x=ty-1，+=1消去x，得（4+3t2）y2-6ty-9=0.

顯然>0恒成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=，y1y2=-.

所以|y1-y2|===，

所以SAOB=F1O·|y1-y2|==，

化簡得18t4-t2-17=0，即（18t2+17）（t2-1）=0，解得t2=1或t2=-（舍去），

又圓O的半徑r==，所以r=，故圓O的方程為x2+y2=.

說明：橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長、中點(diǎn)等知識應(yīng)給予充分關(guān)注.

預(yù)測題4.2 如圖，已知橢圓：+y2=1，點(diǎn)A，B是它的兩個頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率k為的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D，且與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

（1）若=6，求k的值；

（2）求四邊形AEBF面積的最大值.

解析：（1）依題設(shè)得橢圓的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，1），則直線AB的方程為x+2y-2=0.

設(shè)直線EF的方程為y=kx（k>0）. 設(shè)D（x0，kx0），E（x1，kx1），F(xiàn)（x2，kx2），其中x1

聯(lián)立直線l與橢圓的方程+y2=1，y=kx，消去y，

得方程（1+4k2）x2=4. 故x2=-x1=，

由=6知，x0-x1=6（x2-x0），得x0=（6x2+x1）=x2=，

由點(diǎn)D在線段AB上，知x0+2kx0-2=0，得x0=，所以=，

化簡，得24k2-25k+6=0，解得k=或=.

（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知點(diǎn)A，B到線段EF的距離分別為h1=，h2=.

又EF=，所以四邊形AEBF的面積為S=EF（h1+h2）==2=2=2≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=時，取等號，所以四邊形AEBF面積的最大值為2.

說明：圓錐曲線的最值與范圍問題的常用方法有：（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解；（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.

預(yù)測題4.3.1 已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，焦點(diǎn)與短軸的兩頂點(diǎn)的連線與圓x2+y2=相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得·為定值？如果有，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及定值；如果沒有，請說明理由.

解析：（Ⅰ）∵e=a2=4c2，

又焦點(diǎn)與短軸的兩頂點(diǎn)的連線與圓x2+y2=相切.

∴ bc=b2c2=（b2+c2），即（a2-c2）c2=a2（a2-c2）==3.

故c2=1，a2=4，b2=3，所以橢圓方程為+=1.

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

3x2+4y2=12，y=k（x-1）（3+4k2）x2-8k2+4k2-12=0.

則x1+x2=，x1x2=.

若存在定點(diǎn)N（m，0）滿足條件，則有

·=（x1-m）（x2-m）+y1y2=m2-m（x1+x2）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-（m+k2）（x1+x2）+k2+m2

=-+k2+m2

=.

如果要上式為定值，則必須有=m=.

驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時，也符合.

故存在點(diǎn)N（，0）滿足·=-.

預(yù)測題4.3.2 已知橢圓方程為C：+y2=1（a>1），它的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為T，且=.直線l1過F1且與橢圓交于點(diǎn)A、B，直線l2過F2且與橢圓交于點(diǎn)C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l1，l2的交點(diǎn)在第一象限內(nèi).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1、k2.直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0，求證：k1k2為定值.

解析：（1）由題設(shè)F2（），T（，0），

因?yàn)?，所以F2為OT的中點(diǎn)，即2=a2，a=.

所以橢圓方程為+y2=1.

（3）設(shè)l1 ∶ y=k1（x+1），l2 ∶ y=k2（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

則kOA+kOB=+=.

又y1=k1（x+1），y2=k1（x2+1），kOA+kOB=2k1+k1.

由方程x2+2y2=2，y=k1（x+1），得到（1+2）x2+4x+2-2=0，x1+x2=，x1x2=，

所以，kOA+kOB=2k1-=.

同理，kOC+kOD=， 所以+=0，整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，

若k1+k2=0，則l1，l2的交點(diǎn)在y軸上，不合題意，所以2k1k2+1=0，即k1k2=-為定值.

說明：（1）動線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法：

①動直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為y=kx+t，由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk，得y=k（x+m），故動直線過定點(diǎn)（-m，0）.

②動曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).

（2）求解定值問題的兩大途徑：

①由特例得出一個值（此值一般就是定值）→證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；

②先將式子用動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項抵消或分子、分母約分得定值.

預(yù)測題4.4 已知橢圓C1：+=1（a>0）與拋物線C2：y2=2ax相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合.

（1）求C1，C2的方程；

（2）若過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使得=2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合，所以=，所以a2=4. 又a>0，所以a=2.

于是橢圓C1的方程為+=1，拋物線C2的方程為y2=4x.

（2）假設(shè)存在直線l，使得=2，則

可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）.

由y2=4x，y=k（x-1），可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，則x1+x4=，x1x4=1，

所以PN=·=.

由y=k（x-1），+=1，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

則x2+x3=，x2x3=，

所以MQ=·=.

若=2，則=2×，解得k=±.

故存在斜率為k=±的直線l，使得=2.

說明：本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來設(shè)置命題，體現(xiàn)了對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查.關(guān)注知識交匯，突出綜合應(yīng)用是高考的特色.解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在；否則，元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法.

責(zé)任編輯 徐國堅