◇陳 芳

一 研究背景

小學(xué)三年級學(xué)生的具體形象思維較強，抽象邏輯思維較弱，所以在三年級進行數(shù)學(xué)建?；顒颖容^困難。如何在教學(xué)中逐步培養(yǎng)三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力呢？以“骰子的秘密”一課為載體，進行課例對比研究，旨在發(fā)現(xiàn)制約學(xué)生數(shù)學(xué)建模的原因，并及時總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效教學(xué)策略。

“骰子的秘密”是一節(jié)乘法練習(xí)課。多數(shù)計算練習(xí)課上機械性重復(fù)訓(xùn)練居多，接近生活實際內(nèi)容的練習(xí)較少，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高。本課通過游戲化的情境引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題，在驗證和探究中找到規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)建模的過程和方法。

二 學(xué)情分析

筆者在課前對準備授課的兩個平行班進行前測，兩個班的前測結(jié)果很接近，知道骰子有6 個面的學(xué)生大約占97%，發(fā)現(xiàn)有1 到6 這6 個點數(shù)的學(xué)生大約占58%，發(fā)現(xiàn)骰子是正方體的學(xué)生大約占32%，只有7%的學(xué)生發(fā)現(xiàn)骰子相對的面上的點數(shù)之和是7，其他規(guī)律沒有學(xué)生知道。

三 初次實踐

1.觀察骰子。

師：如果用數(shù)學(xué)的眼光看骰子，說一說，你看到些什么？發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生邊說教師邊板書：6 個面，點數(shù)1～6，相對的面上的點數(shù)之和是7。

師：今天我們研究骰子里藏著的秘密。

2.新課。

（1）骰子魔術(shù)。

4 個學(xué)生一組，把4 個骰子摞起來。

師：只要你們把最上面的點數(shù)告訴我，我能立刻告訴你們看不見的7 個面上的點數(shù)之和是多少。

每一組的組長報出最上面的點數(shù)，教師快速說出看不見的7 個面上的點數(shù)之和。學(xué)生在驚訝和好奇中開啟探究之旅。

（2）探究規(guī)律。

①小組活動，驗證看不見的面上的點數(shù)之和并探究規(guī)律。

師：在小組內(nèi)討論自己的方法和發(fā)現(xiàn)的秘密。覺得有困難的同學(xué)，可以從2 個骰子摞在一起開始想，再想3 個、4個的情況。把過程用自己喜歡的方式清晰地記錄下來，可以畫圖，可以列式計算。

②全班匯報。

小軒：我發(fā)現(xiàn)用4 乘7 再減最上面的點數(shù)，可以得到答案。

③拓展提高并總結(jié)規(guī)律。

師：如果5 個骰子摞起來，看不見的面上的點數(shù)之和是多少？100 個呢？1000 個呢？你能說一個式子把所有情況都包含進去嗎？

總結(jié)規(guī)律：7×骰子總數(shù)-最上面的點數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和。

經(jīng)過第一次實踐，測得得滿分的學(xué)生只占50%，僅因計算出錯的學(xué)生占29.4%，不理解規(guī)律、未能建模而導(dǎo)致錯誤的學(xué)生占20.6%。反思第一次教學(xué)實踐，可以發(fā)現(xiàn)，制約學(xué)生建模的教學(xué)因素如下:

1.未關(guān)注學(xué)生思維及學(xué)困生的學(xué)習(xí)能力。

第一次教學(xué)雖然也做了前測，但是教學(xué)設(shè)計并未關(guān)注學(xué)生的思維水平，沒有考察學(xué)生的探究能力特別是學(xué)困生的學(xué)習(xí)能力，而是從教師的角度出發(fā)，關(guān)注的是課能否吸引人、是否流暢。教師本意是想讓學(xué)生個性化地學(xué)習(xí)，根據(jù)自己的能力自由選擇骰子個數(shù)研究規(guī)律，能力弱的學(xué)生可以選擇從2 個骰子的情況開始探究，但學(xué)生看到教師做骰子游戲的直觀表象，都不假思索地拿4 個骰子探究規(guī)律，而4 個骰子的情況對大部分三年級學(xué)生來說難度偏大，不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。全班只有4 個學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，找出規(guī)律的學(xué)生講解后還有部分學(xué)生聽不懂，這說明探究內(nèi)容偏難導(dǎo)致學(xué)生建模上出現(xiàn)困難。

2.慣于強化知識，忽視拓展提高。

數(shù)學(xué)建模重要的一步是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，在應(yīng)用中鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能夠利用課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)建模的思想方法解決更多的問題，并產(chǎn)生聯(lián)想和創(chuàng)新。

第一次實踐由于部分學(xué)生并未實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，骰子個數(shù)變多時的練習(xí)只是機械的模仿，練習(xí)時數(shù)學(xué)模型并未得到鞏固和靈活運用。課的拓展練習(xí)缺乏層次性，側(cè)重知識的強化鞏固，忽視拓展提高，沒有變式練習(xí)，學(xué)生的思維沒有得到發(fā)散和提高。

3.缺少操作、體驗、感悟。

教師習(xí)慣于傳授知識，給學(xué)生動手操作的時間過少，整節(jié)課只有5 分鐘的操作探究時間，其余都是問答式的講授型教學(xué)，學(xué)生沒有充分經(jīng)歷自己探究、觀察、思考和小組討論的過程，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的參與度。

四 再次實踐

1.骰子魔術(shù)。

學(xué)生把任意2 個骰子摞起來，并說出最上面的數(shù)是幾，教師快速說出看不見的面上的點數(shù)之和。

2.探究規(guī)律。

（1）自己探究2 個骰子摞起來時里面隱藏的秘密。

（2）2 人一小組討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（3）全班交流匯報。

小芳：我發(fā)現(xiàn)相對的面上的點數(shù)之和都是7。

小麗：隨著最上面的數(shù)逐漸變大，看不見的面上的點數(shù)之和逐漸變小。

小宇：最上面的數(shù)與看不見的面上的點數(shù)之和合起來都是14。

師：為什么合起來都是14 呢？

小飛：（邊操作邊說）1 個骰子上、下2 個相對的面上的點數(shù)之和是7，2 個骰子上、下共4 個面，就是2 個7，和是14。

小皓：（受到啟發(fā)）可以用2×7-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和。

3.研究3 個骰子摞起來時看不見的面上的點數(shù)之和的規(guī)律。

師：3 個骰子摞在一起，剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律還能用嗎？怎樣能更快地算出看不見的面上的點數(shù)之和？

小組研究并討論不同的方法和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

小宇：把看不見的5 個面上的點數(shù)加起來算和。

小圓：2×7+（7-最上面的數(shù)）=看不見的面上的點數(shù)之和。

小靜：3×7-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和。

學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)小靜的方法最簡便，又進一步發(fā)現(xiàn)小圓的方法去掉括號可轉(zhuǎn)化為小靜的方法。

4.總結(jié)規(guī)律。

師：你能說一個把所有情況都包含進去的式子嗎？

小峰：7×骰子總數(shù)-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和。

5.拓展提高。

如果4 個骰子擺成L 型，還能用前面總結(jié)的規(guī)律算出看不見的面上的點數(shù)之和嗎？

本次實踐按學(xué)生的元認知改進教學(xué)設(shè)計，直接研究2 個骰子摞在一起的情況。學(xué)生在動手操作的過程中初步形成“2×7-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和”的數(shù)學(xué)模型，此時大部分學(xué)生能理解這個數(shù)學(xué)模型。由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不同，還有少部分學(xué)生并未真正理解這個數(shù)學(xué)模型，這時繼續(xù)研究3 個骰子摞在一起的情況，讓所有學(xué)生在充分的操作驗證和小組討論的過程中找到普遍性的規(guī)律，從而真正理解所建立的數(shù)學(xué)模型 “7×骰子總數(shù)-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和”，課的最后師生共同總結(jié)出數(shù)學(xué)建模的步驟和方法，幫助學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)策略，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。經(jīng)過這次實踐，后測得滿分的占87.9%，出錯的4 個學(xué)生僅是因為計算錯誤。

五 啟示

1.“玩中思”引發(fā)數(shù)學(xué)建模。

與直接給學(xué)生出示數(shù)學(xué)問題情境相比，學(xué)生更喜歡游戲化的教學(xué)方式，因為骰子魔術(shù)讓學(xué)生親歷問題產(chǎn)生的整個過程，在愉悅的玩耍中學(xué)生安靜地觀察、思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提高洞察問題的數(shù)學(xué)能力。游戲中學(xué)生的參與度更高，與生活實際相聯(lián)系的問題更容易激發(fā)大腦的深度思考，左、右手的操作配合討論，激活大腦左、右兩個半球的運動，更容易在表象中抽象出數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，引發(fā)數(shù)學(xué)建模。

2.有步驟的數(shù)學(xué)建模。

第二次教學(xué)從建構(gòu)主義視角出發(fā)，按學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計教學(xué)活動。 教育學(xué)家杜威曾提出，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計教學(xué)活動，是指教師根據(jù)學(xué)生的思維預(yù)測學(xué)習(xí)進行的路徑，再進行教學(xué)設(shè)計。教師對學(xué)生思維的理解是在資料收集和產(chǎn)生預(yù)設(shè)的過程中不斷發(fā)展的。在第一次教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，教師發(fā)現(xiàn)三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程必須從易到難，教師給學(xué)生搭建一個思維的階梯，讓學(xué)生從2 個骰子摞在一起的情況開始思考，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生一步步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再研究3 個骰子的情況，進一步感悟和運用規(guī)律，讓學(xué)生的思維從開啟到放飛，由感性直觀逐漸過渡到理性抽象，從發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律，到應(yīng)用規(guī)律，經(jīng)歷有步驟、有方法地解決生活實際問題的全過程，有步驟地建立數(shù)學(xué)模型。

3.“問題串”促數(shù)學(xué)建模。

教師精心設(shè)計的“問題串”能夠有效引領(lǐng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考，因此教師在何時發(fā)問、問題指向的準確性、一連串的追問，都直接影響教學(xué)的效率和效果?！镑蛔拥拿孛堋?這節(jié)課中，教師問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”小芳說：“我發(fā)現(xiàn)相對的面上的點數(shù)之和都是7?！毙∮钫f：“最上面的數(shù)與看不見的面上的點數(shù)之和合起來都是14?！?教師追問：“為什么合起來都是14 呢？” 教室里安靜了，這時給學(xué)生時間靜思，小飛發(fā)現(xiàn)：“1 個骰子上、下2個相對的面上的點數(shù)之和是7，2 個骰子上、下共4 個面，就是2 個7，和是14?！毙○┦艿絾l(fā)，說：“可以用2×7-最上面的數(shù)=看不見的面上的點數(shù)之和?！边@說明學(xué)生刻畫出了骰子中隱藏的數(shù)學(xué)問題中的根本變化規(guī)律，開始建立數(shù)學(xué)模型。 這更說明了有效的問題串可以幫助學(xué)生厘清數(shù)量之間的關(guān)系，促進學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

4.變式拓展中啟數(shù)學(xué)建模。

教師利用變式拓展題引發(fā)學(xué)生新的思考，學(xué)生通過討論認為不能直接利用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，因為出現(xiàn)了相鄰的面，而相鄰兩個面上的點數(shù)之和不一定是7，自然而然地理解了規(guī)律的使用是有一定范圍的，隨著情況的變化，規(guī)律也會變化，接著開啟了新的數(shù)學(xué)建模之旅。