胡晉賓 凌曉牧

【摘要】《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出主題設計理念，倡導借助核心和關鍵知識貫通課程和教學，凸顯全局性與關聯(lián)性，規(guī)避碎片化與孤立化等.以人教B版高中數(shù)學教材中的作差和作商為主線案例研究發(fā)現(xiàn)，主題設計理念既有重要教育價值，也會存在教學操作困難.

【關鍵詞】主題設計;作差;作商;高中數(shù)學教材

1 研究緣起：課標中的主線、主題理念

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了課程設計的4條主線，即函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動.在教學實施部分，又倡導整體視角下把握課程內容并進行教學設計等理念，并在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀》中提出了“主線—主題—核心內容”的一貫思想[1].其中的主題和核心內容是比上述主線低一級的“主線”，它們均不再局限于一個課時，而將視野拓寬到單元、章節(jié)或主題.具體到主題而言，常是由教師根據(jù)教學需要來設計，產生路徑主要有3種：①以重要概念或知識為主線組織的知識類主題;②以數(shù)學思想方法為主線組織的方法類主題;③以數(shù)學學科核心素養(yǎng)、基本能力為主線組織的素養(yǎng)類主題.

提出“主線—主題—核心內容”理念的出發(fā)點是，希望聚焦數(shù)學中的核心和關鍵知識、能力、素養(yǎng)，防止知識碎片化、孤立化、離散化，寄希望于從全局性、高觀點和關聯(lián)性視野來看數(shù)學學習和教學.雖然有關主線的觀點學界多有倡導，但是有關的主題和核心內容的案例研究并不多見 （課標解讀中給出了函數(shù)單調性的主題教學設計建議）.以下結合研讀人教B版教材[2]（以下簡稱教材）中差商主題的處理，談談主題教材的編寫設計以及對教學實踐的啟迪.2 主題簡介：作為數(shù)學主題的差商（作差與作商）

本文中的差商是指，兩個量作差和作商.眾所周知，數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，而形式的差異和數(shù)量的比較是數(shù)學的重要內容.在比的思想的數(shù)量化方面，最為常見的手段也就是作差和作商.由于數(shù)和形的內在一致性，因此數(shù)量的差異又往往能夠解釋形狀的變化，反過來形狀的改變也會導致數(shù)量的變更，這樣的互動關系體現(xiàn)出數(shù)學知識的本質性、統(tǒng)一性與和諧性.

差商雖然是一個并不復雜的概念，但是卻能作為節(jié)點串聯(lián)起數(shù)學教育中的眾多知識.在小學和初中，差商主要表現(xiàn)為作差和作商，比如小學中的商和分數(shù)、比例等，初中的正反比例函數(shù)、列方程和不等式.而在高中，差商涉及函數(shù)（包括三角函數(shù)）、解析幾何、統(tǒng)計概率、數(shù)列和導數(shù)等相關知識.差商具有基礎性、聯(lián)系性和應用性等課程主題的典型特征.（正因如此，關于比率算法與比例的理論成為《九章算術》中討論最為詳細、應用最為廣泛的基礎，提綱挈領地貫通全書）3 案例呈現(xiàn)：人教B版教材中的差商主題設計

4 啟迪反思：主題設計的課程與教學考察

通過上述梳理，我們明確了人教B版利用差商思想，來貫穿單調性、斜率、導數(shù)等內容編寫的良苦用心.這啟迪我們，教師在教學時需要整體上把握教材，抓住數(shù)學中的核心知識，凸顯數(shù)學主線的教學引領，加強數(shù)學教學的知識貫通.除此之外，還有以下幾點需要注意.

4.1從理論研究來看，主題設計具有重要的教育價值

學術界有一些以大觀念、核心概念為題名的研究，這和上述主線、主題的思想是一致的.以大觀念（big idea）為例，它是指在某一學科中居于重要地位，對學科其他內容更具統(tǒng)攝力、關聯(lián)性、聚焦性的概念.研究表明，專業(yè)領域的知識結構主要是圍繞核心概念或“大觀點”組織的、用圖式表征的大塊知識單元構成，它們在解決復雜問題和促成遷移方面起了重要作用[3].大觀念的益處是：“大概念（大觀念）應當能夠貫穿于整個數(shù)學課程，應當是最重要、最核心、最具統(tǒng)整性的數(shù)學;應當和其他知識點具有充分的聯(lián)系;應當體現(xiàn)出數(shù)學的本質特點;應當為后續(xù)更高層次的學習提供必要的基礎”[1].國外的相關研究也揭示，強調具有基礎性、本質性、聯(lián)系性和應用性等特點的核心概念（知識），能夠突出對數(shù)學本質的理解[4].

4.2從課程教材角度來看，主題設計是一種課程統(tǒng)整

“在課程統(tǒng)整中，計劃始于一中心主題，然后借由確認與此一主題或活動相關的大觀念或概念，展開課程的計劃”[5].從本質來看，大觀念、數(shù)學主線是對當下多元化課程離散式分裂的一種回歸式期盼，也是對數(shù)學學科知識發(fā)展統(tǒng)一性理解的一種強調式整合.歷史上最為典型并且影響至今的“大觀點”，莫過于F·克萊因倡導的“以函數(shù)為綱”了.除此以外，比較有影響的觀點還有：尤金斯認為存在有“整數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復數(shù)和向量”等9條中學數(shù)學課程主線[6]，王尚志等提出的數(shù)學課程有函數(shù)、幾何、運算、算法、統(tǒng)計概率與數(shù)學應用這樣6條主線[7]，等等.這對課程設計和教材編寫的啟迪是，需要高度重視數(shù)學知識內部的聯(lián)系，努力尋求數(shù)學知識本身的節(jié)點，將這些節(jié)點凸顯出來，作為鏈接知識的紐帶和線索，使得核心知識在知識組織的前后貫通方面，起到承前啟后、循環(huán)上升的目的.數(shù)學課程大主線就如同高速公路和航空線路，而小主線就如同省級公路和縣鄉(xiāng)小道.如果在編寫教材時，大主線縱橫捭闔，小主線犬牙交錯，那么最后教材就會形成一個涇渭分明而又鉚合有力的豐富網(wǎng)絡，從而保證數(shù)學學習在循環(huán)上升中不斷累積提升.在呈現(xiàn)教材時，對于不同的學科分支知識，不應該條塊分割“老死不相往來”，而應該隨時隨地加強聯(lián)系和呼應，避免知識學習孤立化和碎片化.

4.3從數(shù)學教學上來看，主題設計會存在諸多困難教師的確應該從整體和宏觀上進行課程和教材理解，跳出微觀視野進行教學設計實踐，引導學生打通前后知識，揭示數(shù)學思想，提升核心素養(yǎng).同時我們也應認識到，雖然主題、主線的理念能夠體現(xiàn)數(shù)學學科的某些特點并且具有較好的教育價值，但是受制于素養(yǎng)發(fā)展的長期性、曲折性，評價與測量的艱難性，教師教學駕馭的復雜性，以及主線涉及內容的分散性，教學落實將會存在諸多問題，遭遇不少挑戰(zhàn).

4.4從主題分類來看，主題設計應該包含數(shù)學觀念滲透如果說主題有知識、方法和素養(yǎng)層面的區(qū)分的話[1]，那么我們認為還缺少一個主題，那就是數(shù)學觀念層面.從主題課程和教學設計的立場來看，這會改變學生和教師的數(shù)學觀，也就是說，主題和主線思想體現(xiàn)和反映出來不同的數(shù)學觀——知識是不斷發(fā)展的，前后聯(lián)系的，經驗與擬經驗的，甚至是可誤的，層層鋪墊和循環(huán)上升的，等等.這些在課程和教學中的恰當?shù)胤?，都應該有所滲透和揭示.

參考文獻

[1]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018：175;53;256.

[2]高存明.普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書 高中數(shù)學（人教B版必修1～選修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[3]鐘啟泉.課程論[M].北京：教育科學出版社，2011：197.

[4]Anon.An Overview of Materials Adaptations（Vo1.1）[R]//E.J.Kameenui & D.C.Simmons.Toward Successful Inclusion of Students with Disabilities：The Architecture of Instruction.Reston，VA：Council for Exceptional Children，1999.

[5]James A. Beane.課程統(tǒng)整[M].單文經等譯.上海：華東師范大學出版社，2003：15.

[6]魯小莉.中學數(shù)學課程發(fā)展的九條主線[J].數(shù)學教學，2010（9）.

[7]王尚志，張思明.走進高中數(shù)學新課程[M].上海：華東師范大學出版社，2008：12.