曹志國

摘要：我國在2001年開始的基礎教育課程改革中引入概率知識，并且將“統(tǒng)計與概率”作為一個獨立的課程領域，從小學開始系統(tǒng)地滲透和學習。然而由于教師對統(tǒng)計及其教學的認識不足，導致課堂實踐中對“隨機”與“確定”把握不準、“本質”與“表象”厘析不清、“概率”與“次數”思辨不明、“歸納”與“演繹”運用不當等現(xiàn)象時常出現(xiàn)，需要教師進一步豐富統(tǒng)計的專業(yè)知識，積累該領域的教學經驗，深化對統(tǒng)計教學的認識，回歸統(tǒng)計教學本真。

關鍵詞：小學數學；統(tǒng)計與概率；存在問題；改進策略

概率是處理隨機現(xiàn)象的一門科學。我國在2001年開始的基礎教育課程改革中引入概率知識，將“統(tǒng)計與概率”作為一個獨立的課程領域，從小學開始系統(tǒng)地滲透和學習，并通常用“可能性”代替數學術語“概率”。義務教育階段統(tǒng)計教學的關鍵是使學生想到用數據，愿意“親近”數據，能從數據中提取信息。這部分內容對學生來說充滿趣味和吸引力，但教學中教師對統(tǒng)計與概率知識理解不透、教學內容選取不當、教學重難點把握不準等現(xiàn)象也時常出現(xiàn)，需要教師進一步加深認識，回歸概率教學本真。

一、“隨機”與“確定”把握不準

課堂回放：為讓學生感受不確定事件的可能性，舉例：學校舉行歌詠大賽，經過激烈角逐，四年級的一位同學獲得了冠軍。教師提問：“獲得冠軍的學生可能是哪個班級的？”學生紛紛搶答，有的說可能是四（1）班的；有的說可能是四（2）班的；有的說我們學校四年級一共有11個班，在每個班的可能性都有；還有的說在每個班的可能性是相等的。

現(xiàn)象分析：教師沒有將“生活化表達”與“數學概念本質”區(qū)分清楚，對隨機事件與確定事件把握不準?！翱赡苄浴笔轻槍﹄S機事件而言的，而該情境中問題的答案是客觀事實，是先于學生的猜想而客觀存在的，并不具有預測性，此處的“可能”并非數學研究中的“可能性”。也就是說，歌詠大賽已經結束，冠軍已經產生，這個特定的學生具體在哪個班已經確定，只是這個確定的結果我們暫時不知道而已，這并非概率中的隨機事件。以此為案例進行教學，造成了學生對數學概念的錯誤認識。

改進策略：曹培英老師以聽課過程中發(fā)現(xiàn)的、教師易犯的知識性錯誤或紕漏為原型進行加工，形成教師本體性知識調查問卷。從上海市兩個區(qū)小學數學教師的答卷情況看，平均答對率為38.8%，對涉及“可能性”知識的試題，平均答對率只有34.1%。用“能為小學生釋疑解惑”“能較深入地把握小學數學教學內容”的要求來衡量，現(xiàn)狀與需要的差距較大。呼時聽課中，筆者經常發(fā)現(xiàn)上課教師不能很好地區(qū)分“事件”與“現(xiàn)象”、列舉“事件”不具有預測性和動態(tài)性、未能正確取舍生活性和科學性等情況時常存在。

三、“概率”與“次數”思辨不明

課堂回放：數學活動，在不透明的袋子里裝有5個紅球和5個黃球（兩種球除了顏色不同，其余屬性完全相同），組織學生操作，任意摸1個球，摸后放回。連續(xù)摸6次，根據摸球結果猜一猜袋中裝了什么顏色的球？

一名學生上講臺連續(xù)摸了6次，恰巧都是黃球，學生紛紛議論：袋子里都是黃球。此時教師顯得有些尷尬，也有點急了，親自將袋子里的球再次充分地攪拌，并提醒學生要隨意地去摸，讓學生再摸1次，結果正好是紅球。教師如釋重負，急不可待地說：“袋中有紅球和黃球?！睕]等教師說完，學生又紛紛搶著說：“袋子中黃球多，紅球少?！苯處熡旨绷耍瑹o奈地說：“剛才的實驗做得不太‘成功，如果摸球次數再多一些就‘準了?！?/p>

現(xiàn)象分析：不知上述案例中教師對實驗“成功”界定的標準是什么？未能認識到“隨機性”是隨機現(xiàn)象的本質屬性，暴露出教師學科專業(yè)知識的缺失。概率是對隨機事件發(fā)生的可能性的度量，一般以一個在0到1之間的實數表示一個事件發(fā)生的可能性大小，其是客觀論證，而非主觀驗證。大數定律告訴我們，在隨機事件的大量重復出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，當摸球次數足夠多時，摸到紅球和黃球次數差不多的可能性很大，隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數附近擺動，也就是摸到紅球和黃球都以很大的概率占總數次的一半；而當摸球次數足夠多時，摸到紅球和黃球次數相差較大的可能性很小，但并不意味著它一定不會出現(xiàn)。問題的實質是活動中摸到兩種球的“概率相等”，而非“次數相等”，摸球的結果是“一切皆有可能”。尤其是在開始有限次的摸球中，摸到紅球比黃球次數多得多、差不多、少很多都是有可能的。連續(xù)摸6次都是黃球，雖然該事件發(fā)生的可能性不大，但不是沒有可能。案例中教師遇到的尷尬看上去是教學中的偶然，但偶然中蘊含著必然。

改進策略：數據的隨機主要有兩層含義：一方面對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會是不同的；另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。[s哽寧中教授指出：“統(tǒng)計是通過數據來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷?！鄙鲜霭咐虒W應在“袋中裝的是什么顏色的球”的猜想中，凸顯出摸球實驗必要性。在指名學生上講臺摸球的游戲中，不論學生摸出什么顏色的球，都要引發(fā)思考“袋中一定有什么顏色的球？”“袋中只有紅（黃）球嗎？”摸了幾次后，如果都只出現(xiàn)紅球或黃球，教師再次發(fā)問：“袋中一定只有紅（黃）球嗎”；如果既出現(xiàn)了紅球又出現(xiàn)了黃球，而且次數相當，則引導“下一次會摸到什么顏色的球”；如果紅球與黃球出現(xiàn)次數相差較大，則以“一定是紅（黃）球的個數多嗎”引發(fā)學生思考。在摸球的動態(tài)過程中讓學生充分感悟實驗發(fā)生的獨立性、必然性和偶然性，并用一定、可能、不可能等詞語對事件發(fā)生的概率進行定性描述。

接下來在“球的顏色和個數”的猜想中，凸顯出在摸球實驗中收集數據并進行分析的必要性。學生分組實驗，每組摸球20次，引發(fā)組內對猜想的討論。全班再對各組摸球的數據進行匯總，分析袋中的球可能有哪些顏色，并推斷出紅球和黃球所占比例是多少。接著再告訴學生袋中球的總個數，引導學生估計出紅球和黃球分別的個數。尤其需要指出的是應使學生認識到全班摸球實驗次數總和相對于隨機試驗來說依然是個小數目，出現(xiàn)極端的情況也是可能存在的。最后，打開袋子，在實驗過程的反思中感受事情總體結果的規(guī)律性和每一次結果的不確定性，體會不確定現(xiàn)象的不確定性和不確定中的穩(wěn)定性的特點，學會用隨機的思維去觀察、分析生活中的事物，形成統(tǒng)計觀念，感受數據中蘊含的信息。

四、“歸納”與“演繹”運用不當

課堂回放：通過“摸球”、“玩轉盤”、“摸牌”等課堂游戲，學生在活動中體會到事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性。此時，教師引導學生從分析事件的公平性逆向思考，嘗試設計一個公平的游戲規(guī)則。學生情緒高漲、發(fā)言踴躍，在舉出幾個例子后，有學生提出：“寫‘勝和‘負兩張紙條，做成兩個鬮，小華、小強兩人輪流抓，誰抓到‘勝字就算誰贏?！笔芮耙粚W生案例的影響，又有學生提出：“寫‘勝、‘負、‘負三張紙條，做成三個鬮，小華、小強、小紅輪流抓，誰先抓到‘勝字就算誰贏。”

第二個學生所舉案例使課堂陷入到激烈焦灼的爭論當中，有學生提出“要強調抓后放回”。更多的學生則對這個游戲的公平性表示懷疑：有人認為先抓的人如果把“勝”抓走，后抓得人就肯定失敗了，所以先抓的人贏的可能性大一些；又有人認為先抓的人抓到“勝”的概率只有1/3，如果抓不到“勝”字，那么第二個人贏的概率就是1/2，后抓的人贏得可能性更大一些；還有的學生隱約中感覺到這個游戲規(guī)則是公平的，但說不出其中的道理……課堂的生成教師始料未及，在應對時顯得有些茫然無措。為解決“意外生成”，教師組織學生按“抓后放回”與“抓后不放回”進行分組實驗，但時間所限，次數不多的實驗產生的結果仍不能使學生信服，教師遂提出下節(jié)課繼續(xù)進行抓鬮實驗。

現(xiàn)象分析：第二個學生所舉的案例具有一定的開放性、超前性和復雜性，條件概率的認知也超出了學生的最近發(fā)展區(qū)。如果單純采用實驗、收集數據、推算概率、判斷是否公平的方法，因實驗的隨機性和情境的復雜性，學生對游戲規(guī)則是否公平的感受是模糊的，并不清晰，也不能徹底消除心理疑慮。統(tǒng)計是用數據來進行推斷，它的推理方式主要是歸納；概率是定義出來的，它的推理方式主要是演繹。教學中，要注意統(tǒng)計思想與演繹推理思想之間的互補作用，使學生認識到統(tǒng)計與概率和確定性數學一樣，是科學的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實生活中的眾多問題，滿足學生了解世界的好奇心。

改進策略：學習任何知識都要經過大腦的思辨，否則就不可能實現(xiàn)對學習內容的壓縮、整合、內化，進而納入到認知結構之中。可以引導學生，將三個鬮編號，寫“勝”的編號為A，兩個寫“負”字的編號分別為B1和B2。如果小華抓到A號鬮，小強抓到B1號鬮，小紅抓到B2號鬮，則表示為（A B1 B2）。所有抓鬮的結果有以下6種情況：（A B1 B2）、（A B2 B1）、（B1 A B2）、（B1 B2 A）、（B2 A B1）、（B2 B1A）。其中，（A B1 B2）、（A B2 B1）表示小華抓到“勝”字的情況，他有2種贏的可能，所以小華贏的可能性是2；同樣小強和小紅贏的可能性也是2。再引導學生分析，如果抓后放回，那么不論是誰在抓鬮，袋中始終都有“勝”、“負”、“負”三個鬮，每人抓到“勝”的可能性都有，游戲規(guī)則也是公平的。在此基礎上，總結得出：在三人抓鬮的過程中，要不要抓后放回并不影響游戲規(guī)則的公平性。

基于問題的分析，是有價值的；基于分析的完善，是有意義的；基于完善的發(fā)展，是不會停止的?！敖y(tǒng)計與概率”在中小學課程中出現(xiàn)的時間并不長，需要廣大教師進一步豐富統(tǒng)計的專業(yè)知識，積累該領域的教學經驗，深化對統(tǒng)計教學的認識，逐步培養(yǎng)學生的數據分析觀念與隨機意識，回歸統(tǒng)計教學本真。