穆翔栩 關(guān)國(guó)業(yè) 張博文 林 方

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的多種運(yùn)動(dòng)模式

穆翔栩1)關(guān)國(guó)業(yè) 張博文 林 方2)

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

將一個(gè)輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤(pán)等)釋放于水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)上，旋轉(zhuǎn)體可能存在多種不同類型的運(yùn)動(dòng)軌跡，探究了其中4種運(yùn)動(dòng)模式.在純滾動(dòng)假設(shè)前提下，建立了旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué)方程并數(shù)值求解，分別得出不同模式下旋轉(zhuǎn)體的運(yùn)動(dòng)軌跡及軌跡特征參數(shù)，并進(jìn)行了定量實(shí)驗(yàn)對(duì)比.還提出并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了一個(gè)發(fā)現(xiàn)，即不論旋轉(zhuǎn)體處于何種運(yùn)動(dòng)模式，其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的相位角周期都將收斂于一個(gè)由旋轉(zhuǎn)體形狀、大小和質(zhì)量分布決定的極限值.

旋轉(zhuǎn)體,轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán),滾動(dòng)摩擦,質(zhì)心相位角

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤(pán)等)在勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的運(yùn)動(dòng)存在多種不同類型的軌跡，該類問(wèn)題在20世紀(jì)70年代末開(kāi)始被深入研究.1979年，Weltner[1]首先研究了不考慮滾動(dòng)摩擦的情況，得到了旋轉(zhuǎn)體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)周期與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)周期成正比的結(jié)論.1981年，Burns[2]將勻速轉(zhuǎn)盤(pán)上球體的運(yùn)動(dòng)與帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了類比.1985年，Voyenli等[3]研究了冰球在轉(zhuǎn)盤(pán)上純滾動(dòng)與純滑動(dòng)這兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài).1987年，Weltner[4]以旋轉(zhuǎn)圓錐面代替水平轉(zhuǎn)盤(pán)，探究了球體在錐面上的運(yùn)動(dòng)模式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和證明了球體出現(xiàn)向圓心靠近的螺旋運(yùn)動(dòng)模式是滾動(dòng)摩擦作用的結(jié)果，據(jù)此設(shè)計(jì)了一種測(cè)量滾動(dòng)摩擦系數(shù)的新方法.1992年，Gersten等[5]針對(duì)球體提出了一種滾動(dòng)摩擦作用的新原理并應(yīng)用于轉(zhuǎn)盤(pán)上球體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析中.1994年，Sokirko等[6]進(jìn)一步針對(duì)環(huán)狀物在勻速轉(zhuǎn)盤(pán)上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬，得到了不同初始條件下環(huán)狀物的不同運(yùn)動(dòng)模式.1995年，Ehrlich等[7]對(duì)勻速轉(zhuǎn)盤(pán)上的球體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬.1996年，Soodak等[8]從滾動(dòng)摩擦入手，對(duì)該力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了攝動(dòng)分析.1997年，Weckesser[9]從能量角度推導(dǎo)得到了球體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的理論軌跡.此后，在2011年，M′unera[10]對(duì)勻速轉(zhuǎn)盤(pán)上球體的部分運(yùn)動(dòng)模式相圖進(jìn)行了數(shù)值模擬.2015年，Agha等[11]研究了球體運(yùn)動(dòng)始終不離開(kāi)勻速轉(zhuǎn)盤(pán)的初值限制范圍.

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在勻速旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)上存在多種運(yùn)動(dòng)模式，通過(guò)研究其運(yùn)動(dòng)特性，可以設(shè)計(jì)出精確測(cè)量滾動(dòng)摩擦系數(shù)、滑動(dòng)摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等物理量的新方法.因此，該問(wèn)題在工程應(yīng)用上具有研究?jī)r(jià)值.勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題亦出現(xiàn)在2016年第29屆國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽 (29th International Young Physicists’Tournament)上.圖1展現(xiàn)了乒乓球在水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的兩種運(yùn)動(dòng)模式：圓周運(yùn)動(dòng)和螺旋向外運(yùn)動(dòng).

本文主要內(nèi)容包括：(1)通過(guò)純滾動(dòng)假設(shè)，建立了描述旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica求解得到了旋轉(zhuǎn)體可能存在的4種運(yùn)動(dòng)類型;(2)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，采用物體追蹤軟件Tracker記錄旋轉(zhuǎn)體的運(yùn)動(dòng)軌跡，并將之與相同參數(shù)、相同初始條件下理論計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)軌跡做對(duì)比;(3)本文還發(fā)現(xiàn)一個(gè)新現(xiàn)象，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的旋轉(zhuǎn)體無(wú)論做何種運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD，其中ωD為轉(zhuǎn)盤(pán)角速度，無(wú)量綱常數(shù)γ則取決于旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I、質(zhì)量m和最大半徑R.

圖1 乒乓球在水平轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁制圓盤(pán)上滾動(dòng)

1 理論分析

以水平轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向上方向?yàn)?z軸，建立柱坐標(biāo)系 (r,θ,z)，如圖 2所示.其中，3個(gè)方向的單位矢量分別為er,eθ和ez.假設(shè)旋轉(zhuǎn)體(球體、圓盤(pán)、圓環(huán)等)在初始時(shí)刻滾動(dòng)角速度 ω0指向原點(diǎn) O，且旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤(pán)上進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)始終為純滾動(dòng)(無(wú)滑滾動(dòng))，即滿足關(guān)系

其中，ω0和r0分別為初始時(shí)刻旋轉(zhuǎn)體滾動(dòng)角速度與質(zhì)心位矢；ωD為轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，ω為旋轉(zhuǎn)體相對(duì)質(zhì)心的滾動(dòng)角速度；r為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心位矢；v為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度，R 為旋轉(zhuǎn)體的半徑矢量，方向從質(zhì)心指向旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤(pán)的接觸點(diǎn).由純滾動(dòng)假設(shè)可知，ω不存在z軸分量.

圖2 本文所研究系統(tǒng)的坐標(biāo)系選取及描述其運(yùn)動(dòng)的物理量

根據(jù)牛頓第二定律和角動(dòng)量定理，摩擦力作用下的旋轉(zhuǎn)體應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)方程[12-13]

其中，f和τ分別為轉(zhuǎn)盤(pán)對(duì)旋轉(zhuǎn)體的靜摩擦力和滾動(dòng)摩擦力矩.將式(2)等號(hào)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

引入無(wú)量綱數(shù)γ[5]，令

聯(lián)立式(3)和式(7)，消去f并代入γ可得

旋轉(zhuǎn)體所受滾動(dòng)摩擦力矩τ的大小與轉(zhuǎn)盤(pán)的壓力N成正比[8]，即

其中μr為描述滾動(dòng)摩擦的相關(guān)系數(shù)，由旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤(pán)表面材質(zhì)決定；N=mg為轉(zhuǎn)盤(pán)對(duì)旋轉(zhuǎn)體支持力大小.考慮到柱坐標(biāo)系下的變換關(guān)系[13]

將式 (10)和式 (11)代入式 (9)，由等式兩邊 er和eθ方向分量分別相等，可得極坐標(biāo)平面下旋轉(zhuǎn)體滿足的微分方程組

其中r和θ分別為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心在極坐標(biāo)系下的極徑和極角 (質(zhì)心相位角).對(duì)方程組 (12)進(jìn)行數(shù)值求解，即可得到旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤(pán)上運(yùn)動(dòng)的理論軌跡及其他特征參數(shù).

2 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本課題實(shí)驗(yàn)選用型號(hào)為 2815的航模電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力，供電采用2200mAh直流電池，并用40A電子調(diào)速器控制電機(jī)速度，以帶動(dòng)直徑 40cm 的圓盤(pán)水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)并可實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速.實(shí)驗(yàn)以乒乓球和實(shí)心彈性球作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行探究.

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3(a)所示.實(shí)驗(yàn)中，將幀率為30的攝影設(shè)備固定在距離轉(zhuǎn)盤(pán)中心正上方60cm處拍攝球體的運(yùn)動(dòng).攝影設(shè)備已通過(guò)網(wǎng)格紙測(cè)試以保證所用焦段沒(méi)有鏡頭畸變，如圖3(b)所示.將所錄制視頻導(dǎo)入物體追蹤軟件Tracker進(jìn)行處理，通過(guò)追蹤旋轉(zhuǎn)體的運(yùn)動(dòng)，即可獲得其質(zhì)心速度等運(yùn)動(dòng)參量.

圖3

作為本文的一個(gè)重要前提假設(shè)，當(dāng)要求球體進(jìn)入圓盤(pán)的質(zhì)心初速度為0時(shí)，初始純滾動(dòng)條件可以通過(guò)如下方法實(shí)現(xiàn)：先使用自制紙槽將球體約束在轉(zhuǎn)盤(pán)某一位置隨轉(zhuǎn)盤(pán)滾動(dòng)，此時(shí)乒乓球在約束點(diǎn)上只存在定點(diǎn)滾動(dòng)而沒(méi)有質(zhì)心初速度.當(dāng)球體達(dá)到穩(wěn)定滾動(dòng)后，撤除紙槽，即可達(dá)成純滾動(dòng)的初始條件.當(dāng)要求球體進(jìn)入質(zhì)心的初速度不為0時(shí)，初始純滾動(dòng)條件無(wú)法達(dá)成，小球進(jìn)入圓盤(pán)之后會(huì)經(jīng)歷很短一段時(shí)間的有滑滾動(dòng)而后再進(jìn)入無(wú)滑滾動(dòng).

球體進(jìn)入圓盤(pán)的質(zhì)心初速度取值則可通過(guò)如下方法獲得：利用一個(gè)與圓盤(pán)正好接觸的靜止傾斜軌道引導(dǎo)球體滾進(jìn)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)；通過(guò)改變球體釋放高度和滑軌方向，即可大致控制球體質(zhì)心初始速度大小及方向.精確的初速度大小與方向可通過(guò)Tracker讀取.

2.2 球體運(yùn)動(dòng)模式

通過(guò)改變初值條件和參數(shù)，借助 Mathematica對(duì)方程組(12)進(jìn)行數(shù)值求解，在不考慮空氣阻力的情況下，可以從理論上得到4種不同類型的運(yùn)動(dòng)模式.

當(dāng)滾動(dòng)摩擦不可忽略時(shí)，可能存在兩種運(yùn)動(dòng)模式:

(1)球體做先靠近轉(zhuǎn)盤(pán)中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng)；

(2)球體做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng).

當(dāng)滾動(dòng)摩擦可以忽略時(shí)，也可能存在兩種運(yùn)動(dòng)模式:

(1)若球體質(zhì)心初速度不為0，球體滾動(dòng)的同時(shí)質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

(2)若球體質(zhì)心初速度為0，球體做定點(diǎn)滾動(dòng)，即其質(zhì)心位置將保持不變.

下面分別對(duì)4種運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與理論的對(duì)比.使用Tracker測(cè)量球體釋放時(shí)的初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)，將其代入式(12),得到該初始值下的數(shù)值解，然后將數(shù)值模擬得到的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)驗(yàn)追蹤的軌跡進(jìn)行比較.下面以乒乓球?yàn)槔M(jìn)行比較分析，實(shí)心球的結(jié)果與之類似.實(shí)驗(yàn)中用到兩種鋁盤(pán)，一種是表面呈磨砂質(zhì)感的平整鋁盤(pán) (甲型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦不可忽略)，另一種則是表面經(jīng)過(guò)鏡面拋光處理的光滑平整鋁盤(pán)(乙型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦系數(shù)可視為0).乒乓球與轉(zhuǎn)盤(pán)之間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)通過(guò)擬合乒乓球質(zhì)心相位角速度曲線得到.實(shí)驗(yàn)軌跡與理論軌跡的對(duì)比分析如下:軌跡(A) 使用甲型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦不可忽略.乒乓球可能做先靠近轉(zhuǎn)盤(pán)中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng)，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)比情況如圖4所示.所用參數(shù)r0=0.055m,˙r0=?0.139m/s,θ0=4.603rad,˙θ0=0.723rad/s,ωD=15.8rad/s滾動(dòng)摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009，持續(xù)時(shí)間為5.91s.

軌跡 (B) 使用甲型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦不可忽略.乒乓球也可能做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng)，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)比情況如圖 5所示. 所用參數(shù) r0=0.017m,˙r0=0.079m/s,θ0=?1.959rad,˙θ0=9.058rad/s,ωD=12.0rad/s滾動(dòng)摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009，持續(xù)時(shí)間為7.98s.

圖5 滾動(dòng)摩擦不可忽略的運(yùn)動(dòng)軌跡(B)

圖5 滾動(dòng)摩擦不可忽略的運(yùn)動(dòng)軌跡(B)(續(xù))

軌跡(C) 使用乙型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤(pán)的質(zhì)心初速度不為 0，則乒乓球在滾動(dòng)的同時(shí)質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)比情況如圖 6所示所用參數(shù) r0=0.080m,˙r0=0.192m/s,θ0=0.476rad,˙θ0=?0.111rad/s,ωD=15.8rad/s,持續(xù)時(shí)間為2.33s.

軌跡(D)使用乙型鋁盤(pán)，滾動(dòng)摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤(pán)的初始質(zhì)心速度為0，乒乓球做定點(diǎn)滾動(dòng)，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)比情況如圖7所示.所用參數(shù)r0=0.078m,˙r0=0.001m/s,θ0=0.666rad,˙θ0=?0.000rad/s,ωd=15.8rad/s,持續(xù)時(shí)間為1.20s.

從圖4～圖7可以看出，雖然實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果符合得較好，但仍有3個(gè)問(wèn)題值得討論：

圖6 滾動(dòng)摩擦系數(shù)很小時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡(C)

圖7 滾動(dòng)摩擦系數(shù)很小時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡(D)

(1)從圖4可以看出，前期乒乓球的實(shí)驗(yàn)軌跡與理論軌跡較為吻合；但在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心運(yùn)動(dòng)階段，隨著軌跡半徑的增大，轉(zhuǎn)盤(pán)提供的靜摩擦力逐漸不能滿足乒乓球做無(wú)滑滾動(dòng)所需的向心力，因此實(shí)驗(yàn)中觀察到乒乓球出現(xiàn)明顯的離心滑動(dòng)現(xiàn)象，不再滿足理論模型中的純滾動(dòng)假設(shè)，因此乒乓球運(yùn)動(dòng)半徑逐漸增大并最終被甩出轉(zhuǎn)盤(pán)，實(shí)驗(yàn)軌跡后段與理論軌跡差別較大.

(2)從圖 5可以看出，乒乓球做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，實(shí)驗(yàn)軌跡的半徑小于理論值.這是由于理論計(jì)算忽略了空氣阻力，而隨著螺旋線半徑的增大，乒乓球運(yùn)動(dòng)線速度增大，空氣阻力的影響亦增大.空氣阻力使得乒乓球運(yùn)動(dòng)線速度小于理論值，離心趨勢(shì)下降，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)軌跡半徑比理論預(yù)期值偏小.

(3)通過(guò)理論計(jì)算可知，軌跡(C)和軌跡(D)其實(shí)是軌跡 (B)在滾動(dòng)摩擦系數(shù)為 0時(shí)的特殊形式.當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度不為 0時(shí)得到軌跡 (C)，而當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度為0時(shí)則得到軌跡(D).實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)期完全相符.

2.3 質(zhì)心相位角周期的收斂現(xiàn)象

除了存在多種類型的運(yùn)動(dòng)軌跡之外，旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心繞盤(pán)運(yùn)動(dòng)的角速度，即相位角速度亦存在有趣的現(xiàn)象.Weltner[1]在滾動(dòng)摩擦可忽略的基礎(chǔ)上，從理論上得到了旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)(軌跡(C))時(shí)圍繞圓心的角速度與轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)角速度的比值恒等于前文所述的無(wú)量綱數(shù)γ的結(jié)論.

本文在理論分析與數(shù)值模擬過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)滾動(dòng)摩擦不可忽略時(shí)，無(wú)論旋轉(zhuǎn)體是做先靠近轉(zhuǎn)盤(pán)中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng)(軌跡(A))，還是做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤(pán)中心的螺旋運(yùn)動(dòng) (軌跡 (B))，其質(zhì)心相位角速度 ωθ與轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)角速度 ωD的比值都將收斂于無(wú)量綱數(shù)γ.

用 Tracker讀數(shù)并做出實(shí)驗(yàn)軌跡 (A)和軌跡(B)的質(zhì)心相位角速度隨時(shí)間變化曲線，并與對(duì)應(yīng)的理論曲線相比較，如圖8所示.其中，藍(lán)色實(shí)線為理論曲線，藍(lán)色虛線為理論預(yù)測(cè)的角速度收斂極值γωD，紅點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn).從圖中可以看到，實(shí)驗(yàn)中球體的角速度在γωD附近波動(dòng)并逐漸收斂，與理論預(yù)期符合較好.然而，實(shí)驗(yàn)條件無(wú)法達(dá)到理論模型的理想情況，使得實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線存在一定的偏差.圖8(a)中，實(shí)驗(yàn)曲線相比理論曲線有一個(gè)整體的“滯后”，這是由于理論曲線采用的是無(wú)滑滾動(dòng)條件，即從初始時(shí)刻起，球體即在轉(zhuǎn)盤(pán)上做無(wú)滑滾動(dòng)；而實(shí)驗(yàn)中乒乓球在進(jìn)入轉(zhuǎn)盤(pán)的瞬間是不滿足無(wú)滑滾動(dòng)的，要經(jīng)過(guò)短時(shí)間的弛豫才能達(dá)到無(wú)滑滾動(dòng)(該圖對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)條件下，約需0.3s)，由此造成了曲線的整體“滯后”.乒乓球?qū)嶋H還受到一定的空氣阻力，并且質(zhì)心速度越大所受阻力越大，這在理論模型中被忽略了，因此造成了圖8(b)中實(shí)驗(yàn)曲線的周期比理論值略大且收斂速度低于理論值.最后，由于轉(zhuǎn)盤(pán)半徑有限，導(dǎo)致乒乓球運(yùn)動(dòng)時(shí)間較短，未能完全收斂到理論值γωD即被甩出轉(zhuǎn)盤(pán).盡管如此，實(shí)驗(yàn)曲線的特征與收斂趨勢(shì)仍然與理論曲線一致.由此，可以將本文提出的這一新發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論統(tǒng)一為：勻速水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的旋轉(zhuǎn)體無(wú)論做何種運(yùn)動(dòng)，其相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD.

圖8

為了進(jìn)一步驗(yàn)證這一新發(fā)現(xiàn)，本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)體做向外螺旋運(yùn)動(dòng)(軌跡(B))的情況，測(cè)量并驗(yàn)證轉(zhuǎn)盤(pán)以不同角速度 ωD轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的相位角速度ωθ符合理論預(yù)測(cè)公式ωθ=γωD.實(shí)驗(yàn)中采用摩擦系數(shù)較大的橡膠圓盤(pán)作為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)盤(pán)，并選用實(shí)心的橡膠球作為旋轉(zhuǎn)體.這是因?yàn)閷?shí)心橡膠球質(zhì)量遠(yuǎn)大于乒乓球，受到空氣阻力影響較小，而且橡膠球表面摩擦系數(shù)更大，更加符合達(dá)成軌跡B所需的滾動(dòng)摩擦系數(shù)較大的前提條件.

橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖 9所示. 由于實(shí)驗(yàn)中橡膠球的角速度時(shí)刻發(fā)生變化，因此在測(cè)量時(shí)選取橡膠球到達(dá)轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣前最后三個(gè)周期內(nèi)的角速度數(shù)據(jù)，計(jì)算其平均值(圖中紅色星號(hào))與不確定度(圖中誤差棒)，并將 (ωD,ωθ)數(shù)據(jù)以正比例函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擬合.從圖中可以看出，數(shù)據(jù)擬合度很高 (0.9931)，且擬合得到的 γ值(直線斜率)為0.2848，與實(shí)心球體的理論 γ值 =0.2857的相對(duì)誤差僅為0.32%.可見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)符合得很好.

圖9 橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度數(shù)據(jù)擬合圖

3 總結(jié)與討論

本文研究了勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在純滾動(dòng)假設(shè)前提下，得到描述旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)的微分方程組，而后利用Mathematica進(jìn)行數(shù)值求解，預(yù)測(cè)了4種不同的運(yùn)動(dòng)軌跡，并在實(shí)驗(yàn)中一一再現(xiàn).課題組還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滾動(dòng)摩擦不可忽略時(shí)，無(wú)論旋轉(zhuǎn)體處于何種運(yùn)動(dòng)模式，其質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤(pán)角速度的比值都將收斂于無(wú)量綱數(shù)γ.此結(jié)論對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的理論分析結(jié)果進(jìn)行了擴(kuò)展，并通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了擬合驗(yàn)證，是本文的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn).該發(fā)現(xiàn)可以為測(cè)量球類物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量提供一種新的思路和方法.

然而，本文的研究仍存在不足：(1)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的滾動(dòng)角速度有微小的z軸分量，不能完全滿足純滾動(dòng)假設(shè)，這點(diǎn)本文并未加以考慮；(2)不能準(zhǔn)確判斷旋轉(zhuǎn)體在何種條件下將出現(xiàn)有滑滾動(dòng)；(3)軌跡 (A)與軌跡 (B)的出現(xiàn)條件與旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)參量的初值、轉(zhuǎn)盤(pán)角速度、旋轉(zhuǎn)體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆有關(guān)系，本文并未分別探究具體的閾值區(qū)間；(4)對(duì)于質(zhì)量較輕的球體(如乒乓球)，空氣阻力造成的影響會(huì)隨著質(zhì)心速度的增大趨于明顯，并不能完全忽略.課題組將在后續(xù)工作中加以改進(jìn).

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O313.3,O311.2,O313.5

A

10.6052/1000-0879-16-348

2016-10-24收到第1稿，2017-01-02收到修改稿.

1)穆翔栩，四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2015級(jí)物理學(xué)類本科生.

2)林方,指導(dǎo)教師,通迅作者.E-mail:linfang@scu.edu.cn

穆翔栩,關(guān)國(guó)業(yè),張博文等.輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上的多種運(yùn)動(dòng)模式.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):523-529

Mu Xiangxu,Guan Guoye,Zhang Bowen,et al.Varied motion modes of light objects rolling on a horizontally rotating disk.Mechanics in Engineering,2017,39(5):523-529

(責(zé)任編輯:胡 漫)