李道奎 肖萬伸 任毅如 李家文(國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410073)(湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院,長沙410082)

一道力學(xué)競賽題的多種解法及其相關(guān)問題討論

李道奎?,1)肖萬伸?,2)任毅如?李家文??(國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410073)?(湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院,長沙410082)

分析了第十一屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽初賽試題中第13題的圓環(huán)受力與變形的特殊性，明確了題中圓環(huán)發(fā)生大位移小變形，給出了其多種解法，指出了原型題解答對讀者的誤導(dǎo)，并對大位移的影響、功與能的計算方法、中性軸的位置、應(yīng)力應(yīng)變分布等相關(guān)問題進行了分析與討論，得到了圓環(huán)內(nèi)部受力與變形的過程.

力學(xué)競賽，分析法，能量法，中性軸

1 問題的提出

2017年第十一屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽初賽試題的第 13題(以下稱本題)[1]為：圖 1所示的圓環(huán)桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環(huán)桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時桿件始終保持彈性狀態(tài)，且橫截面符合平面假設(shè).環(huán)桿軸線半徑為R，橫截面(如圖中A?A截面)為圓，其半徑為r，試求

圖1

(1)橫截面上的內(nèi)力；

(2)橫截面的轉(zhuǎn)角?；

(3)橫截面上內(nèi)力的最大值.

提示：當(dāng)X/Y?1時，可做簡化Y+X≈Y.

本題的原型為文獻[2]中521頁的11-24(以下稱原型題)，但原型題中僅需計算均布力偶與橫截面的轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系(原型題外載荷方向相反，但不影響結(jié)果).文獻[2]548-550頁給出解答中，從垂直圓環(huán)軸線平面的某一對稱面將其截開，根據(jù)對稱性，認(rèn)為橫截面上只有對z軸的彎矩Mz，如圖2所示.由平衡條件可得

圖2

文獻 [2]給出的解答，對于解決原型題中的問題，是沒有錯的 (原因在下面會解釋)，但卻會誤導(dǎo)讀者對整個題目的理解，即認(rèn)為圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力只有彎矩Mz，進而在求解本題時就會出錯，特別是讀者如果在此基礎(chǔ)上采用能量法進行計算，則會得出錯誤的結(jié)論.下面將給出本題詳細(xì)求解過程以及第2問的多種解法，包括分析法和能量法，并對題目和解答中涉及相關(guān)問題進行分析與討論.

2 本題的分析法求解

因為根據(jù)對稱性和受力特點，圓環(huán)任一橫截面上的內(nèi)力不僅有彎矩Mz，還有彎矩My(設(shè)其沿y軸正方向)，其他內(nèi)力分量為零，如圖 3所示 (注意，圖中的橫截面是圖2中右邊截面).

考慮圖3中橫截面上任一點A(ρ,θ)，通過該點的圓環(huán)周線長度為 lA=2π(R+ρcosθ).當(dāng)橫截面繞圓環(huán)軸線轉(zhuǎn)過角度?時，根據(jù)橫截面符合平面假設(shè)可知，A點將移動到B點，如圖3所示，圓環(huán)周線長度變?yōu)?lB=2π[R+ρcos(θ+?)].點 A 的環(huán)向正應(yīng)變?yōu)?/p>

考慮到ρcosθ?R，式(2)可簡化為

根據(jù)胡克定律，并結(jié)合式(3)可得

圖3

根據(jù)橫截面上應(yīng)力形成的分布內(nèi)力系與內(nèi)力之間靜力平衡關(guān)系，可得

將式(4)代入式(5)，積分可得

將式(1)代入式(7)可得

式(8)給出了均布的力偶載荷m與橫截面的轉(zhuǎn)角?之間的關(guān)系，得到這一關(guān)系時并不需要考慮是否存在My，因此可以確定文獻[2]給出的原型解答，是沒有問題的.

將式(4)代入式(6)，積分可得

式(1)和式(10)就給出了橫截面上的內(nèi)力分量Mz和My的表達式，式中負(fù)號代表實際彎矩指向相應(yīng)軸的負(fù)方向，如圖3所示.其他內(nèi)力分量為零，此即本題第1問的解答.

由式(8)可得

即本題第2問的解答.

利用式 (7)和式(9)可以算出橫截面上的合彎矩為

可見，當(dāng)?=π時，截面內(nèi)力達到最大值，即

即本題第3問的解答.

3 本題第2問的能量法求解

在利用能量法求解時，均須計算構(gòu)件內(nèi)部儲存的應(yīng)變能.因此，先計算橫截面的轉(zhuǎn)角為?時，圓環(huán)內(nèi)部儲存的應(yīng)變能.由于每個橫截面與同一圓環(huán)周線相交各點的應(yīng)變能密度vε相同，因此，圓環(huán)儲存的應(yīng)變能為

下面分別利用功能原理、卡氏第一定理和最小勢能原理三種能量方法推導(dǎo)式(8)，由式(8)很容易得到式(11)，因此，在得到式(8)后就可認(rèn)為本題的第2問得到了求解.

3.1 直接利用功能原理求解

設(shè)圓環(huán)橫截面在分布力偶外載荷作用下，橫截面的轉(zhuǎn)角ξ由0緩慢變化到?，此過程中外力所做的功為

將式(15)和式(16)代入功能原理，即W=Vε，得

式(17)兩端對?求導(dǎo)，得到的結(jié)果與式(8)一致.

3.2 利用卡氏第一定理求解

由于圓環(huán)每個橫截面形狀與尺寸相同，應(yīng)力分布也相同，因此沿圓環(huán)軸線單位長度內(nèi)儲存的應(yīng)變能V.ε也相等，從而可得

將式(15)代入式(18)可得

由卡氏第一定理，可得均布力偶載荷的集度(即沿圓環(huán)軸線單位長度均布力偶載荷的大小)為

將式(19)代入式(20)，得到的結(jié)果也與式(8)一致.

3.3 利用最小勢能原理求解

圓環(huán)在外力作用下的總勢能等于應(yīng)變能與外力功勢能之和，即

式中，外力勢能Vp為

將式(15)和式(22)代入式(21)，可得

由最小勢能原理

將式(23)代入式(24)，同樣可以得到式(8).

4 相關(guān)問題討論

4.1 大位移的影響

由于位移(角位移?)較大，在列截面分布內(nèi)力系與內(nèi)力之間的靜力關(guān)系時，要考慮大位移引起的橫截面內(nèi)各點位置的變化.即在式 (5)中計算 Mz和式(6)中計算My時，微元面積dA上的微內(nèi)力到z軸和y軸的距離，分別由ρsinθ和ρcosθ變?yōu)棣裺in(θ+?)和 ρcos(θ+?).

4.2 功與能的計算方法

本題中外載荷為均布力偶載荷m，其相應(yīng)位移為橫截面的轉(zhuǎn)角?，它們之間并不成線性關(guān)系，而是成式(8)或式(11)描述的非線性關(guān)系，因此外力功不能采用 W=πRm?來計算，而只能采用積分形式即式(16)來計算；但外力勢能并不受外載荷與相應(yīng)位移之間關(guān)系的影響，依然可以采用式(22)來計算.

本題中圓環(huán)的變形比較特殊，盡管位移較大，但受各橫截面之間的相互約束，變形(應(yīng)變)較小，材料依然處于線彈性狀態(tài)，滿足胡克定律，可采用計算應(yīng)變能密度，進而通過在整個體積上積分得到圓環(huán)內(nèi)儲存的應(yīng)變能.當(dāng)然，也可利用來計算應(yīng)變能，但彎矩M 一定為橫截面內(nèi)的合彎矩，如果像原型題那樣僅考慮Mz，則必然會得到錯誤的結(jié)論.

4.3 中性軸的位置

本題由于圓環(huán)的變形比較特殊，而且位移又較大，使得變形過程中橫截面中性軸的位置也有其特殊性.

對式(3)和式(4)中的三角函數(shù)進行和差化積，得到

式中，ψ=θ+?為截面上任一點 A(ρ,θ)在變形后的新位置的極角.

令式(25)中的正應(yīng)力為零，得到當(dāng)圓環(huán)發(fā)生變形時，0＜?≤π，由式(26)必然要求根據(jù)題目的物理含義，取n=0，可得中性軸為

式(27)代表的橫截面內(nèi)通過截面形心的一條直線，如圖3所示.在橫截面轉(zhuǎn)角從0增大到? ?的過程中，中性軸的位置離開z軸從0增大到 2.

4.4 應(yīng)力應(yīng)變分布

設(shè)橫截面上的合彎矩與z軸負(fù)方向成夾角β，如圖3所示，則由式(7)和式(9)可以得到

同時，式(25)給出了圓環(huán)橫截面上任一點在某一給定橫?截面轉(zhuǎn)·角?下的環(huán)向正應(yīng)變與正應(yīng)力，其中，ρsinψ? 為該點到中性軸的距離(此處的距離為帶正負(fù)號的距離)，而其余各項與該點在截面內(nèi)的位置無關(guān)，因此，圓環(huán)橫截面上任一點處的環(huán)向正應(yīng)變、正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比.

5 結(jié)論

本文給出了第十一屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽初賽試題中第13題的多種解法，并對大位移的影響、功與能的計算方法、中性軸的位置、應(yīng)力應(yīng)變分布等相關(guān)問題進行了分析與討論，得到以下結(jié)論：

(1)本題可以有分析法和能量法等多種解法，但要注意對圓環(huán)的變形、橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力進行較為準(zhǔn)確的分析，特別需要考慮大位移引起的截面上各點位置變化.另外，原型題解答認(rèn)為在圓環(huán)橫截面上只有彎矩Mz是錯誤的.

(3)本題中的圓環(huán)在m作用下，發(fā)生大位移小變形，內(nèi)部受力與變形過程是這樣的：橫截面在m的作用下發(fā)生繞形心的旋轉(zhuǎn)，截面中性軸通過截面形心，且從z軸開始繞著截面形心逆時針旋轉(zhuǎn)，在橫截面轉(zhuǎn)角從0增大到??的過程中，中性軸的位置離開z軸從0增大到 2，截面內(nèi)的合彎矩矢量方向與中性軸在同一條直線上，各點的應(yīng)力、應(yīng)變與該點到中性軸的距離成正比.

1 競賽組委會.第十一屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽初賽試題.www.cstam.org.cn

2 張行編著.材料力學(xué)分析方法.國防工業(yè)出版社,1988

“第八屆全國力學(xué)史與方法論學(xué)術(shù)研討會(HMM-VIII)暨全國力學(xué)學(xué)術(shù)大會力學(xué)史與方法論分會場”學(xué)術(shù)活動紀(jì)要

“第八屆全國力學(xué)史與方法論學(xué)術(shù)研討會(HMM-VIII)暨全國力學(xué)學(xué)術(shù)大會力學(xué)史與方法論分會場”于2017年8月13-16日在北京召開.本次會議由中國力學(xué)學(xué)會力學(xué)史與方法論專業(yè)委員會主辦，北京大學(xué)工學(xué)院承辦.整個活動分兩個階段進行：第一階段：13日下午，在北京大學(xué)工學(xué)院開幕，中國力學(xué)學(xué)會力學(xué)史與方法論專業(yè)委員會主任委員鄭曉靜院士致開幕詞，隨后進行特邀報告;第二階段：在力學(xué)大會作為分會場，分別于15日上午及 16日上午在國家會議中心進行學(xué)術(shù)交流，其中16日為兩個平行分組報告，有近40名專家學(xué)者與會報告.

會議還吸引了來自全國眾多單位的力學(xué)界資深教授、活躍在力學(xué)科研與教學(xué)第一線的中青年教師以及力學(xué)專業(yè)研究生參加，成為學(xué)術(shù)氛圍最熱烈的分會場之一.

在學(xué)術(shù)交流過程中，17位力學(xué)前輩做了精彩紛呈的大會邀請報告：武際可教授指出力學(xué)幾何化具有重要意義，并介紹了黎曼幾何、辛幾何以及對偶等概念在力學(xué)中的應(yīng)用，尤其指出目前力學(xué)專業(yè)教學(xué)需提高對微分幾何等數(shù)學(xué)知識的重視；王大鈞教授在身體不適的情況下還堅持做報告，和大家分享了他對結(jié)構(gòu)力學(xué)定性理論研究方法和科學(xué)美的感悟；王敏中教授身體力行華羅庚先生名言 “弄斧到班門，耍刀在關(guān)廟”，風(fēng)趣地回憶了他與9組力學(xué)高手“過招”的佚事；余壽文教授討論了固體力學(xué)間斷問題的研究方法，指出間斷區(qū)域應(yīng)受到關(guān)注，重點介紹了“放大鏡”和“均勻連續(xù)化”兩種極為有用的方法；徐秉業(yè)教授探討塑性力學(xué)的教學(xué)方法和塑性力學(xué)常用的研究方法；朱克勤教授以俄羅斯科學(xué)院為主線，回顧了俄羅斯和前蘇聯(lián)力學(xué)學(xué)科發(fā)展以及歐拉、伯努利、朗道、柯爾莫哥洛夫等力學(xué)家的成長之路；隋允康教授深情追思恩師錢令希先生，回顧了錢先生在科學(xué)研究、學(xué)科建設(shè)、教育教學(xué)、人才培養(yǎng)和大學(xué)管理五個方面的重要貢獻；鐘萬勰院士分享了對淺水波機械激波的深刻理解；姜錫權(quán)教授以分離式霍普金森桿和輕氣炮為例，介紹了材料動態(tài)力學(xué)實驗技術(shù)的發(fā)展史；王振東教授首先回憶了與周培源先生交往的故事以及全國大學(xué)生周培源力學(xué)競賽的歷史，接著通過泰勒、馮諾依曼和謝多夫估算原子彈爆炸當(dāng)量的故事，說明量綱分析方法的強大能力；劉延柱教授回顧了德國工程力學(xué)大師馬格努斯的生平以及在剛體動力學(xué)、陀螺力學(xué)、多體系統(tǒng)動力學(xué)等領(lǐng)域的重要貢獻；程昌鈞教授詳細(xì)介紹了錢偉長先生博士論文 “薄殼和薄板的內(nèi)稟理論”的主要內(nèi)容和所獲得的重要成就；嵇醒教授的報告認(rèn)為彈塑性應(yīng)力強度因子并不存在，以及他對這一問題的最新研究成果(因身體原因，嵇醒教授臨時未能成行，由同濟大學(xué)朱峰博士代為報告)；戴世強教授從兩本力學(xué)科普著作《院士談力學(xué)》和《流體力學(xué)通論》談起，闡釋了全景式力學(xué)科普書籍在力學(xué)通識教育中具有不可多得的作用；余同希教授從力學(xué)的多個分支方向討論了如何確定撞擊力的問題；吳昌華教授敘述了物理學(xué)各種基本粒子的發(fā)現(xiàn)歷史；張鴻慶教授闡釋了他關(guān)于不同文化及其在數(shù)學(xué)力學(xué)中應(yīng)用的理解.

在大會分組報告中，與會的中青年學(xué)者分別報告了各自的研究成果，內(nèi)容涉及力學(xué)各分支學(xué)科的發(fā)展史、科研和教學(xué)方法論，部分高校和科研院所力學(xué)學(xué)科發(fā)展史、著名力學(xué)家的學(xué)術(shù)思想和貢獻等.陳海波、段慧玲分別介紹了中國科技大學(xué)、北京大學(xué)力學(xué)學(xué)科的發(fā)展史與現(xiàn)狀；王柏懿回顧了創(chuàng)建初期的中科院力學(xué)所和中國力學(xué)學(xué)會；白欣、楊紹瓊、劉俊麗等報告了不同時期國內(nèi)力學(xué)教育、研究、專業(yè)建設(shè)、著作和辦刊等的研究成果；殷雅俊、龍運佳、游陽明、顧娟、糜長穩(wěn)、王建祥等分享了對不同力學(xué)研究方法論的理解；葉紅玲、董璐、張偉偉等介紹了各自在力學(xué)教學(xué)和課程建設(shè)中的寶貴經(jīng)驗.

最后，專業(yè)委員會主任鄭曉靜院士和黨支部書記劉俊麗分別致辭，簡要總結(jié)了本次會議，希望經(jīng)過同仁們的共同努力，涌現(xiàn)出更多更深層次的研究成果，并期待兩年后的重逢.

會議的組織工作得到了與會者的一致好評，大家對東道主北京大學(xué)工學(xué)院唐少強教授團隊師生們?yōu)闀h所做的大量細(xì)致而有效的會務(wù)工作、以及中國力學(xué)學(xué)會和力學(xué)大會組委會對本次研討會的支持表示誠摯的謝意.

值得一提的是，本專業(yè)委員會長期形成的尊老攜青的風(fēng)尚不僅繼續(xù)發(fā)揚而且不斷加強，這次會議因作為中國力學(xué)大會分會場，考慮到退休老教授的經(jīng)費困難，申請中國力學(xué)學(xué)會為七十歲以上的老先生免交注冊費，而且北京大學(xué)工學(xué)院為外埠老先生們提供了很好的食宿與交通條件.

(中國力學(xué)學(xué)會力學(xué)史與方法論專業(yè)委員會供稿)

O3

A

10.6052/1000-0879-17-241

本文于2017-07-06收到.

1)李道奎，教授，主要從事結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析科學(xué)研究工作和材料力學(xué)教學(xué)工作.E-mail：lidaokui@nudt.edu.cn

2)肖萬伸，教授，通訊作者，主要從事工程結(jié)構(gòu)強度分析與固體力學(xué)教學(xué)工作.E-mail：xwshndc@163.com

李道奎,肖萬伸,任毅如等.一道力學(xué)競賽題的多種解法及其相關(guān)問題討論.力學(xué)與實踐,2017,39(5):544-547

Li Daokui,Xiao Wanshen,Ren Yiru,et al.Various solutions to a mechanical contest problem and the discussion on related problems.Mechanics in Engineering,2017,39(5):544-547

(責(zé)任編輯:周冬冬)