梁玉 徐章韜

【摘要】平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在研究曲線性質(zhì)時(shí)，總是借助于方程對(duì)曲線的幾何要素進(jìn)行表示.曲線方程通常分為標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，在今天的教材中尤其突出“標(biāo)準(zhǔn)方程”的主干地位，不對(duì)一般方程有所討論.有鑒于此，本文將分別從語(yǔ)義、數(shù)學(xué)和教學(xué)三個(gè)角度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程進(jìn)行辨析，探討標(biāo)準(zhǔn)方程之“標(biāo)準(zhǔn)”的原因，揭示一般方程之“一般”的含義，以求厘清差別，認(rèn)識(shí)不同數(shù)學(xué)概念的獨(dú)特性;加強(qiáng)聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的統(tǒng)一性.進(jìn)一步，從教學(xué)角度對(duì)曲線方程的教學(xué)給予了改進(jìn)建議.

【關(guān)鍵詞】標(biāo)準(zhǔn)方程;一般方程;解析幾何;數(shù)學(xué)概念;幾何性質(zhì)

1 引言

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)筑數(shù)學(xué)大廈的基石，不僅不同概念間的巨大差別需要關(guān)注，相似概念中的微言要義更值得去剖析.蘇霍姆林斯基認(rèn)為教師的語(yǔ)言素養(yǎng)“在很大程度上決定著學(xué)生在課堂上的腦力勞動(dòng)的效率”，是“一種什么也代替不了的影響學(xué)生心靈的工具”[1].可見，教師課堂教學(xué)言語(yǔ)與學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果有著極為密切的關(guān)系，教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解深刻影響著其課堂語(yǔ)言行為.因此對(duì)相似概念進(jìn)行深度挖掘，厘清數(shù)學(xué)概念的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)極大地提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果.

方程是含有未知數(shù)的等式，表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式之間的相等關(guān)系，是用以簡(jiǎn)化描述現(xiàn)實(shí)世界復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的有力工具.在數(shù)學(xué)史的長(zhǎng)河中，代數(shù)學(xué)從修辭代數(shù)發(fā)展到縮略代數(shù)、再到如今成熟完備的符號(hào)代數(shù)，方程便是代數(shù)學(xué)研究的中心問(wèn)題之一，可以說(shuō)，方程與代數(shù)學(xué)是相伴而生的，對(duì)方程的研究也是人們擴(kuò)張數(shù)域的重要?jiǎng)恿σ蛩?方程作為初等數(shù)論代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，在基礎(chǔ)教育階段貫穿始終：小學(xué)階段安排用字母表示數(shù)、簡(jiǎn)單的一元一次方程及其運(yùn)用等知識(shí);初中階段則遞進(jìn)呈現(xiàn)一元一次方程、二元一次方程組和一元二次方程及其運(yùn)用;高中階段進(jìn)一步向抽象化發(fā)展，介紹圓錐曲線的方程——二元二次方程.17世紀(jì)解析幾何的誕生使幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)，曲線方程的形式也開始多樣化，通常情況下分為標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.但隨著時(shí)代的發(fā)展，曲線方程的形式趨于單一，尤其在今天的高中教材中突出“標(biāo)準(zhǔn)方程”的主干地位，對(duì)一般的二次方程及其曲線不做討論.試想標(biāo)準(zhǔn)方程為何“標(biāo)準(zhǔn)”？一般方程又何以“一般”？?jī)勺种钭屗鼈兿嗷^(qū)別又聯(lián)系緊密，是利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)與歸宿地.下面將從普適的語(yǔ)義、獨(dú)特的數(shù)學(xué)意義以及教學(xué)中的側(cè)重三方面對(duì)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程兩個(gè)概念進(jìn)行辨析，挖掘隱藏于字面背后的深刻內(nèi)涵.

2 辨析

2.1語(yǔ)義上的辨析

“標(biāo)準(zhǔn)”一詞在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》有兩種解釋：①衡量事物的準(zhǔn)則：技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)|實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).②本身合于準(zhǔn)則，可供同類事物比較核對(duì)的事物：標(biāo)準(zhǔn)音|標(biāo)準(zhǔn)時(shí).“一般”一詞在詞典中釋義如下：①一樣;同樣：別和他一般見識(shí).②數(shù)量詞.一種：別有一般滋味.③普通;通常：一般性|一般化|一般情況.④哲學(xué)名詞：指一切事物，或者許多個(gè)別事物所屬的一類事物，亦指事物的共性[2].

從詞典的語(yǔ)義學(xué)解釋中得知，標(biāo)準(zhǔn)方程意為衡量同類曲線其他方程形式的準(zhǔn)則，其本身合乎準(zhǔn)則，易于凸顯曲線的優(yōu)良結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，可供同類曲線方程進(jìn)行比較與核對(duì)，向之看齊.例如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程本身易于凸顯曲線的基本幾何要素，反映曲線的某種性質(zhì)，可作為曲線其他形式方程朝之轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)則.而一般方程強(qiáng)調(diào)不同方程之間的共性，把曲線方程按照某種特征聚類合并，數(shù)學(xué)上通常以方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)為依據(jù)將方程歸類.例如一切直線方程都可看成是二元一次方程，因此二元一次方程就是直線方程的一般形式;一切圓錐曲線方程都可表示為二元二次方程，因此二元二次方程就是圓錐曲線方程的一般形式.2.2數(shù)學(xué)上的辨析

辨析標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之關(guān)系，從直線方程說(shuō)起.直線是解析幾何研究的第一個(gè)曲線，也是最簡(jiǎn)單的曲線.直線方程形式眾多、各具特色，有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式等，不由思考：直線為什么沒有“標(biāo)準(zhǔn)方程”呢？究其原因，可從直線方程的建立過(guò)程得知.確定直線的條件是直線上一點(diǎn)和直線的傾斜角或者是直線上的不同兩點(diǎn).直線方程的點(diǎn)斜式正是從“直線的傾斜角和一定點(diǎn)”來(lái)刻畫直線方程，斜截式則在此基礎(chǔ)上將“定點(diǎn)”特殊化為直線與y軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)式是從直線的性質(zhì)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)刻畫直線方程，截距式則將“兩點(diǎn)”特殊化為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).我們知道，解析幾何的思想是借助于坐標(biāo)系將圖形中的幾何要素用坐標(biāo)和方程表示出來(lái)，運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行研究從而解決幾何問(wèn)題.規(guī)定“標(biāo)準(zhǔn)方程”的意義就在于其能反映曲線的幾何要素、方便研究曲線性質(zhì).而點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式四種形式正是基于這一思想精髓，從確定直線的幾何要素入手建立直線方程，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷、快速、準(zhǔn)確刻畫直線的結(jié)構(gòu)、描述直線性質(zhì)的目的.因此，從某種程度上可以說(shuō)這四種形式都是直線的“標(biāo)準(zhǔn)方程”，它們的名稱本就彰顯了其幾何意義.

但是，為了彌補(bǔ)四種形式方程刻畫直線的局限性（不能表示垂直x軸的直線），直線的一般方程順應(yīng)而生，一般方程可表示任意位置的直線，實(shí)現(xiàn)了直線方程大一統(tǒng)的局面，然而此長(zhǎng)彼消，一般方程偏重“數(shù)”的統(tǒng)一卻難以突出直線“形”的本質(zhì).

從上述分析中不難發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)方程之“標(biāo)準(zhǔn)”，首先在于其“標(biāo)準(zhǔn)位置”.圖形中的幾何量和幾何關(guān)系是圖形的固有特征，解析幾何是通過(guò)建立坐標(biāo)系將圖形與方程聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，而這些性質(zhì)都是與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)的，也就是坐標(biāo)變換下的不變量.既然如此，在何處建系才能達(dá)到簡(jiǎn)捷、快速、準(zhǔn)確描述圖形幾何性質(zhì)的目的呢？這就引出了“標(biāo)準(zhǔn)位置”一說(shuō).眾所周知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中圓心可以不是原點(diǎn)，而橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程卻要在原點(diǎn)處討論，為何不把圓心在原點(diǎn)的圓的方程叫做標(biāo)準(zhǔn)方程？其一從圓的幾何性質(zhì)來(lái)看，圓擁有極其完美的對(duì)稱性，不僅是軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形，更是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.圓圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后位置和形狀都不發(fā)生改變，即具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此圓的方程在旋轉(zhuǎn)變換下不變，只在平移變換下改變，平面直角坐標(biāo)系中任意位置的圓都可看成是由圓心在原點(diǎn)、半徑相同的圓平移得到，由于學(xué)生已經(jīng)對(duì)平移的概念和相應(yīng)坐標(biāo)變化很熟悉，這樣一來(lái)，無(wú)需將“標(biāo)準(zhǔn)位置”規(guī)定在原點(diǎn)，圓的完美對(duì)稱性使得平面上任意位置都可以成為圓的“標(biāo)準(zhǔn)位置”;其二從圓的方程建立過(guò)程來(lái)看，確定一個(gè)圓的基本要素是圓心和半徑，圓上任一點(diǎn)到圓心距離都等于半徑，基于此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是由平面上兩點(diǎn)之間距離公式推導(dǎo)出來(lái)的，既然平面上兩點(diǎn)的位置是任意的（并未規(guī)定其中一點(diǎn)必須在原點(diǎn)），那么圓心的位置和圓上一點(diǎn)的位置也應(yīng)該是任意的（圓心位置可以不在原點(diǎn)），也就解釋了為何圓的“標(biāo)準(zhǔn)位置”不設(shè)在原點(diǎn)處;其三從數(shù)學(xué)發(fā)展的需要來(lái)看，現(xiàn)實(shí)世界復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與空間形式無(wú)處不在——奧運(yùn)五環(huán)、自行車的前后輪、堆放的雪人、日全食的原理等，使得數(shù)學(xué)對(duì)圓的研究從“單個(gè)”走向“多個(gè)”.為定量研究?jī)蓤A或者多圓之間更為復(fù)雜的相離（外離、內(nèi)含）、相切（外切、內(nèi)切）與相交的位置關(guān)系，不得不考察圓在各種不同位置時(shí)方程，因此圓的“標(biāo)準(zhǔn)位置”不能局限在原點(diǎn).相較圓而言，橢圓、雙曲線、拋物線圖形情況更為復(fù)雜，盡管它們也具有某種對(duì)稱性——軸對(duì)稱或者中心對(duì)稱，但沒有達(dá)到像圓那樣完美的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱.例如將橢圓等繞中心旋轉(zhuǎn)某一角度后圖形的方向發(fā)生變化，曲線的方程也相應(yīng)改變，甚至可能出現(xiàn)xy項(xiàng)，因此橢圓等方程在旋轉(zhuǎn)變換和平移變換下都發(fā)生改變，對(duì)圖形研究起來(lái)也更加繁瑣.鑒于橢圓等圖形的形狀和方向各式各樣，要想通過(guò)解析的觀點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)捷、快速、準(zhǔn)確地研究其幾何性質(zhì)，必須固定中心、固定方向，將橢圓等的“標(biāo)準(zhǔn)位置”規(guī)定在原點(diǎn)、對(duì)稱軸規(guī)定在坐標(biāo)軸上，以達(dá)到從簡(jiǎn)入手、分散難點(diǎn)的目的.

圓錐曲線的一般方程是形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程，它是一個(gè)二元二次方程，從位置上講，它可以表示在任意位置處的圓錐曲線;從形式上講，它可以表示不同類別的圓錐曲線.一般方程將不同種類、不同位置的圓錐曲線方程統(tǒng)一化，實(shí)際上是在對(duì)個(gè)性研究的基礎(chǔ)上概括出圓錐曲線方程的共性，滲透了從特殊到一般的歸納思想.盡管一般方程從“數(shù)”的角度實(shí)現(xiàn)了圓錐曲線方程的歸一，但從中很難直接判斷曲線的種類，更不能體現(xiàn)圖形中具體的圓心、半徑、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、長(zhǎng)軸短軸和實(shí)軸虛軸等基本幾何要素，在“以形助數(shù)，讓數(shù)顯形”方面略顯不足，重形式上的統(tǒng)一性而輕“形數(shù)結(jié)合”的連貫性.

2.3教學(xué)上的辨析

2.3.1從教材編排來(lái)看

標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程作為解析幾何的核心知識(shí)，在人教A版高中教材中分兩部分進(jìn)行介紹：必修2中直線與方程、圓與方程;選修1-1/2-1中圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）與方程.

從縱向聯(lián)系看，教材是以坐標(biāo)法為紐帶，依照“直線與方程——圓與方程——圓錐曲線與方程”為順序，循序漸進(jìn)、螺旋上升地展開內(nèi)容[4].直線與方程作為解析幾何的開端，在教材中給予了濃墨重彩的一筆，從直線的五種形式和不同形式直線方程間的互化可窺探得知.繼直線方程后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)確定圓的幾何要素建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而后通過(guò)特殊的二元二次方程表示圓的形式與條件揭示圓的一般方程，滲透分類討論思想.有了必修2的基礎(chǔ)知識(shí)作為腳手架，選修1-1/2-1順利引入解析幾何的重點(diǎn)部分——橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考慮到圓與橢圓的密切關(guān)系，圓的方程可以作為橢圓方程的特例，而雙曲線方程與橢圓方程是符號(hào)之差，拋物線方程與其他方程形式有所不同但性質(zhì)又緊密聯(lián)系，因此采取這一順序進(jìn)行介紹是合理的.但是，選修教材對(duì)橢圓等圓錐曲線方程的推導(dǎo)都是通過(guò)二次平分法求得其標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究它們的幾何性質(zhì)，突出“標(biāo)準(zhǔn)方程”的壓倒性優(yōu)勢(shì)地位，缺少對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一方程的討論，這一點(diǎn)值得考量.

從橫向聯(lián)系看，標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程反映的是不同曲線的個(gè)性與共性問(wèn)題.從個(gè)性出發(fā)，有利于對(duì)相應(yīng)曲線的性質(zhì)進(jìn)行全面研究（范圍、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率、漸近線與準(zhǔn)線等）;在對(duì)個(gè)性研究的基礎(chǔ)上再歸納概括出共性，可以達(dá)到更進(jìn)一步高水平的認(rèn)識(shí)[5].必修2在編排過(guò)程中很好的體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間一脈相承相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，使得圓的方程的教學(xué)完整恰當(dāng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程到一般方程的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想;一般方程到標(biāo)準(zhǔn)方程的回溯，足見從一般到特殊的演繹思維.但在選修教材中圓錐曲線的方程卻局限于標(biāo)準(zhǔn)方程一種形式，過(guò)于偏重不同圓錐曲線的“個(gè)性”而輕視“共性”，不利于學(xué)生思想認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步提高與升華.2.3.2從教育心理來(lái)看

從教育心理學(xué)角度來(lái)看，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生在教師的指導(dǎo)下把教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為個(gè)性化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).教學(xué)要把握好學(xué)生的實(shí)際情況，從促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展角度出發(fā)，幫助學(xué)生搭建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，打好基礎(chǔ)才能有更大的發(fā)展余地，然而學(xué)習(xí)不能僅留于此，“打胚璞”后還需“加光飾”，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐漸由低水平向高水平進(jìn)化，達(dá)到前后銜接、完整連續(xù)，使之具有不斷吸收新數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和知識(shí)的自我生成能力[6].

在橢圓、雙曲線等圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)之后，學(xué)生頭腦中對(duì)圓錐曲線方程的認(rèn)識(shí)只是一個(gè)個(gè)相互孤立的知識(shí)點(diǎn)，尚未形成完整的知識(shí)鏈和知識(shí)體，難以將前后知識(shí)結(jié)合起來(lái)融會(huì)貫通，甚至還可能思維定勢(shì)式地認(rèn)為圓錐曲線的方程只有標(biāo)準(zhǔn)方程一種形式.盡管學(xué)習(xí)過(guò)圓的一般方程，但其僅是二次方程的特殊形式，學(xué)生從主觀上很難建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，不利于學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立.基于這一點(diǎn)，在學(xué)習(xí)了所有圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后應(yīng)作適當(dāng)總結(jié)，把圓錐曲線方程統(tǒng)一起來(lái)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)加深，這樣一來(lái)學(xué)生頭腦中圓錐曲線方程的大廈就完整建立起來(lái)了.

基于上述教材編排和教育心理的兩點(diǎn)分析，為使學(xué)生對(duì)圓錐曲線與方程有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)方面可從以下著手進(jìn)行改進(jìn)：其一，將圓錐曲線方程的發(fā)展史融入教學(xué).根據(jù)認(rèn)知的歷史相似性原理，個(gè)體的認(rèn)知過(guò)程折射出歷史上人類認(rèn)識(shí)的發(fā)生過(guò)程，盡管圓錐曲線方程的歷史是一個(gè)十分細(xì)微的課題，但其中蘊(yùn)含著豐富的教育價(jià)值.在教學(xué)中適切融入其發(fā)展史，可以幫助學(xué)生明晰圓錐曲線方程發(fā)展的來(lái)龍去脈，體會(huì)從圓錐曲線及其性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)到標(biāo)準(zhǔn)方程的確立是漫長(zhǎng)而艱辛的過(guò)程，也反映著解析幾何的發(fā)展軌跡，從宏觀上把握知識(shí)脈絡(luò)，可以促進(jìn)知識(shí)的深度理解和系統(tǒng)生成，拓寬學(xué)生的思維;同時(shí)將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)學(xué)科新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的人文情懷，用歷史回顧與重構(gòu)點(diǎn)綴單調(diào)的問(wèn)題求解與幾何證明，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，喚醒學(xué)生的情意系統(tǒng)，進(jìn)而落實(shí)三維目標(biāo)中的情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo);其二，重視圓錐曲線的統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程.從教學(xué)角度來(lái)看，鑒于學(xué)生還未接觸過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，圓錐曲線的一般方程中xy項(xiàng)處理起來(lái)就會(huì)十分棘手，因此這里討論統(tǒng)一方程會(huì)更有意義.數(shù)學(xué)學(xué)科新課程標(biāo)準(zhǔn)降低了對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程的要求，教材僅將其作為課后閱讀材料介紹，不作為基本的教學(xué)安排，但統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程是圓錐曲線與方程十分經(jīng)典的內(nèi)容，其重要性不容小覷.離心率作為圓錐曲線與方程部分新引入的概念，不僅是描述圓錐曲線扁平程度的幾何量，更是將圓錐曲線方程統(tǒng)一起來(lái)的紐帶，只有學(xué)習(xí)了統(tǒng)一定義，才能真正理解離心率的意義.因此，無(wú)論是從離心率的引入意義來(lái)看，還是從促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展角度出發(fā)，統(tǒng)一定義和統(tǒng)一方程都是十分重要的.建議在圓錐曲線的個(gè)性定義和標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)之后，介紹統(tǒng)一定義，以離心率e為中介建立圓錐曲線統(tǒng)一方程（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，分析e的不同取值下的具體情況，體味離心率的幾何意義及其與圓錐曲線之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知思維從低水平向高水平進(jìn)一步發(fā)展，這樣一方面符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受能力，另一方面也體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的前后連貫性、科學(xué)性和系統(tǒng)性.

3 結(jié)語(yǔ)

圓錐曲線方程形式多樣，各有特點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)方程凝結(jié)著“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，盡顯數(shù)學(xué)之美，為初學(xué)者學(xué)習(xí)解析幾何搭建了明晰直觀的橋梁，使得學(xué)習(xí)能夠省心省力、進(jìn)入佳境;一般方程萬(wàn)變歸宗，從代數(shù)的角度凸顯圓錐曲線方程的本質(zhì)特征，將形形色色的標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一于二元二次方程的形式，幫助學(xué)習(xí)者搭建了連續(xù)而系統(tǒng)的優(yōu)良認(rèn)知結(jié)構(gòu).教學(xué)中還需仔細(xì)斟酌數(shù)學(xué)用詞，把握隱含于數(shù)學(xué)“微言”背后的“要義”，厘清差別，認(rèn)識(shí)不同數(shù)學(xué)概念的獨(dú)特性;加強(qiáng)聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的整體性.讓智慧之光在概念的準(zhǔn)確定位中閃爍，讓精彩的課堂在概念的清晰引領(lǐng)下升華！

參考文獻(xiàn)

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