第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）試題答案

出題學(xué)校：湖南大學(xué)

本試卷分為基礎(chǔ)題和提高題兩部分 滿(mǎn)分120分 時(shí)間3小時(shí)30分

說(shuō)明：個(gè)人賽獎(jiǎng)項(xiàng)分為全國(guó)獎(jiǎng)和賽區(qū)獎(jiǎng).全國(guó)獎(jiǎng)先以提高題得分為篩選標(biāo)準(zhǔn)，再按總得分排名，根據(jù)名次最終確定獲獎(jiǎng)人；賽區(qū)獎(jiǎng)直接按賽區(qū)內(nèi)總成績(jī)排名確定獲獎(jiǎng)人.全國(guó)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)人不再重復(fù)獲得賽區(qū)獎(jiǎng).

注意：答卷中各題所得的最后計(jì)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示或用小數(shù)表示均可.

基礎(chǔ)題部分(填空題，共60分)

一、(6分)如圖 1所示，正方體邊長(zhǎng)為 c，其上作用四個(gè)力F1,F2,F3,F4，各力大小之間的關(guān)系為F1=F2=Fa，F(xiàn)3=F4=Fb.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).

圖1

(2)(2分)若此力系√可簡(jiǎn)化為一個(gè)力，則Fa與Fb的數(shù)量關(guān)系為

(3)(2分)若Fa=Fb=√F，力系簡(jiǎn)化為一力螺

解答：

向點(diǎn)O簡(jiǎn)化

二、(6分)如圖2所示，兩勻質(zhì)輪A和B的質(zhì)量同為m，半徑同為r.輪 A位于水平面上，繞于輪B的細(xì)繩通過(guò)定滑輪C后與輪A的中心相連，其中CA段繩水平，CB段繩鉛直.不計(jì)定滑輪C與細(xì)繩的質(zhì)量，且設(shè)細(xì)繩不可伸長(zhǎng).系統(tǒng)處于鉛垂平面內(nèi)，自靜止釋放.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(重力加速度用g表示)

圖2

(1)(2分)若輪A既滾又滑，則系統(tǒng)的自由度數(shù)為(3)；

解答:

問(wèn)題(1)：3自由度.

問(wèn)題(2)：輪A平動(dòng).分析輪B，動(dòng)靜法求解：

以上結(jié)果或通過(guò)求解剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程得到.

圖3

三、(6分)桁架的桿件內(nèi)力可以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法、截面法以及虛位移原理進(jìn)行求解.如圖4所示，靜定平面桁架由水平桿、豎直桿和45?斜桿組成，在B處受固定鉸支座約束，A,C兩處由可水平運(yùn)動(dòng)的鉸支座支承.桁架上作用了3個(gè)大小同為F的載荷，試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).

圖4

(1)(2分)桿DH 的內(nèi)力為F (受拉)；

解答：

問(wèn)題(1)：對(duì)節(jié)點(diǎn)H，依節(jié)點(diǎn)法，有

圖5

問(wèn)題 (2)：

圖6

解法2--幾何靜力學(xué)方法，需要列多個(gè)平衡方程，下面列舉其中一種解法.

圖7

最后取節(jié)點(diǎn)B

四、(6分)如圖8所示，小車(chē)上斜靠著長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB，其傾角以θ表示.桿處于鉛垂平面內(nèi)，B端與小車(chē)壁光滑接觸，A端與小車(chē)底板的摩擦角為 ?m=30?.小車(chē)由動(dòng)力裝置驅(qū)動(dòng) (圖中未畫(huà)出)，沿水平直線軌道向左運(yùn)動(dòng)，且其運(yùn)動(dòng)可以被控制.小車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿AB相對(duì)于小車(chē)始終保持靜止，試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).

圖8

(2)(3分)若小車(chē)作加速度向右的減速運(yùn)動(dòng)，

若 60?≤ θ＜ 90?，則 a≤ g cotθ.

解答:

問(wèn)題 (1)：

幾何法求解：

圖9

解析法求解：

平衡方程

結(jié)合物理方程

可得結(jié)果.

問(wèn)題 (2)：

幾何法求解：

圖10

加速度a的上限由A點(diǎn)臨界滑動(dòng)確定

當(dāng)θ≥60?時(shí)，加速度a的上限由桿繞A點(diǎn)翻轉(zhuǎn)確定，所以amax=g cotθ.以上過(guò)程也可以采用解析法求解.

圖11

五、(6分)如圖 12所示，圓形細(xì)環(huán)管在相連部件(圖中未畫(huà)出)帶動(dòng)下沿水平直線軌道純滾動(dòng)，管內(nèi)有一小壁虎，相對(duì)于環(huán)管爬行，壁虎可被視為一點(diǎn)，在圖中以小球B代替.圖示瞬時(shí)，壁虎與環(huán)管的中心處于同一水平線上，壁虎相對(duì)環(huán)管的速率為 u，相對(duì)速度的方向朝下，相對(duì)速度大小的改變率等于0，環(huán)管中心O點(diǎn)的速度向右，速度大小也為u，加速度為0.環(huán)管中心圓的半徑等于R.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).√

圖12

(2)(2分)在此瞬時(shí)壁虎相對(duì)地面的加速度大小為4u2/R；

(3)(2分)在此瞬時(shí)壁虎在√相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡上所處位置點(diǎn)的曲率半徑為55R/8.

解答:

動(dòng)點(diǎn):小球；動(dòng)系:細(xì)圓環(huán)

圖13

則

aB=ae+ar+aC,為小球絕對(duì)加速度

圖14

六、(5分)圖15所示結(jié)構(gòu)中，鉛垂桿①和斜桿②均為彈性桿，斜桿②與水平線夾角為 θ，直角三角形ABC2為剛體，邊 BC2處于水平位置.現(xiàn)將 C1和C2聯(lián)結(jié)在一起，已知a,δ和θ，則求該兩桿軸力用到的

(1)(2分)平衡方程(桿①、桿②的軸力分別用FN1和 FN2表示)為 2FN1?FN2cosθ=0；

(2)(3分)變形條件方程(桿①、桿②的變形分別用 ?l1和 ?l2表示)為 ?l1+2?l2/cosθ=δ.

圖15

解答：(1)以三角形剛體為研究對(duì)象，ΣmB=0?2FN1?FN2cosθ=0.

圖16

(2)設(shè)三角形剛體繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)小角?，

∵ ?l2/cosθ=a?δ??l1=2a?

∴ ?l1+2?l2/cosθ=δ

七、(5分)一種能量收集裝置，可簡(jiǎn)化為圖17所示懸臂梁模型.梁AB長(zhǎng)l，彎曲剛度為2EI；梁BC和BD長(zhǎng)均為l，彎曲剛度均為EI.梁AB與梁BC和BD通過(guò)剛節(jié)點(diǎn)B連接，三梁均處于水平位置.梁和剛節(jié)點(diǎn)B的重量均不計(jì).梁BC和BD端部固定有重量均為W 的物塊，該兩梁之間有小間隙.則梁端D的撓度與物塊重量之比f(wàn)D/W=8l3/(3EI).

圖17

解答

其中

八、(6分)已知一危險(xiǎn)點(diǎn)的單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，最大切應(yīng)變?chǔ)胢ax=5×10?4，通過(guò)該點(diǎn)相互垂直的微截面上正應(yīng)力之和為28MPa.若材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25.則

(1)(3分)該點(diǎn)主應(yīng)力 σ1=54MPa，σ2=0MPa，σ3= ?26MPa；

(2)(3分)用最大切應(yīng)力強(qiáng)度理論校核時(shí)相當(dāng)應(yīng)力σr3=80MPa.

所以σx?σy=2×5×104×0.8×105=80MPa，又 σx+σy=28MPa，解得：σ1=54MPa，σ2=0，σ3= ?26MPa；于是σ=2τ=80MPa.r3max

九、(6分)圖18所示剛架中，水平梁為剛桿，豎直桿①、②均為細(xì)長(zhǎng)彈性桿，只考慮與紙面平行的平面內(nèi)的失穩(wěn).則

(1)(2分)剛架失穩(wěn)時(shí)載荷的最小值F由桿①?zèng)Q定；(注：填入①，②)

(2)(4分)剛架失穩(wěn)時(shí)載荷的最小值 F =π2EI/(2l2).

圖18

解答：最低臨界載荷對(duì)應(yīng)兩豎桿均朝一邊變形，在該變形情況下柱內(nèi)無(wú)剪力，相當(dāng)于懸臂柱，于是有

十、(8分)圖19所示等截面直角剛架ACB，桿件橫截面為圓形，彎曲剛度為EI，扭轉(zhuǎn)剛度為0.8EI.C處承受大小為m、方向如圖所示的外力偶，該力偶矢量方向與剛架軸線處于同一平面內(nèi).則

圖19

解答：

圖20

求解，得

或

提高題部分(計(jì)算題，共60分)

十一、(共15分)如題圖21(a)所示，質(zhì)量均為m的圓輪和細(xì)直桿AC固結(jié)成一組合剛體.其中，桿AC沿圓輪徑向，O為圓輪輪心，C點(diǎn)為輪與桿的固結(jié)點(diǎn)，也是組合剛體的質(zhì)心.初始時(shí)刻，組合剛體靜止于水平面，左邊緊靠高度為r的水平臺(tái)階，然后，在圖示不穩(wěn)定平衡位置受微小擾動(dòng)后向右傾倒，以?表示組合剛體在桿端A與地面接觸之前的轉(zhuǎn)動(dòng)角度 (參見(jiàn)圖 21(b)).圓輪，半徑為 r，組合剛體關(guān)于過(guò)輪心O并垂直于圓輪的軸之轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO.略去各處摩擦，試求解如下問(wèn)題.

圖21

(1)(5分)圓輪與臺(tái)階B點(diǎn)開(kāi)始分離時(shí)的角度?的大小？

(2)(6分)組合剛體的角速度與角度?的關(guān)系？

(3)(4分)圓輪右移的距離 S與角度 ?的關(guān)系？

解答:

組合剛體的運(yùn)動(dòng)存在兩個(gè)階段，一是繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；二是質(zhì)心水平速度保持不變的平面運(yùn)動(dòng).首先確定由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)到平面運(yùn)動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)角.問(wèn)題(1),剛體繞O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).依動(dòng)能定理

圖22

式(7)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

式(7)也可由對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理得到.

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

anC=rω2,aτC=rα.方程 (9)也可由動(dòng)靜法得到.式(9)中代入加速度

球與凸臺(tái)分離的角度由FN2=0確定.

對(duì)應(yīng)角速度ω0=

問(wèn)題(2):

當(dāng)

圖23

當(dāng)?＞?0時(shí)，組合剛體與臺(tái)階脫離接觸，作平面運(yùn)動(dòng)，水平方向動(dòng)量守恒，質(zhì)心C的水平速度不變，為

O點(diǎn)速度vO水平，以其為基點(diǎn)，質(zhì)心C的速度表示為

質(zhì)心C的水平速度為

依動(dòng)能定理，有

其中，JC=JO?2mr2.

由式(11)解出

(當(dāng) ?＞?0) (1分)

問(wèn)題(3):

當(dāng)?≤?0時(shí)，S=0 (1分)

當(dāng)?＞?0時(shí)，圓盤(pán)向右發(fā)生水平移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).注意到

圖24

由式(10)有

十二、(共15分)如圖25所示，邊長(zhǎng)為h、質(zhì)量為m的均質(zhì)正方形剛性平板靜置于水平面上，且僅在角點(diǎn)A、C和棱邊中點(diǎn)B處與水平面保持三點(diǎn)接觸.位于水平面上的小球以平行于AC棱邊的水平速度vb與平板發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞點(diǎn)至角點(diǎn)A的距離以b表示.已知平板關(guān)于過(guò)其中心的鉛直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mh2/6，在A、B和C三點(diǎn)處與水平支承面的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因素均為μ.略去碰撞過(guò)程中的摩擦力沖量，試求

(1)(3分)碰撞結(jié)束瞬時(shí)，平板的速度瞬心位置？

(2)(3分)若b=5h/6，計(jì)算碰撞結(jié)束瞬時(shí)平板的角加速度？

(3)(9分)設(shè)小球的質(zhì)量為m/21.碰撞后，板在水平面內(nèi)繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則碰撞點(diǎn)的位置b和碰撞前小球速度vb應(yīng)滿(mǎn)足的條件？

圖25

解答:

兩物體碰撞及速度突變都發(fā)生在水平面內(nèi)，在鉛直方向，方板仍然處于平衡狀態(tài).由空間平行力系的平衡知三個(gè)支撐點(diǎn)的鉛直方向反力.支承面對(duì)方板的水平約束力就是動(dòng)或靜摩擦力，由摩擦定律知摩擦力與鉛直反力成比例.因此，在碰撞階段，水平摩擦力的沖量略去不計(jì).

圖26

圖27

問(wèn)題(1):

記碰撞沖量為I，考察板

碰撞結(jié)束瞬時(shí)，板作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心位于通過(guò)點(diǎn)B′和點(diǎn)B的直線上.

由 vO0?xω0=0(1分)得

當(dāng)b=h/2時(shí)，板作平移，速度瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處.式中，x坐標(biāo)的原點(diǎn)在點(diǎn)O，向右為正，向左為負(fù).問(wèn)題(2):

將b=5h/6代入式(13)，有x=?h/2，板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).此時(shí)，板的速度瞬心在AC棱邊中點(diǎn).碰撞結(jié)束瞬時(shí)，板的角加速度由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理確定.

板在水平面內(nèi)受3個(gè)滑動(dòng)摩擦力作用，如下圖所示.

圖28

代入式 (14)，有

問(wèn)題(3):

B點(diǎn)速度vB=0，由式(13)知

由對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒得到

圖29

其中，v′b為小球的反彈速度

碰撞點(diǎn)D的法向速度為

完全彈性碰撞條件為

結(jié)合式(15)與式(16)，解出

B點(diǎn)的靜摩擦力滿(mǎn)足

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

此后，板作減速轉(zhuǎn)動(dòng)，ω ＜ ω0,anO＜ω02,所以FBn＜FBn0.可見(jiàn)，板在停止轉(zhuǎn)動(dòng)之前，其B端能保持靜止不動(dòng).(1分)

十三、(15分)圖30示圓環(huán)細(xì)桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環(huán)桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時(shí)桿件始終保持彈性狀態(tài)，且橫截面符合平面假設(shè).環(huán)桿軸線半徑為R，環(huán)桿橫截面為圓，其半徑為r，且r/R?1.試確定：

(1)(3分)橫截面上的內(nèi)力；

(2)(10分)橫截面的轉(zhuǎn)角?；

(3)(4分)求橫截面上內(nèi)力的最大值.

【提示】：當(dāng)Y/X?1時(shí)可做簡(jiǎn)化：X+Y≈X.

圖30

解答:(1)橫截面上的內(nèi)力:由半環(huán)桿的力偶平衡得

圖31

圖32

考慮到轉(zhuǎn)角?比較大，因此在變形后截面上一點(diǎn)的位置坐標(biāo)表達(dá)為

將式(20)及上述二式代入Mz和My表達(dá)式，有

計(jì)算出積分可得

比較式(19)與式(22)得

由此式可見(jiàn)，為了m恒正，即m與題目中所畫(huà)方向相同而不矛盾，?的取值限定為0≤?＜π.

式(23)代入式(22)得

總之，橫截面上的非零內(nèi)力為

彎矩 Mz= ?mR(?)，

(其余內(nèi)力分量為零，不用寫(xiě)出)

式(21)或式(23)也可用能量法求得.

(2)橫截面的轉(zhuǎn)角?：

由式(23)得轉(zhuǎn)角

(3)內(nèi)力的最大值Mmax

利用式(21)和式(22)算出橫截面上的合彎矩

可見(jiàn)，當(dāng)?=π時(shí)，M=Mmax(1分)

圖33

十四、 (15分)圖 34和圖 35所示的薄壁圓環(huán)管壓力容器，壁厚為t，環(huán)管橫截面平均直徑為D，環(huán)管軸線半徑為R.為了加固壓力容器，用一根直徑為d的細(xì)鋼絲纏繞圓管，鋼絲纏繞時(shí)拉緊，以至于鋼絲與壓力容器間的摩擦力達(dá)最大.纏繞的鋼絲相鄰兩圈間相互緊挨，但可忽略其相互擠壓作用.只考慮鋼絲因長(zhǎng)度方向拉伸引起的變形，即可忽略鋼絲的彎曲、扭轉(zhuǎn)等變形.設(shè)t/D?1，D/R?1且d/D?1.鋼絲材料的彈性模量為Es，壓力容器材料的彈性模量和泊松比分別為E和ν，鋼絲與壓力容器間的摩擦因數(shù)為μ.

圖34

圖35

(1)已知：鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n為偶數(shù)，當(dāng)環(huán)管外表面纏滿(mǎn)鋼絲時(shí)，如圖35所示，鋼絲最大拉力為P.環(huán)管外表面纏滿(mǎn)鋼絲后將鋼絲兩端互相連接，并讓鋼絲緩慢松弛.求此時(shí)：

①(3分)鋼絲的伸長(zhǎng)量?l0;

②(2分)鋼絲的張力F0;

③(5分)環(huán)管橫截面上的應(yīng)力 σl及環(huán)管柱面形縱截面(參考圖36)上的應(yīng)力σv.

圖36

(2)(5分)在(1)中狀態(tài)的基礎(chǔ)上，壓力容器施加內(nèi)壓，壓強(qiáng)為p.試寫(xiě)出關(guān)于鋼絲張力增量?F、環(huán)管柱面形縱截面上應(yīng)力增量?σv的聯(lián)立方程組.【提示】：做簡(jiǎn)化處理：cos≈1；若X/Y ?1，則Y+X≈Y.

解答：

(1)鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n

記

那么

鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n為

記D′=D+δ

圖37

①鋼絲的伸長(zhǎng)量?l0由力的平衡可得

解此方程，得

始端拉力可通過(guò)鋼絲末端拉力P表達(dá)為

鋼絲繞滿(mǎn)環(huán)管表面后兩端剛連接之前，鋼絲伸長(zhǎng)量

即

②鋼絲的張力F0

兩端連接的鋼絲松弛后，鋼絲伸長(zhǎng)量將保持不變，從而拉力將沿鋼絲長(zhǎng)度不變，即F=F0,恒定.那么，有

由此得鋼絲的張力

③環(huán)管的應(yīng)力σl和σv

求管道橫截面上的應(yīng)力σl：用一個(gè)豎直平面沿管道環(huán)線的直徑將壓力容器切開(kāi)成相等的兩半，由力的平衡可知

求環(huán)管柱面形縱截面上的應(yīng)力σv：先用一個(gè)豎直平面沿管道環(huán)線的直徑切開(kāi)，再用過(guò)管道軸線的豎直圓柱面將管道切成兩半.

圖38

可分兩種情形討論.

情形1：如下圖所示

α =2π/n，記 θj=(j?1/2)α，平衡方程為

圖39

由圖不難看出，其中和式可計(jì)算如下

式中，d′計(jì)算如下

因?yàn)?/p>

所以

將式(33)代入式(32)，得

將式(31)代入上式得

即

情形2：如下圖所示

可列出

圖40

將上式與式 (32) 比較可見(jiàn)，做近似處理cos(π/n)≈ 1后，本情形中和式結(jié)果與情形 1的相同.于是可認(rèn)為式(34)對(duì)所有情形恒成立.

(2)環(huán)管柱面形縱截面上的應(yīng)力σv

當(dāng)有內(nèi)壓p時(shí)，記由于施加p而引起的豎直縱截面上的應(yīng)力增量為 ?σv(壓為正)，鋼絲與管外表面間壓應(yīng)力增量為 ?σg(壓為正)，鋼絲拉力增量為?F(拉為正)，管橫截面應(yīng)力增量為?σl(壓為正).

求環(huán)管道橫截面上的應(yīng)力增量 ?σl：用一個(gè)豎直平面沿管道環(huán)線的直徑將壓力容器切開(kāi)成相等的兩半，可知代替方程(31)的是

圖41

即

求環(huán)管柱面形縱截面上的應(yīng)力σv：變形協(xié)調(diào)方程為 ?εs= ?εv，此即

圖42

參考式(31)有

將式(36)及上式代入式(37)，得

在有p存在的情況下，仿照式(34)可寫(xiě)出

將式(36)代入，上式變?yōu)?/p>

式 (38)、式 (39)即為關(guān)于?F和 ?σv的聯(lián)立方程組.

圖43

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本文于2017-08-01收到.