劉大鵬

[摘 要]

探討解析幾何教學中讓學生學會應用解析幾何的思維方法來解決問題，引導學生歸納概括出思考解析幾何問題的思維方法，分析幾何對象的幾何特征，從幾何的背景、幾何的圖形及從方程、數(shù)據(jù)等代數(shù)的結(jié)論中得到幾何的性質(zhì)，讓學生會思考，會分析和解決問題，提高學生的推理和探究能力和動手操作能力，提高學生解決解析幾何問題的效率。

[關鍵詞]

解析幾何；思維方法；幾何特征

平面解析幾何是中學數(shù)學中獨具特色的一門學科。它的基本思想簡單說就是用代數(shù)方法解決幾何問題。在解決有關問題時，很多學生最大的問題是沒有掌握解析幾何的思維方法，誤以為用代數(shù)方法解決幾何問題就是算。作為教師，一定要交給學生研究數(shù)學問題的思維方法，讓學生會想，會思考，才是我們的教學目的，正如蘇霍姆林斯基說過： “懂得還不等于己知，理解還不等于知識，為了取得更牢固的知識，還必須 思考。 ” 要交給學生審題的思維過程，要引導學生歸納概括出思考解析幾何問題的思維方法。當我們面臨解決一個幾何問題的時候，要分析幾何對象的幾何特征，主要從兩個方面：

一、從幾何的圖形中得到幾何性質(zhì)

如果一個點是三角形的一邊上的中點，那么就可以考慮在另外的一邊上取中點，用三角形的中位線的性質(zhì)；如果是有關三角形的內(nèi)切圓的圖形，那就要分析出線段相等，角相等的有關性質(zhì)。

例1.已知橢圓C：[x29+y24=1]，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則[|AN|+|BN|=] .

分析：如圖所示在[ΔAMN]和[ΔMBN]中，連接[F1K]和[F2K]，利用三角形的中位線的性質(zhì)可知[AN+BN]=[2F1K+F2K]=12

例2.已知拋物線[C]：[y2=2px，p>0]，過點M（1，0）作斜率為[3]的直線[l]交C的準線于點A，[l]和拋物線C交于點B，使得[AM=MB]，則[p]值為 .

解析：如圖作直線BD垂直于準線，交準線于點D，連接BM，顯然DM是[ΔABD]斜邊的中線，有DM=BM，由題意可知，[∠DBM=600]可得DB=BM，由拋物線定義可知點M為拋物線的焦點，所以[p]值為2.

例3.設[A，B]分別為橢圓[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且[x=4]為它的右準線。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設[P]為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線[AP，BP]分別與橢圓相交于異于[A，B]的點[M、N]，證明點[B]在以[MN]為直徑的圓內(nèi).

分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力，證明點[B]在以[MN]為直徑的圓內(nèi)，先從圖中可以看到只需證明∠MBN為鈍角，繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)證明∠MBP為銳角更能減少運算量，先分析幾何特征，簡化代數(shù)運算，達到事半功倍的效果.

二、從方程、數(shù)據(jù)、代數(shù)結(jié)論中得出幾何性質(zhì)

訓練學生如何從方程、數(shù)據(jù)等代數(shù)的結(jié)論中得到幾何的性質(zhì)。學生缺乏從代數(shù)結(jié)果中分析幾何性質(zhì)的意識和能力，也就是要交給學生提出問題、思考問題的方法。在解析幾何的習題教學中，如何分析題目，讓學生學會理解問題是最為重要的。分析的思維方法要符合解析幾何的思維特點。

例4.設[m∈R]，過定點[A]的動直線[x+my=0]和過定點[B]的動直線[mx-y-m+3=0]交于點[P（x，y）]，則[|PA|?|PB|]的最大值是____________.

分析由直線方程可以分析出兩直線[x+my=0]和[mx-y-m+3=0]垂直，并分別過定點[A0，0B1，3]，對于此題目中的方程要學會分析它的幾何含義，然后用均值不等式或三角函數(shù)知識解之.

例5.直線[l：x+my-1=0]與過A（1，2）與B（-3，4）的線段相交，求[m]的取值范圍.

分析：這道題目可以從斜率的角度進行計算，從幾何特征的角度看，A，B兩點與直線的位置關系是分析的要點.即A，B兩點在直線[l]的兩側(cè).而這個特征的代數(shù)化就非常簡單，只要把兩點坐標帶入到直線方程的左側(cè)所得到的兩個數(shù)值乘積小于等于零

解：[1+2m-1-3+4m-1≤0]解得[0≤m≤1]

例6.在平面直角坐標系[xOy]中，P為雙曲線[x2-y2=1]右支上的一個動點.若點P到直線[x-y+1=0]的距離大于c恒成立，則是實數(shù)c的最大值為 .

作為教師要讓學生真正地理解解析幾何這門學科的思維特點，要教給學生如何思考、理解一個解析幾何的問題。在解析幾何的教學中，如何分析題目，讓學生學會理解問題是最為重要的。對于題目中的幾何元素，要會分析它的幾何特征并進行有效的代數(shù)化；對于題目中的代數(shù)的結(jié)論如方程或數(shù)值，要學會分析它的幾何含義，提高學生解決解析幾何問題的效率。學生在老師引導下，主動積極地參與學習，獲取知識，發(fā)展思維能力，讓學生經(jīng)過猜疑、嘗試、探索、失敗，進而體會成功的喜悅，達到真正地學。

[參 考 文 獻]

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]黃燕玲.淺析解析幾何的數(shù)學方法論特點[J].河池師范高等專科學校學報，2000（2）.

[3]呂林根，張紫霞，孫存金.解析幾何學習指導叢書[M].北京：高等教育出版社，1988.

（責任編輯：張華偉）endprint