強玉霞，張正成，溫九紅

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

一類溫儲備系統(tǒng)的剩余壽命及休止時間

強玉霞，張正成，溫九紅

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

本文討論了由正常工作元件與溫儲備元件構(gòu)成的溫儲備系統(tǒng)。在條件min(X,Y)=t下得到溫儲備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)；在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，推導(dǎo)了系統(tǒng)剩余壽命及休止時間的可靠性函數(shù)，并且考慮了元件壽命與系統(tǒng)剩余壽命(休止時間)的關(guān)系。

隨機序；溫儲備系統(tǒng)；剩余壽命；休止時間

研究可靠性工程主要的目的是提高系統(tǒng)的有效性與可靠性。給系統(tǒng)配置溫儲備元件是一種提高系統(tǒng)性能的有效方法。溫儲備是指元件在儲備狀態(tài)時是在溫和的環(huán)境下工作，相較于正常工作的元件失效率較低。之前很多學者研究了各種系統(tǒng)的剩余壽命與休止時間，如Asadi[1]、Khaledi[2]、Hashemi[3]、Zhang[4]。 2002年，Bairamov[5]研究了具有并聯(lián)和串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剩余壽命函數(shù)；2003年，Li和Lu[6]考慮了并聯(lián)和串聯(lián)系統(tǒng)剩余壽命的隨機比較；2011年，Zhang[7]研究了n中取k系統(tǒng)的條件剩余壽命；2013年，Zhang[8]考慮了協(xié)同系統(tǒng)的剩余壽命與休止時間的可靠性函數(shù)。

本文討論了由溫儲備元件與正常工作元件組成的溫儲備系統(tǒng)。首先在條件min(X,Y)=t下得到溫儲備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)，比較了兩個元件的剩余壽命；其次在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，推導(dǎo)出系統(tǒng)剩余壽命與休止時間的可靠性函數(shù)，考慮了元件壽命不同對系統(tǒng)剩余壽命及休止時間的影響。

(c)若H(x)/K(x)單調(diào)遞減，則稱M在反失效率序意義下小于N(表示為M≤rhN)。

1 主要結(jié)論

定理1 當min(X,Y)=t時，對任意的t≥0,x≥0，有

(a)溫儲備系統(tǒng)中正常工作元件的剩余壽命函數(shù)為

(1)

(b)溫儲備系統(tǒng)中溫儲備元件的剩余壽命函數(shù)為

(2)

證明：(a)當xx|min(X,Y)=t)=1。當x≥t時，有

引理1[11]假設(shè)M、N是兩個連續(xù)或離散的獨立隨機變量，對任意的t≥0，M≤hrN當且僅當(M|min(M,N)=t)≤hr(或者≤st)(N|min(M,N)=t)。

下面的定理說明引理1的結(jié)論可以推廣到溫儲備系統(tǒng)中。

定理2X和Y是相互獨立且連續(xù)的隨機變量，對任意的t≥0，則Y≤hrX當且僅當(Y|min(X,Y)=t)≤hr(或者≤st)(X|min(X,Y)=t)。

證明：(必要性)對任意的t≥0,x≥0，由式(1)和式(2)可得

當x≥t時，

充分性由引理1即可得。 一般隨機序的證明與失效率序的證明相同，此處省略。

對任意的t≥0，在溫儲備系統(tǒng)中較弱元件在t時仍然存活的情況下，考慮此時系統(tǒng)的剩余壽命。即(T(X,Y)-t|min(X,Y)≥t)。

定理3 (T(X,Y)-t|min(X,Y)≥t)的可靠性函數(shù)為

(3)

證明：對任意的t≥0,x≥0，有

定理4 對任意的t≥0，有

(a)若X1≤hrX2，則(T(X1,Y)-t|min(X1,Y)≥t)≤st(T(X2,Y)-t|min(X2,Y)≥t)；

(b)假設(shè)對任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)且u-ω(u)單調(diào)遞增。 若Y1≤hrY2，則

(T(X,Y1)-t|min(X,Y1)≥t)≤st(T(X,Y2)-t|min(X,Y2)≥t)。

(T(X1,Y)-t|min(X1,Y)≥t)≤st(T(X2,Y)-t|min(X2,Y)≥t)。

接下來考慮了溫儲備系統(tǒng)在時刻t≥0時的休止時間，即(t-T(X,Y)|max(X,Y)≤t)。

定理5 對任意的t≥0,x≥0，(t-T(X,Y)|max(X,Y)≤t)的可靠性函數(shù)為

證明：對任意的t≥0,x≥0，有

其中:P(T(X,Y)≤t-x,max(X,Y)≤t)=P(Y≤t-x,Xμ≤t)+P(Y+X*≤t-x,Y

定理6 對任意的t≥0，有

(a)假設(shè)對任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)，若X1≤rhX2且X1≤hrX2，則

(t-T(X1,Y)|max(X1,Y)≤t)≥st(t-T(X2,Y)|max(X2,Y)≤t)；

(b)假設(shè)對任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)且u-ω(u)單調(diào)遞增。 若Y1≤rhY2，則

(t-T(X,Y1)|max(X,Y1)≤t)≥st(t-T(X,Y2)|max(X,Y2)≤t)。

證明: (a)對任意的t≥0,x≥0，有

(b)的證明與定理4(b)的證明類似，此處省略。

2 結(jié) 語

本文討論了由溫儲備元件與正常工作元件組成的溫儲備系統(tǒng)。在條件min(X,Y)=t下考慮了溫儲備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)，比較了兩個元件的剩余壽命，得到正常工作元件的剩余壽命比溫儲備元件的短；在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，得到了溫儲備系統(tǒng)剩余壽命及休止時間的可靠性函數(shù)，并且考慮了元件壽命與系統(tǒng)剩余壽命及休止時間的關(guān)系，得到系統(tǒng)中兩個元件的壽命在失效率意義下減小，則該元件對應(yīng)的整個系統(tǒng)的剩余壽命也會減少，而休止時間增大。

[1] Asadi M,Bairamov I.A note on the mean residual life function of a parallel system[J]. Communication in Statistics-Theory and Methods,2005(34):475-484.

[2] Hashemi M,Tavangar M,Asadi M.Some properties of the residual lifetime of progressively Type-Ⅱ right censored order statistics[J].Statistics and Probability Letters,2010(80):845-859.

[3] Khaledi B,Shaked M.Ordering conditional lifetimes of coherent systems[J].Journal of Statistical Planning Inference,2007(137):1173-1184.

[4] Zhang Z C,Yang Y.Ordered properties on the residual life and inactivity time of (n-k+1)-out-of-n systems under double monitoring[J].Statistics and Probability Letters,2010(80):711-717.

[5] Bairamov I,Ahsanullah M,Akhundov I.A residual life function of a system having parallel or series structures[J].J Stat Theory Appl,2002,1(2):119-132.

[6] Li X H,Lu J Y.Stochastic comparisons on residual life and inactivity time of series and parallel systems[J].Probability in the Engineering and Informational Sciences,2003(17):267-275.

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[10] Shaked M,Shanthikumar J G.Stochastic Orders[M].New York:Springer,2007:78-86.

[11] Shaked M,Shanthikumar J G.Stochastic Orders and Their Applications[M].California:Academic Press,2007:32-45.

Residual Life and Inactivity Time of the Warm Standby System

JIANG Yuxia,ZHANG Zhengcheng,WEN Jiuhong

(Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

This article discussed the warm standby system composed of normal component and warm standby component. Under the condition min(X,Y)=t，the residual life reliability function of the surviving elements in the warm standby system is considered. Under the condition of the weaker component is still alive in the system，the reliability function of the residual life and inactivity time is deduced. The relationship between the life of component and the residual life (inactivity time) of the system is considered.

stochastic order;warm Standby System;residual Life;inactivity Time

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.03.020

O213.2

A

1674-5403(2017)03-0079-05

2017-04-05

強玉霞(1994-)，女，甘肅隴南人，在讀碩士研究生，主要從事系統(tǒng)可靠性方面的研究.

國家自然科學基金項目(71361020).