付凱麗，曹進軍

素養(yǎng)是世界各國教育理論研究和課程變革的中心。美國的核心素養(yǎng)體系即“21世紀能力框架”，是由教育部門同蘋果、思科等企業(yè)和民間教育機構(gòu)共同研制，以就業(yè)市場需求為導(dǎo)向，研制路徑針對青年人提煉出獲得職場成功的必須技能，并推廣至各階段的教育，具有務(wù)實的特點。[1]2012年的“州共同核心標準”，為美國各州提供了統(tǒng)一的課程標準。在這兩者的基礎(chǔ)上，各州的教材和課程開發(fā)與實施就是一個將“21世紀能力框架”所設(shè)定的目標映射到課程標準的過程。[2]

在美國，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅是STEM教育的基礎(chǔ)，其應(yīng)用也涉及到各種非STEM領(lǐng)域，如社會科學(xué)、金融、物流和風險分析。與核心素養(yǎng)體系的務(wù)實特點相對應(yīng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)也具有鮮明的實用主義色彩，無論是國家政策文件還是學(xué)術(shù)研究文獻，都在強調(diào)一個中心思想：為未來工作和生活做準備。

一、數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容和目標

(一)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容

對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)要落實到數(shù)學(xué)教學(xué)中。美國的素養(yǎng)教育強調(diào)為學(xué)生未來的生活和工作做好準備，那么在進行數(shù)學(xué)教育時，就必須考慮到現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)特點?，F(xiàn)實中，計算機幾乎承擔了所有的數(shù)學(xué)運算，但這并不意味著不再需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的是學(xué)習(xí)什么樣的數(shù)學(xué)。

Wolfram通過分析現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)內(nèi)容回答了這個問題。他認為，現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)主要涉及以下步驟：第一，認識到數(shù)學(xué)的適用性；第二，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第三，解決數(shù)學(xué)問題；第四，解釋和評估結(jié)果。他指出，目前的數(shù)學(xué)教育解決的都是第三個步驟，即單純解決數(shù)學(xué)問題，但這也正是計算機在日益實施的一步！[3]因此，學(xué)校的數(shù)學(xué)教育必須將注意力轉(zhuǎn)向其他三個步驟。

(二)數(shù)學(xué)教育的目標

數(shù)學(xué)教育的目標即數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為學(xué)生參與未來社會做什么樣的準備。KoenoGravemeijer在研究中結(jié)合前人的研究成果對數(shù)字化時代數(shù)學(xué)教育的主要目標進行了總結(jié)，這些教育目標既是對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體化，也充分體現(xiàn)了美國素養(yǎng)教育的實用主義精神。[4]第一，必須把21世紀技能作為未來數(shù)學(xué)教育的目標。第二，數(shù)學(xué)教育必須為未來的職場工作做好準備。即在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用類似于真實工作場所問題的任務(wù)，教授有用的數(shù)學(xué)；將建模和應(yīng)用作為數(shù)學(xué)教育的目標。第三，理解計算機工作的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這里指的是概念上的理解，即學(xué)生們必須認真對待相關(guān)數(shù)學(xué)的基本思想。第四，做到上述目標需要在教師職業(yè)化、課程設(shè)計和考試設(shè)計方面付出重大的努力。第五，數(shù)學(xué)教育必須為各種層次和類型的工作奠定基礎(chǔ)，重點必須放在基礎(chǔ)教育上。第六，為日常生活中的數(shù)學(xué)做好準備:目標是使公民在日常生活中處理好數(shù)學(xué)，更加積極自信,并且培養(yǎng)21世紀重要技能之一：批判性思維。第七，除了對數(shù)學(xué)實際意義的關(guān)注外，也不應(yīng)該忽視為進一步教育做準備的重要性。

Wolfram提到的第一個、第二個和最后一個步驟，以及KoenoGravemeijer所強調(diào)的為未來工作和生活做準備的目標，在實際教學(xué)中可以通過情境教學(xué)和建模應(yīng)用來實現(xiàn)，這也是美國數(shù)學(xué)教育非常重視的方面。在數(shù)學(xué)課堂中引入情境任務(wù)的動機有二：第一，熟悉的環(huán)境有可能使學(xué)生通過日常知識和經(jīng)驗提出可能的解決策略，從而更快融入復(fù)雜的任務(wù)和數(shù)學(xué)概念；第二，情境任務(wù)也被假設(shè)可以培養(yǎng)學(xué)生的興趣、提高學(xué)生參與和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

二、美國情境任務(wù)的歷史發(fā)展

情境任務(wù)即包含任何現(xiàn)實或虛構(gòu)的非數(shù)學(xué)場景的任務(wù)——從傳統(tǒng)的故事問題到更開放的建模任務(wù)。情境任務(wù)在學(xué)校數(shù)學(xué)中無處不在，傳統(tǒng)的情境任務(wù)以故事類型為主，例如，“火車在4點鐘離開車站，每小時行駛50英里，8點時行駛了多遠？”但這種性質(zhì)的問題的價值一直備受質(zhì)疑。近年來，美國數(shù)學(xué)教育界越來越關(guān)注數(shù)學(xué)建模和有更復(fù)雜的故事情節(jié)或場景的問題，這些比傳統(tǒng)的故事問題能更準確地反映學(xué)生的日常生活。

情境任務(wù)是美國數(shù)學(xué)教育中長期存在的一部分。從早期的美國數(shù)學(xué)教育開始，教科書就包含了情境和非情境任務(wù)，反映了學(xué)校數(shù)學(xué)服務(wù)的雙重目的：“推理能力的培養(yǎng)”和“解決日常問題的工具”。任務(wù)類型之間的相對平衡隨著工業(yè)化和移民等社會變化以及數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的信念轉(zhuǎn)變而變化。例如，在20世紀50年代到70年代的新數(shù)學(xué)時代，學(xué)校數(shù)學(xué)完全脫離了情境問題，而緊接著的回歸運動則重新強調(diào)了我們現(xiàn)在所認為的“經(jīng)典”或傳統(tǒng)的故事型問題。但這些問題通常不太真實，沒有判斷的常規(guī)應(yīng)用程序或任何高層次的思維技能。

為解決這個問題，在過去的二十年里，由國家科學(xué)基金會(NSF)和NCTM的標準文件推動的改革運動要求教學(xué)中更多地使用更為復(fù)雜和現(xiàn)實的場景，以突出數(shù)學(xué)的任務(wù)和實踐。之后，州共同核心標準將數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)實踐的標準，主要是為學(xué)生提供利用數(shù)學(xué)解決日常、社會和工作問題的機會。建模任務(wù)從非數(shù)學(xué)場景開始，需要數(shù)學(xué)來簡化和構(gòu)建場景，以便解決問題。這些任務(wù)往往比傳統(tǒng)的故事問題更復(fù)雜，但算法更少，可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容的舞臺。

為了更好地支持情境教學(xué)，課程開發(fā)人員和研究人員也把重點從傳統(tǒng)的故事問題轉(zhuǎn)向更復(fù)雜的建模任務(wù)，并把這些任務(wù)置于課堂活動的中心。這些課程和項目有多種形式。一種是由NSF資助、基于NCTM標準文件的全國課程，如聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)項目(Connected Mathematics Project)以及情境數(shù)學(xué)(Mathematics in Context),另一種不太常見但值得注意的是教師自己利用學(xué)生的知識基礎(chǔ)創(chuàng)建的情境任務(wù)。[5]

三、圍繞情境進行課堂交互的方式

真實性是情境任務(wù)的一個重要特征，影響了學(xué)生如何使用日常知識和經(jīng)驗來解決問題，真實可信的情境可以支持學(xué)生在解決問題時有效利用現(xiàn)實世界的考慮因素。然而，教科書中的情境任務(wù)很少能完全反映日常情景，這就需要教師在課堂討論中通過互動對情境進行適當?shù)脑黾踊蛘{(diào)整，并根據(jù)學(xué)生之前的知識和經(jīng)驗，使這些情境更適合學(xué)生群體。可以說，課堂互動是成功實施情境任務(wù)的重要環(huán)節(jié)，而教師在圍繞情境任務(wù)的課堂互動中起著非常重要的作用：教師引入任務(wù)的方式?jīng)Q定了學(xué)生是否接受用情境任務(wù)來完成數(shù)學(xué)練習(xí)，教師與情境之間的互動也影響了學(xué)生在課堂上利用個人知識和經(jīng)驗的程度。

(一)圍繞情境的課堂交互方式

鑒于課堂互動的重要性，Jamie L.W.Wernet[5]通過觀察三個八年級班級的CMP課程的課堂討論，調(diào)查了教師和學(xué)生圍繞書面問題情境進行交互的具體方式。CMP課程即上文提到的聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)項目，它是一個以問題為中心的課程，強調(diào)建模作為日常課程的核心活動。對CMP有效性的研究表明，CMP課堂中的學(xué)生在諸如建模和論證等實際問題解決方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)課堂上的學(xué)生。該研究總結(jié)了五大類圍繞情境任務(wù)進行交互的具體方式，即定位、明晰化、詳細闡述、參照、評價。

1.定位

即將自己或他人置身于情境問題的背景當中。定位是對教科書任務(wù)的小改編，有助于學(xué)生更輕松地融入書面情境。如，教師可以邀請學(xué)生分享與情境問題相關(guān)的個人故事，或通過提問與情境相關(guān)的解釋來定位自己和他人，如“我做投資的時候，主要考慮……”，“如果你是一個商人，怎樣做到利潤最大化”等話語。在課堂上通過使用像“你們”、“我”這樣的語言，可以吸引學(xué)生關(guān)注情境問題。同時，定位也傳達了一個信息，即數(shù)學(xué)可以成為解決日常問題的工具。

2.明晰化

明晰化需要在課堂上對書面情境任務(wù)的某些方面進行解釋，旨在更好地幫助學(xué)生理解語境中不熟悉或不清楚的方面，同時對情境任務(wù)中的術(shù)語或情形進行詳細解釋或定義。如，在討論學(xué)生利用閱讀馬拉松募集資金的案例中，學(xué)生問到：“這本書有多少頁？”，教師則解釋說書的頁數(shù)與籌措資金無關(guān)，無需關(guān)注，通過互動使學(xué)生更加了解閱讀馬拉松(閱讀馬拉松的目的是激勵學(xué)生閱讀，通常會規(guī)定每日閱讀時長和閱讀天數(shù)，每閱讀一日即可獲得當日的捐款，閱讀馬拉松的資金募集與所讀圖書的頁數(shù)無關(guān))。

3.詳細闡述

詳細闡述可以通過增加情境問題的細節(jié)、闡述情境問題的背景、或創(chuàng)造類似的新情境來對當前的書面情境任務(wù)進行詳細闡述。詳細闡述像定位一樣，能將學(xué)生帶入語境環(huán)境，使問題語境在數(shù)學(xué)課堂討論中變得更加重要。關(guān)于詳細闡述的案例見下文。

4.參照

參照即在理解數(shù)學(xué)表達式或數(shù)學(xué)任務(wù)時進行情境參照。參照主要包括兩個方面：一是直接使用情境任務(wù)中的語言來解釋數(shù)學(xué)表達，不額外增加細節(jié)或解釋。例如，將數(shù)學(xué)表達式(40,7.5)解釋為“以每小時40英里的速度，用7.5小時到達目的地”。二是關(guān)聯(lián)多個情境或使用現(xiàn)實世界的對象來解釋數(shù)學(xué)表達。例如，關(guān)于商人應(yīng)該收取多少費用才能使利潤最大化的問題，教師就可以用現(xiàn)實世界中的一些對象來解釋利潤方程。通過參照，可以使數(shù)學(xué)概念和情境之間保持緊密聯(lián)系。

5.評價

評價即明確強調(diào)情境的目的以及學(xué)生應(yīng)該如何使用情境來解決問題。在實際教學(xué)中，教師可以通過強調(diào)課堂外數(shù)學(xué)概念的有用性或價值來進行闡述，評價通常會讓學(xué)生更加理解數(shù)學(xué)的底層概念以及在現(xiàn)實生活中的作用和意義，從而調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

在這個互動框架中，明晰化和評價是實施任務(wù)的基礎(chǔ)和重要方面，因為它們解釋了教科書中的情境任務(wù)，能更好地幫助學(xué)生理解書面語境。參照是課堂中最頻繁出現(xiàn)的互動類型，定位和詳細闡述則可以增加任務(wù)的真實性，支持學(xué)生有效運用日常知識來理解數(shù)學(xué)任務(wù)。每個類別在涉及情境的討論中都可能是重要的。這些不同類型互動的影響并不相互排斥，在實際教學(xué)中，這幾種互動方式經(jīng)常是共同使用的。下面，用CMP課堂中的兩個例子來具體介紹這些互動方式。

(二)課堂交互案例研究

例一:科爾多瓦一家準備開車從底特律到熱門景點麥基諾島度假?？茽柖嗤呦壬嬎懔藥追N可能的平均速度所需的行駛時間。學(xué)生被要求描述數(shù)據(jù)模型，并寫出一個方程來進行建模，找到從科爾多瓦家到麥基諾島的距離，并預(yù)測出行時間。

這個案例中的情境任務(wù)部分真實，因為計劃家庭旅游的真實性很高，學(xué)生也可能非常熟悉作為度假目的地的麥基諾島。但任務(wù)中提出的問題——如給定駕駛時間和速度來計算兩個城市之間的距離，或?qū)懗鲆粋€方程，都不太可能在現(xiàn)實中發(fā)生，因為通過網(wǎng)絡(luò)就可以很容易找出城市之間的距離，不需要數(shù)學(xué)方程。在CMP課程中，教師首先讓自己和學(xué)生置身于情境任務(wù)中，詢問是否有人曾去過麥基諾島，并組織講述有關(guān)旅行的個人故事。之后，教師把自己置于這種情況下，然后回到當前的情境。她告訴全班：

你可以通過這張表或者從現(xiàn)實生活角度思考這個問題，如果我選擇以每小時40英里的速度行駛，那需要7.5小時才能到達那里。如果科爾多瓦先生想走得更快一點，會發(fā)生什么事情。如果我把速度調(diào)整到每小時65英里或70英里，這個時候又會發(fā)生什么呢？

案例中的教師通過在問題情境中定位自己和學(xué)生，使故事情節(jié)更貼近一些學(xué)生，強調(diào)了這個事件(計劃家庭旅游)很可能會發(fā)生。另外，通過上述陳述，把任務(wù)變成了一個稍微不同的任務(wù)，通過:“如果我把速度控制在……”和“如果他加快速度，會發(fā)生什么？”等語句，將情境任務(wù)中提出的問題(描述時間和速度之間的關(guān)系，并預(yù)測旅行時間)變成了普通的日常問題，從而提高了問題的真實性。

此外，在教師陳述“科爾多瓦先生想知道，如果他讓速度更快一點會發(fā)生什么事情”時，詳細闡述了這個背景(這個細節(jié)不是原來情境任務(wù)的內(nèi)容)，強調(diào)了課堂之外的數(shù)學(xué)目的。在這種情況下，目的變?yōu)榭紤]速度和時間的關(guān)系，以便確定何時到達目的地，或者確定在特定時間需要多快到達。通過討論，教師幫助學(xué)生清晰了該情境任務(wù)在真實世界的目的以及在學(xué)校課堂中的目的。

例二：關(guān)于指數(shù)函數(shù)的原始問題情境：阿米巴原蟲的分裂。阿米巴原蟲是用簡單的分裂方式繁殖，每半個小時分裂一次，問一個阿米巴原蟲十個小時后變成幾個？

在課堂討論中，教師生成了一個新的情境問題，即亞洲鯉魚有可能進入五大湖，對當?shù)氐纳鷳B(tài)造成破壞。從下面的課堂討論可以看出，亞洲鯉魚討論通過三個方面提高了任務(wù)的真實性：老師和學(xué)生的定位，通過教師自創(chuàng)的情境來詳細闡述，強調(diào)了解指數(shù)函數(shù)的目的。

T：亞洲鯉魚是密歇根州面臨的一個真正的指數(shù)問題。目前政府正試圖關(guān)閉運河的一部分，這樣水就不會繼續(xù)往前走。否則，魚會進入密歇根湖，那么將會發(fā)生怎樣令人恐懼的事情?(學(xué)生們開始興致勃勃地談?wù)擊~是否吃人。)

T：為什么我們要關(guān)注密歇根州的亞洲鯉魚

S：它們會吃我們的魚。

T：為什么考慮這個問題？

S：因為我們想要我們的魚。

T：對！在密歇根湖我們有一個巨大的商業(yè)捕魚業(yè)。如果亞洲鯉魚進入密歇根湖，它們會瘋狂蔓延，我們目前在市場上出售的很多魚，會受到這種亞洲鯉魚的威脅。所以我們要關(guān)注政府下一步會采取什么行動。

對學(xué)生而言，案例中的新情境要比之前的情境(阿米巴成長)更有意義，因為研究阿米巴蟲繁殖對生物學(xué)家和其他相關(guān)人群來說是真實情況，但對學(xué)生來說，依然是陌生或抽象的概念。然而，亞洲鯉魚的情況很多學(xué)生都熟悉，利用這個背景可以強調(diào)亞洲鯉魚事件對密歇根州人民生活的重要性，也反過來突顯了學(xué)生在探索類似情景時研究指數(shù)增長的目的。這里的課堂討論支持了學(xué)生對指數(shù)增長及其與生活相關(guān)性的思考，并解釋了為什么在日常環(huán)境中可能會問到任務(wù)中的問題。

上述案例中，例一主要使用了定位、詳細闡述、參照、評價等多種課堂交互方式，使情境任務(wù)更加真實，更貼近學(xué)生日常。例二則主要使用了定位和詳細闡述(創(chuàng)造新的情境)，把教科書中與學(xué)生日常生活關(guān)聯(lián)不大的情境修改成為學(xué)生熟悉的情境。兩個案例都通過課堂互動增加了任務(wù)的真實性，讓學(xué)生更加了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在課堂之外的目的和意義，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

四、對我國數(shù)學(xué)教育的啟示

(一)認識到情境教學(xué)的重要性

我國教育部最新修訂的普通高中課程方案和課程標準(2017版)，強調(diào)了普通高中教育不只是為升大學(xué)做準備，還要為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)，并通過這次修訂，凝練了各學(xué)科的核心素養(yǎng)，目的是引導(dǎo)各學(xué)科教學(xué)在傳授學(xué)科知識過程中，更加關(guān)注學(xué)科思想、思維方式等，克服重教書輕育人的傾向，把立德樹人根本任務(wù)落到實處。修訂反映了國家對學(xué)科核心素養(yǎng)的重視以及對學(xué)科教學(xué)方向的引領(lǐng)，其中提到，教育要為學(xué)生適應(yīng)社會生活和職業(yè)發(fā)展做準備，但我國基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過于強調(diào)計算和算法，忽略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實應(yīng)用之間的聯(lián)系。例如，筆者曾碰到一個真實的事件，一個編程人員在寫計算機底層數(shù)據(jù)時，想到了對數(shù)函數(shù)log(x)，他知道對數(shù)函數(shù)的算法，卻不明白對數(shù)函數(shù)的作用是什么，能不能用在他正在編寫的程序上。與此類似，很多人走上社會，在處理實際問題時發(fā)現(xiàn)，自己知道很多數(shù)學(xué)概念和公式，卻不知道用哪個，如何用。因此，我國的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該在計算和算法之外，有所側(cè)重的教授學(xué)生運用、操控與真實世界和現(xiàn)實問題相關(guān)的科學(xué)和數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)，而情境教學(xué)無疑是非常行之有效的手段之一。

(二)創(chuàng)造有利于情境教學(xué)的環(huán)境

情境教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為未來的社會生活做準備。但情境教學(xué)并不是一個孤立的存在，需要在教師教育、課程標準設(shè)計以及考試評價等方面做出重大努力。如，教師教育工作者要幫助教師們明確認識到情境在支持學(xué)生參與和解決問題中的潛在價值以及情境教學(xué)的方式方法；課程標準設(shè)計中要增加對情境任務(wù)的關(guān)注；考試評價則應(yīng)相對弱化計算能力，增加對建模能力和解決實際問題能力的考核等。

另外，雖然復(fù)雜和現(xiàn)實的情境任務(wù)可以提高學(xué)生參與和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機和解決實際問題的能力，但我國目前缺乏專門針對情境問題的專業(yè)教材，也沒有形成專業(yè)的研究團隊，這可能會對教師在課堂上實施情境任務(wù)造成一定的影響。這需要課程研究和教材編寫等相關(guān)部門付出努力，在教材中加入更為復(fù)雜和現(xiàn)實的情境問題，實際操作中，可以借鑒CMP課堂中的互動方式為教師提供多種相關(guān)的情境，使課堂實施更為順暢。以上所有教學(xué)環(huán)境的創(chuàng)造都需要國家層面在方針政策和頂層設(shè)計方面給予支持。

(三)增強課堂互動的有效性

情境教學(xué)需要合適的書面情境任務(wù)，但也應(yīng)認識到，沒有一個教科書能提供對學(xué)生完全適合的情境任務(wù)，但教師卻能夠通過滿足學(xué)生需求的方式吸引他們對情境的注意。CMP課堂中的情境任務(wù)要比傳統(tǒng)的故事問題有更豐富的情境，但教師仍需對情境進行增加或調(diào)整。我國教師可以在現(xiàn)有教科書情境問題的基礎(chǔ)上通過有效的課堂互動，將情境問題與學(xué)生的興趣和日常經(jīng)驗聯(lián)系起來，突出情境在現(xiàn)實問題解決中的意義，使情境問題成為課堂中更強大和有用的工具。

另外，情境教學(xué)中通常存在的一個障礙是，很多教師認為現(xiàn)實語境只是一種激勵工具，在課堂上常將情境問題迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而忽略了對情境做出公正的解釋。但有效的情境教學(xué)不應(yīng)“壓制”學(xué)生對情境的了解，而應(yīng)將情境視為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的舞臺，在課堂中留出空間，讓學(xué)生把注意力集中在情境上，使學(xué)生更加了解數(shù)學(xué)在情境中的作用和意義以及如何在現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)問題之間進行轉(zhuǎn)化。

值得注意的是，雖然美國情境教學(xué)值得借鑒，但由于種族、社會經(jīng)濟地位、語言、行為習(xí)慣等方面的不同，關(guān)于情境的設(shè)置和討論可能會完全不同。因此，在借鑒相關(guān)經(jīng)驗時不能完全照搬，應(yīng)在學(xué)習(xí)其內(nèi)涵實質(zhì)的基礎(chǔ)上按照現(xiàn)實情況進行調(diào)整。

參考文獻：

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