雪蓮 媛媛

【摘要】數(shù)學作為高校理工類必修學科之一，其中線性代數(shù)對工科數(shù)學及相關專業(yè)學習都起著重要作用.但線性代數(shù)因其概念抽象、計算困難等原因，很多學生在學習時十分迷茫，無從下手.這主要是因為學生對于線性代數(shù)的幾個核心概念之間的聯(lián)系認識不足，沒有形成系統(tǒng)化的知識體系.本文通過對線性代數(shù)中幾個核心概念的提出及推導進行分析，探究核心概念之間的聯(lián)系.

【關鍵詞】線性代數(shù);核心概念;內部聯(lián)系

線性代數(shù)作為講述線性空間內相關理論及研究方法的學科，對空間內的線性變換的研究應當成為整個學習內容的核心.接下來就從線性空間及線性變換的本質入手，對線性代數(shù)基本研究問題的內容進行闡釋.

一、線性空間

作為數(shù)學中的重要概念之一，空間這一概念在數(shù)學的領域中應用十分廣泛.最基礎的就是拓撲空間，而線性空間則是在拓撲空間的基礎上加入一些線性變換而形成的新的一些對象的集合.在線性空間中，任何一個對象都可以通過預先設定好的基和坐標的結合表示出來，這時這個對象就成為一個向量.在計算中向量通常是由n×1或1×n的矩陣表示出來，這一列或一行數(shù)中的每一個元素都代表了一定的內容，其順序不可更改.

下面再來說線性變換，線性變化指的是空間中任意一點向另一點的移動都可以由一個線性變換表示出來.當線性空間內的基確定下來后，空間內的每一個向量既能表示其中一個對象，還能表示某一個向量變換的過程.線性變化的具體計算方法是用變化前表示對象的向量與表達這一變換過程的向量相乘.綜上所述，在指定了空間的基之后，就可以計算出任意一點向另一點表達的過程，只要變化后的向量仍然屬于該線性空間，該線性變換就可以用一個非奇異矩陣表示.

二、矩 陣

矩陣作為線性空間內表示一個線性變換的式子，其針對同一個變換過程的表示形式不固定，主要取決于基的選取，當在線性空間內確定好一組基后，就至多只有一個矩陣能夠表達單一的線性變換.當基改變之后，表示這一線性變換的矩陣也相應變化.如果幾個矩陣都能表示同一個線性變換，且矩陣互相都不同，那么我們就稱這些矩陣互為相似矩陣.相似矩陣間有如下的性質：如果有兩個互為相似矩陣的矩陣A和矩陣B，那么一定存在一個非奇異矩陣P，使A與B間滿足A=P-1BP.這里的矩陣P其實就是矩陣A的基和矩陣B的基之間的線性變換關系.相似矩陣這一概念在線性代數(shù)中十分重要，是很多后續(xù)學習內容，如相似標準型、對角化等的知識基礎.因為后續(xù)的這些研究過程中必須保證矩陣轉換過程中仍然滿足基于同一個線性變換，矩陣轉換只是為了將它轉換成為一個更方便計算的矩陣.

矩陣不僅可以用來描述點與點之間的線性變換，更深層次地矩陣可以用來描述一組基向另一組基的變換，且計算方法基本相同.

三、行列式

行列式作為線性代數(shù)開篇所要學習的內容，是線性代數(shù)乃至其他數(shù)學學科中的一個重要數(shù)學工具.主要應用于求解線性方程組、矩陣相關計算、矩陣正定性判定及系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面.開始學習用行列式定義計算行列式時感覺困難，可以采用將行列式元素轉化為解析幾何圖形的形式對行列式進行求解，有利于學生對計算過程的理解.

在這里再談一談行列式與矩陣的聯(lián)系.雖然行列式和矩陣在定義及計算方法上存在很大的差別.但二者在很多方面都有很密切的聯(lián)系.如，某個方陣對應的行列式計算結果如果不為零，則該矩陣存在逆矩陣，即可逆;又如，一個n元線性方程組的系數(shù)行列式若存在且不為零，則該系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相等，且二者均等于n.這些事實表明，矩陣與行列式關系緊密絕非偶然，是因為矩陣的很多性質就是基于行列式的性質建立起來的.矩陣的提出主要是為了改變行列的很多固定的、不便計算的性質的，如行數(shù)必須等于列數(shù)等，但其根本性的一些性質還是與行列式存在重要聯(lián)系的.

四、秩

對于矩陣的秩，很多學生在學習時認為其是單獨在矩陣的變換層面展開的一個概念，因此，對秩的意義的理解存在困難.秩這一概念的提出是基于線性相關性這一概念的.在二維平面中，兩個向量線性相關指的是兩個向量共線;在三維平面中，向量線性相關則指的是所有向量共面，如果某一個向量無法用其他向量線性表示，則稱這幾個向量線性無關，所有無法進行線性表示的向量的集合就稱為該向量組的極大無關組，該向量組的極大無關組的個數(shù)就稱為這個向量組的秩，也就是向量組組成的矩陣的秩.通過這一系列的推導可以看出，線性相關性、極大無關組與矩陣的秩之間存在著重要聯(lián)系，學生在學習過程中應該著重注意這一點.

五、結束語

目前的大學線性代數(shù)課堂中，很多教師過分追求計算方法和技巧的講解，而忽視了對相關概念的具體分析，導致很多學生雖然習題計算能力較強，但沒有對學科的內容本身有一個系統(tǒng)的認識，這顯然是本末倒置的.線性代數(shù)學科的教學應該緊緊圍繞線性空間和線性變換這一主線，對相關概念的解釋也應由空間內的向量間的關系發(fā)起，這樣才能使學生從根本上理解線性代數(shù)的數(shù)學意義和實際功能，有助于學生加深對線性代數(shù)的理解及對數(shù)學的熱愛.

【參考文獻】

[1]田翔.線性代數(shù)中幾個抽象概念的教學反思[J].科技經(jīng)濟導刊，2017（24）：153.

[2]黃學軍.相關關系和相關系上的基[J].樂山師范學院學報，2016（12）：6-9.

[3]張旻嵩，池召艷.利用線性方程組直觀理解線性代數(shù)的基本概念[J].科技視界，2016（21）：71.

[4]劉丹丹，劉威.線性代數(shù)中幾個核心概念的內部聯(lián)系及深入解析[J].黑龍江科技信息，2010（26）：163.