羅文軍

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程或不等式來使問題獲解. 函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)與方程的思想是要用運動和變化的觀點，分析研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，然后通過研究方程去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決. 本文通過以下具體例子來說明函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、 函數(shù)中的函數(shù)與方程思想

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識，函數(shù)的零點問題，函數(shù)的根的分布，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題中常常涉及函數(shù)與方程思想.

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點就是方程f（x）=g（x）的實根，即函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標.

例1. 設(shè)x0是方程（）x =的解，則x0所在的范圍是（ ）

A. （0， ） B. （， 1） C. （， ） D. （， ）

【解析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=（）x -，所以f（0）=（）0-= 1>0，f（）=（）-=（）-（）>0，f（）=（）-=（）-（）<0，所以由零點的存在性定理可得函數(shù) f（x）=（）x -在區(qū)間（， ）內(nèi)存在零點，故選D.

【評注】本題把求方程（）x =的解x0的范圍問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=（）x -的零點x0所在區(qū)間的問題，考查了函數(shù)與方程的思想，也考查了函數(shù)零點的存在性定理.

例2. 設(shè)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）+xf′（x）>0，則不等式>f（）的解集為____________.

【解析】因為f（x）+xf′（x）>0，所以（x·f（x））′>0，故函數(shù)y= g（x） = x·f（x）在R上是增函數(shù)，所以·f（）>f（）=·f（）， g（）=g（），所以>，即x+1≥0，x≥1 或x≤-1，x+1≥x2-1，

解得1≤x<2，故答案為[1， 2）.

【評注】本題從具體的題設(shè)背景中，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的運算法則： [f（x）·g（x）]′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），抽象出函數(shù)g（x）=xf（x），體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)解不等式，屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).

二、 圓錐曲線中的函數(shù)與方程思想

圓錐曲線中常涉及靜態(tài)問題和動態(tài)問題，靜態(tài)問題是需要根據(jù)已知條件求出點的坐標或線的方程，動態(tài)問題為在圖形變化過程中求定值、最值或定點. 運用函數(shù)與方程思想分析圓錐曲線題目，思路清晰，能很快找到解題的突破口.

例3. 已知橢圓？祝：+=1（a>b>0）經(jīng)過點E（， ），且離心率為.

（1）求橢圓？祝的方程；

（2）直線l與圓O：x2+y2=b2相切于點M，且與橢圓？祝相交于不同的兩點A，B，求 |AB| 的最大值.

【解析】（Ⅰ）由已知可得 +=1，=，解得a=2，b=1，所以橢圓？祝的方程為+y2=1.

（Ⅱ）當直線l垂直于x軸時，由直線l與圓O：x2+y2=1相切，可知直線l的方程為x=±1，易求 |AB| =.

當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由直線l與圓O：x2+y2=1相切， 得=1， 即m2=k2+1， 將y=kx+m代入+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，設(shè)A（x1， y1），B（x2， y2），則x1+x2=，x1x2=，

|AB| =|x1-x2|=

==4.

又因為m2=k2+1，

所以 |AB| =≤=2，

當且僅當|k|=，即k=±時等號成立，

綜上所述， |AB| 的最大值為2.

【評注】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用. 第（1）問和第（2）問的解答過程中，都是借助幾何圖形進行的代數(shù)運算，考查了運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).解析幾何的運算通常集“繁、長、巧”于一體，讓很多同學(xué)望而生畏. 究其原因，主要是同學(xué)們在運算長度的判斷上出了問題：不能預(yù)估選擇的解題方向會有怎樣的運算及運算長度.若在解題過程中，用函數(shù)與方程思想分析圓錐曲線大題，能思路清晰，輕快找到解題的突破口，解題時首先選擇適當?shù)牧孔鳛樽兞?，并求出變量的取值范圍，然后想辦法將所需求的量用上述變量表示，然后對函數(shù)求最值.

例4. 已知雙曲線x2-=1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則 · 的最小值為_______.

【答案】-2.

【解析】由題意可知A1（-1， 0），F(xiàn)2（2， 0），設(shè)P（x， y）（x≥1），則 =（-1-x， -y），=（2-x， -y），·=（-1-x）（2-x）+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3（x2-1）=4x2-x-5，

因為當x≥1時，函數(shù)f（x）=4x2-x-5的圖像的對稱軸為x=，

所以當x=1時，· 取得最小值-2.

【評注】本題先利用雙曲線方程得出左頂點和右焦點坐標，設(shè)出P點坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算表示·，再結(jié)合雙曲線把式子化為二次函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)當x≥1時的最小值，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

三、 數(shù)列中的函數(shù)與方程思想

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)與方程思想可以求出數(shù)列的某一項、判斷數(shù)列的單調(diào)性以及求出數(shù)列的前n項和的最值.

例5. 在等差數(shù)列{an}中，a1=-2014，其前n項和為Sn，若-=2，則S2014的值等于________.

【解析】由于是關(guān)于n的一次函數(shù)，又S1=a1=-2014，

所以（1， ），（10， ），（12， ），（2014， ）共線，

所以=，=1，解得S2014= -2014.

【評注】由于首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=na1+d=n2+（a1-）n，=n+（a1-）是關(guān)于n的一次函數(shù)，本題利用直線的斜率公式求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.

例6. 已知等差數(shù)列{an}滿足a3=-13，a7=3. 設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn，則數(shù)列S1，S2，…中哪一項最??？并求出這個最小值.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則

a1+2d=-13，a1+6d=3，解得a1=-21，d=4，

于是Sn=-21n+·4=2n2-23n=2（n-）2-，

故當n=6時，Sn取得最小值，最小值為S6=-66.

【評注】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中，共涉及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組解之. 本題先由基本量法列出方程組，解出a1和d. 由等差數(shù)列的前n項和公式Sn=na1+d可得到Sn=n2+（a1-）n，Sn是n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，本題求Sn 的最小值利用了二次函數(shù)的知識求解的.

四、 三角函數(shù)中的函數(shù)與方程的思想

三角函數(shù)是一種重要的函數(shù)，運用函數(shù)與方程的思想可以求三角函數(shù)的最值等問題.

例7. 函數(shù)f（x）=sin 2 x+cosx-，（x∈[0， ]）的最大值是_____.

【解析】f（x）=1-cos 2 x+cosx-

=-cos 2 x+cosx+

=-（cosx-）2 +1，x∈[0， ]，那么cosx∈[0， 1]，

令f（t）=-（t-）2 +1，則t∈[0， 1]，所以當t=時，即cosx=時，函數(shù)取得最大值1.

【評注】本題以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為基本函數(shù)，很據(jù)同角函數(shù)基本關(guān)系式，構(gòu)造一個新函數(shù)二次函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值問題，考查了函數(shù)與方程的思想.問題設(shè)計為求新函數(shù)的最大值，函數(shù)形式簡單，只要熟悉正弦函數(shù)與余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以將所給函數(shù)適當變形求解本問題.

例8. 已知x， y∈[-， ]，且

x5+5sinx+2m=0，16y5+5siny cosy-m=0，m∈R， 求cos（x+2y）的值.

【解析】16y5+5siny cosy-m=0可變形為（2y）5+5sin2y=2m，

構(gòu)造函數(shù)f（t）=t5+5sint，則f（t）為單調(diào)奇函數(shù)，

由已知得f（x）=-2m，f（2y）=2m，

因為f（x）+f（2y）=0，所以x+2y=0，

所以cos（x+2y）=cos0=1.

【評注】函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是函數(shù)最基本的性質(zhì).本題已知條件為三元方程組，將已知條件變形后，通過觀察兩個式子的共同特點，發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了一個新函數(shù)，由于這個函數(shù)是單調(diào)奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)奇函數(shù)的性質(zhì)，得出最終結(jié)果，本題體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，可以看出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵.

五、空間向量中的函數(shù)與方程思想

運用空間向量解決立體幾何問題可以降低思維難度，而利用空間向量求線面角、二面角、點到直線的距離都涉及平面的法向量，求平面法向量的過程求體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

例9. 已知點A（1， 2， 3），B（2， 1， 2），P（1， 1， 2），O（0， 0， 0），點Q在OP直線上運動，當 · 取得最小值時，點Q的坐標為_______.

【解析】設(shè)=？姿=（？姿， ？姿， 2？姿），故Q（？姿， ？姿， 2？姿），故=（1-？姿， 2-？姿， 3-2？姿），=（2-？姿， 1-？姿， 2-2？姿），則·=6？姿2-16？姿+10=6（？姿-）2-，

當 · 取最小值時，？姿=，此時Q點的坐標為（， ， ）.

【評注】本題考查了空間向量的坐標運算，空間向量的數(shù)乘運算和空間向量的數(shù)量積，將求 · =的最小值化歸為求二次函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

例10. 若A（0， 2， ），B（1， -1， ），P（-2， 1， ），是平面？琢內(nèi)的三點，設(shè)平面？琢的法向量=（x， y， z），則x ∶ y ∶ z=___________.

【解析】因為 =（1， -3， -），=（-2， -1， -），

又因為·=0，·=0，

所以x-3y-z=0，-2x-y-z=0，解得x=y，z=-y，所以x ∶ y ∶ z=y ∶ y ∶ （-y）=2 ∶ 3 ∶ （-4）.

【評注】本題根據(jù)法向量性質(zhì)列出方程組，再把x、z分別用y表示，再求出x ∶ y ∶ z的值.

六、不等式中的函數(shù)與方程思想

不等式恒成立問題是不等式學(xué)習(xí)中的一種重要題型.通常運用函數(shù)與方程思想，要把函數(shù)問題與恒成立問題巧妙結(jié)合起來，解題時先把參數(shù)分離，從而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.特別的對于給定區(qū)間上的不等式恒成立問題，一般可根據(jù)以下幾個步驟：

（1）整理不等式，分離參數(shù)；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）；（3）求函數(shù)g（x）在給定區(qū)間上的最大值或最小值；（4）根據(jù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù).

例11. 若關(guān)于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1， 2]上恒成立，求a的取值范圍.

【解析】由題意知a≤4x-2x+1在[1， 2]上恒成立，

令y=4x-2x+1=（2x）2-2·2x+1-1=（2x-1）2-1，

因為1≤x≤2，所以2≤2x≤4，

令t=2x，則2≤ t ≤4，y=（t-1）2-1，

當t=1時，即2x=2時，y有最小值0，

所以a的取值范圍為（-∞， 0].

【評注】恒成立問題是不等式中最常見的一類問題，分離變量后借助函數(shù)的最值進行轉(zhuǎn)化是破解這類問題的一種重要方法.本題中分離變量后，將問題化歸為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題，突出了函數(shù)與方程思想.

例12. 設(shè)a>0，b>0，（ ）

A. 若2a+2a=2b+3b，則 a>b B. 若2a+2a=2b+3b，則 a

C. 若2a-2a=2b-3b，則 a>b D. 若2a-2a=2b-3b，則 a

【解析】因為a>0，b>0，所以2a+2a=2b+3b>2b+2b，

令f（x）=2x+2x（x>0），則函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，所以a>b.

【評注】本題將等式轉(zhuǎn)化為不等式，再借助函數(shù)單調(diào)性解不等式，著力體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.

七、概率與統(tǒng)計中的函數(shù)與方程思想

概率與函數(shù)交匯命題也是概率命題的一個方向，這類題目既考查了概率的公式，也考查了函數(shù)的知識.線性回歸方程的求解過程就體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.

例13. 在[-6， 9]內(nèi)任取任取實數(shù)m，設(shè)f（x）=-x2+mx+m-，則函數(shù)f（x）的圖像與x軸有公共點的概率等于______.

【解析】若函數(shù)f（x）=-x2+mx+m-的圖像與x軸有公共點，則？駐=m2+4（m-）≥0， 又m∈[-6， 9]， 得m∈[-6， -5]或m∈[1， 9]，

故所求的概率為P ==.

【評注】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型問題，也考查了一元二次不等式的解法，考查了函數(shù)與方程的思想.

例14. 某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)；

（1） 求回歸直線方程 =bx+a，其中b=-20，a=-b；

（2） 預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）

【解析】（1）由于=（x1+x2+x3+x4+x5+x6）=8.5，

=（y1+y2+y3+y4+y5+y6）=80，

所以a=-b=80+20×8.5=250，從而回歸直線方程為=-20x+250.

（2）設(shè)工廠獲得的利潤為p元，依題意得，

p = x（-20x+250）-4（-20x+250）

=-20x2+330x-1000

=-20（x-）2+361.25，

當且僅當x=8.25時，p取得最大值，故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.

【評注】本題第（1）問利用線性回歸方程的知識可求解，體現(xiàn)了方程思想；第（2）問是求二次函數(shù)的最大值應(yīng)用問題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

責(zé)任編輯 徐國堅