王路

摘 要：數(shù)形結合是高中數(shù)學教學中一個重要的思想方法，其實質就是把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，達到揭示數(shù)學問題本質的目的。本文結合幾道典型的題目淺談數(shù)形結合思想在高中數(shù)學集合中的應用。

關鍵詞：數(shù)形結合；高中數(shù)學；集合；思想方法

數(shù)形結合作為一種重要的數(shù)學思想方法，已經(jīng)滲透到數(shù)學的每個模塊，在新課標下的高中數(shù)學教材中，大部分章節(jié)都滲透了這種思想，如集合、三角函數(shù)、圓錐曲線、不等式、平面幾何及立體幾何等。它可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學問題的本質。筆者認為在教學過程中教師要在潛移默化中逐漸滲透數(shù)形結合思想方法，把“無形的”思想貫穿在“有形的”數(shù)學教學中，學生才能全面發(fā)展。本文結合高中數(shù)學第一章集合模塊的知識和題型分類，談一談這種方法的靈活應用。

一、研究意義

集合是高一新生入學學習的第一章內容，是非?；A和重要的，而本章集合的學習，抽象度較高，學生理解起來較為困難。運用數(shù)形結合思想解決集合問題，可以使集合的并、交、補關系直觀形象地顯示出來，并且有利于運算。本章中數(shù)形結合主要體現(xiàn)在用Venn圖及數(shù)軸解決有關問題。Venn圖經(jīng)常用來處理較為具體的集合問題，即集合中的元素已經(jīng)明確標出。而數(shù)軸用來處理以不等式表示的集合問題，可以將兩個集合的關系標示在數(shù)軸上，將集合之間的運算轉化為不等式之間的運算。

二、數(shù)形結合解決集合問題

1.利用Venn圖解決集合問題

例1 （北師大版數(shù)學必修一習題1-3B組2）某學校先后舉辦了多個學科的實踐活動，高一（1）班有50名同學，其中30名同學參加了數(shù)學活動，26名同學參加了物理活動，15名同學同時參加了數(shù)學、物理兩個學科的活動，這個班有多少同學既沒有參加數(shù)學活動，也沒有參加物理活動？

解法一：參加了數(shù)學活動沒有參加物理活動的人數(shù)有30-15=15（人）。

參加了物理活動沒有參加數(shù)學活動的人數(shù)有26-15=11（人）。

所以，參加活動的人數(shù)有15+11+15=41（人）。

所以，這個班既沒有參加數(shù)學活動也沒有參加物理活動的人數(shù)有50-41=9（人）。

解法二：設集合U={高一（1）班全體學生}，集合A={參加數(shù)學活動的人}，集合B={參加物理活動的同學}，用對應小寫字母表示該區(qū)域集合中元素的個數(shù)，如圖1所示，

解得：a=15，b=11，c=15，

則參加活動的人數(shù)有15+11+15=41（人），

所以，這個班既沒有參加數(shù)學活動，也沒有參加物理活動有50-41=9（人）。

題后感悟：對于第一種解法，數(shù)量關系較為復雜，很難理清其中的思路。如果活動數(shù)目從兩種活動增加到三種甚至更多時，這種方法就更為困難。而解法二中分別把參加數(shù)學、物理活動的人看成一個集合，用Venn圖表示這些集合，我們可以很容易地從圖中得到一些等量關系，通過解方程得到答案。

2.利用數(shù)軸解決由不等式標出的集合間的交集、并集、補集問題

題后感悟：對于這種由不等式表出的集合，把它們表示在數(shù)軸上，能更加直觀地刻畫集合之間的關系，使我們解題更加快速準確。

三、反思

數(shù)形結合思想方法除了可以解決集合方面的問題，還可以解決三角函數(shù)、圓錐曲線、不等式等問題，至于較為復雜的解析幾何及立體幾何問題，則是將數(shù)形結合問題更加直接利用，使學生更加容易理解立體幾何問題。而伴隨著新課改的新要求，高考數(shù)學命題越來越傾向于考查知識的多變性、深刻性與豐富性，注重考查學生的創(chuàng)造性與發(fā)散性思維，在題目的設計上更具開放性。數(shù)形結合思想在解決高考數(shù)學題目時是一種常用方法和技巧，特別是在解決選擇題及填空題時，因為這些題目不要求解題步驟，數(shù)形結合運用得好可以達到事半功倍的效果。而數(shù)形結合也成為每年高考必考方法之一。因此，在平時的數(shù)學教學與題目訓練中，筆者認為教師應該認真分析數(shù)形結合與高中數(shù)學的結合點，通過數(shù)形結合方法引導學生思維方式由靜態(tài)到動態(tài)的變化，幫助學生分析數(shù)形結合常見使用和分類，做到舉一反三，達到事半功倍的教學效果，更進一步地提高學生分析問題、解決問題的能力，使學生做到“腦中有圖，見數(shù)想圖，看圖得數(shù)”，進而提升學生的抽象思維能力。如果在考場上可以做到“能從數(shù)量關系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，能從圖形特征中得到數(shù)量關系”，那么就可以大大節(jié)省時間，一些題目也可以得到迅速而精確的解答。

參考文獻：

1.徐國央.數(shù)形結合在數(shù)學解題中的應用[J].寧波教育學院學報，2009（11）.

2.任樟輝.數(shù)學思維理論[M].西寧：廣西教育出版社，2001.

（作者單位：陜西省西安市八一民族中學）endprint