楊 燕 妮

(喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844006)

基于行最簡階梯型的化學方程式配平法

楊 燕 妮

(喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844006)

對文獻[1]利用矩陣代數(shù)配平化學方程式的方法給予了理論證明，即最終得到的解構成矩陣的零空間。因此，其解可能有無窮多。此外，將文獻[1]化簡矩陣為階梯型改進為行最簡階梯型，并指出在化簡矩陣為階梯型時，只能使用行變換。重要的是，可直接利用Matlab軟件來替代手工操作，避免用蠻力來執(zhí)行這些行變換。

質量守恒定律；化學方程式；初等行變換行；零空間；行最簡階梯型

化學反應是指反應物和生成物的符號表示形式，它們通常位于某一特定化學方程式的左右兩側?；瘜W反應有些是可逆的，但也有不可逆的[2]。由于化學反應式的反應物和生成物是用單箭頭(反應不可逆的情況)或雙箭頭(反應可逆的情況)連接的，從這個意義上講，它們不同于用等號連接左右兩邊的數(shù)學方程。估計化學過程中反應物數(shù)量的定量與定性知識，預測生成物的性質、數(shù)量和確定反應發(fā)生的條件，在配平化學反應式中非常重要。

如果左側每種類型元素的原子數(shù)與右側相應類型的原子數(shù)相同，那么稱化學方程式平衡，否則稱為不平衡[3]。在化學反應中，對反應物之間關系的定性研究稱為化學計量[3]。總結配平化學反應式的觀察法、代數(shù)法等眾多方法的優(yōu)缺點。簡單地說，觀察法要對涉及使等式相等的系數(shù)進行不斷的猜測，直到方程平衡為止。代數(shù)法可以規(guī)避觀察法的缺陷，所以在配平復雜化學反應式中作用較大。但是它的依據(jù)何在呢？

代數(shù)法實際上就是解齊次線性方程組。為此，可寫出齊次線性方程組的矩陣(一般是稀疏矩陣)形式。因線性方程組是齊次的，故求得的解在相應矩陣的零空間中。然后，對矩陣執(zhí)行初等行變換，將其化簡為行最簡階梯型。本文還介紹了利用Matlab軟件的rref命令將相應矩陣化簡為行最簡階梯型。

本文給出的基于行最簡階梯型的配平化學反應式法，是揭示線性代數(shù)和化學計量原理之間相互聯(lián)系的一個典型范例。

1 方法

關于階梯型和最簡階梯型矩陣的相關結論，在大多數(shù)《線性代數(shù)》教科書中很容易找到。為此，本節(jié)只陳述結論，而不予證明。

引理1.1[4-5]由于矩陣的行秩等于列秩，所以對矩陣A施行初等行變換所產(chǎn)生的任何階梯型矩陣的非零行和列的數(shù)目是相同的，與所使用的行變換順序無關。

給定一個n×m階矩陣A，化簡其為行最簡階梯型的一般步驟為:

(1) 利用高斯消去法由A可產(chǎn)生一個階梯形式。

(2) 在階梯型的每個引導列中，使用最下面的非零元素1，從最右邊的引導列開始向左施行初等變換，以便消去該列以上的所有非零元。

定義1.1[4-5]一個n×m階矩陣A稱為行最簡階梯型(簡記為rref)，如果:

(1)它是階梯型的(比方說，有k個非零行)；

(2)對1≤i≤k，階數(shù)為p的單位矩陣的第i個引導列等于ei。

行最簡階梯型的唯一性是尋找矩陣零空間的基本遵循。

定理1.1[4-5](行最簡階梯型)通過初等行變換，每個矩陣只有一個行最簡階梯型，它與所使用的初等行變換順序無關。

2 實例

例2.1 當鐵和氧之間發(fā)生化學反應時形成銹。該化合物是覆蓋在鐵表面的紅褐色鱗片。銹是分子式為Fe2O3的一種氧化鐵，所以鐵銹的化學反應式是

Fe+O2=Fe2O3,

配平該化學反應式。

解:設未知數(shù)p、q、r使配平的化學方程式為

pFe+qO2=rFe2O3，

比較反應物與生成物鐵(Fe)和氧(O)的原子數(shù)量，由質量守恒原理，可得

Fe:p=2r;O:2q=3r。

于是，齊次線性方程組為

從上式可以看出，矩陣A已形成階梯型U，其中兩個主元分別是1和2，但它還不是行最簡階梯型。因為行最簡階梯型R的所有主元必須是1。于是，用第2行的一半替換第2行，即R2?R2/2，可得

(1)

于是，Rx=0變成

展開后，有p-2r=0或p=2r；q-3r/2=0或q=3r/2。

因此，零空間的解為

(2)

可見，解有兩個軸變量p、q和1個自由變量r。若取r=1，則p=2，q=3/2。為避免出現(xiàn)分數(shù)，也可取r=2，從而p=4、q=3、r=2。注意到，因r是自由變量，故解(1)不唯一，即零空間的解有無限多。因此，化學方程式可配平為

2Fe+(3/2)O2=Fe2O3或4Fe+3O2=2Fe2O3。

為了讓非數(shù)學專業(yè)學生看得更清楚，將化簡矩陣為行最簡階梯型的步驟寫的比較細，即A→R即可。下面的例子也一樣。同時，為了驗證方法的正確性，列舉了幾個經(jīng)典化學反應式。

例2.2 氫氧化鈉(NaOH)與硫酸(H2SO4)反應產(chǎn)生硫酸鈉(Na2SO4)和水，即

NaOH+H2SO4→Na2SO4+H2O。

配平該化學反應式。

解:設未知數(shù)p、q、r、s滿足

pNaOH+qH2SO4→rNa2SO4+sH2O

的未知變量。比較反應物和生成物中鈉(Na)、氧(O)、氫(H)和硫(S)原子的數(shù)量，可得方程組:

Na:p=2r；O:p+4q=4r+s；H:p+2q=2s；S:q=r。

以標準形式重寫這些方程，可得p、q、r和s的齊次線性方程組Ax=0，或表為

增廣矩陣變?yōu)?

因右手邊是零向量，故可對矩陣A實施操作，因為任何行變換都不會改變0。

用第1行加第3行的2倍替換第1行，即R1?R1+2R3；用第2行加第3行的1/2倍替換第2行，即R2?R2+R3/2。這兩個變換將主元上方的所有非零元化為了零，于是得到行最簡階梯型R：

(3)

求解Ax=0簡化為求解Rx=0，其中x實際上是A的零空間，它與R的零空間等價。因此，

展開后，有

p-s=0或p=s；p-s/2=0或p=s/2；r-s/2=0或r=s/2。

于是，零空間解為

零空間解中有3個軸變量p、q、r和1個自由變量s。若取s=2，則p=2、q=1、r=1。注意到，這不是唯一解，因為有一個自由變量s，所以零空間解有無窮多。因此，化學方程式可“配平”為

2NaOH+H2SO4→Na2SO4+2H2O。

3 命令

本節(jié)利用數(shù)學軟件化簡矩陣為行階梯型。正如前面的理論所預測的那樣，對調行不改變行最簡階梯型的結果。這意味著，如果互換4個例子中矩陣的任何行，其行最簡階梯型都是相同的。

下例展示了Matlab軟件的rref命令的特殊功效。

例3.3 配平下面的化學反應式[6]

NaCl+SO2+H2O+O2→Na2SO4+HCl。

令未知系數(shù)為p、q、r、s、t、u且滿足

pNaCl+qSO2+rH2O+sO2→tNa2SO4+uHCl。

每個元素的平衡條件可寫為:Na:p=2t,Cl:p=u,S:q=t,O:2q+r+2s=4t,H:2r=u。

轉置后，上述方程組可寫p=2t成形如Ax=0的形式，即

利用Matlab或R=rref(A)命令，Ax=0化簡為Rx=0，即

取u=4，于是p=4,q=2,r=2,s=1,t=2。因此，配平的化學方程式為

4NaCl+2SO2+2H2O+O2→2Na2SO4+4HCl。

4 結 語

本文展示了如何利用行最簡階梯型來配平化學方程。實際上，只使用階梯形矩陣仍然可以得到相同的解，但將矩陣化簡為行最簡階梯型更便于推導出解。本文改進了Gabriel和Onwuka的工作，同時證明了Matlab軟件的rref命令不僅可以用來輸出最終結果，而且可用來驗證手算結果的正確性。

[1] Gabriel C I,Onwuka G I.Balancing of Chemical Equations Using Matrix Algebra[J].Journal of Natural Sciences Research,2015 (3):29-36.

[2] Soleiman F，Stanimirovic P S.Some Matrix Iterations for Computing Generalized Inverses and Balancing Chemical Equations[J].Algorithms,2015,8(4):982-998.

[3] 古國榜,李樸編.無機化學[M].4版.北京:化學工業(yè)出版社,2015:6-25.

[4] 王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].5版.北京:高等教育出版社,2009:96-160.

[5] 謝彥紅.線性代數(shù)及其MATLAB應用[M].北京:化學工業(yè)出版社,2014:55-64.

Method of Balancing Chemical Equations Based on Row Reduced Echelon Form

YANG Yanni

(Kashgar University， Kashgar 844006,China)

The theoretical proof of on the article [1] by using the method of matrix algebra for balancing chemical equations is given,that is,the resulting solution form null-space. Therefore,the solution may have an infinite number. In addition,the reducing matrix for ladder type of the article [1] is transformed into the row reduced echelon,and it is pointed out that the elementary row operation can be used only for reducing matrix for ladder type. It is more important that the manual operation can be replaced by using Matlab software to avoid the unnecessary trouble.

conservation of mass;chemical equation;elementary row operation;null-space;row reduced echelon form

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.03.022

O151

A

1674-5403(2017)03-0089-05

2017-05-02

楊燕妮(1989-)，女，甘肅平?jīng)鋈耍谧x碩士研究生,主要從事代數(shù)方面的研究.