尤明慶

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

雞蛋在水滴上的直立及水中的穩(wěn)定平衡

尤明慶1)

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

蛋殼沒有顯著的接觸變形，水洗干燥之后難以在堅(jiān)硬光潔的平面上直立；但依賴兩三顆細(xì)小鹽?；蛘咚さ妮o助支承即可實(shí)現(xiàn)大端直立.蛋在液體中姿態(tài)與浮力有關(guān)，可在水中以小端直立.與剛體、浮體相同，潛體在重力、浮力和支承力作用下處于穩(wěn)定平衡時(shí)勢(shì)能達(dá)到極小值.

穩(wěn)定平衡，表面張力，潛體，浮力，勢(shì)能

立春或春分豎蛋因電視和網(wǎng)絡(luò)的推介已不再局限于地方風(fēng)俗.豎蛋牽涉到剛體以表面一點(diǎn)支承的穩(wěn)定平衡問題，相關(guān)的力學(xué)定理是：支承點(diǎn)處法線通過(guò)重心且曲率半徑大于重心高度[1].顯然，雞蛋對(duì)稱軸兩個(gè)端點(diǎn)只是不穩(wěn)定平衡位置，不過(guò)網(wǎng)上有大量豎蛋照片，對(duì)此需要做出說(shuō)明；而水中蛋體具有多種穩(wěn)定平衡姿態(tài)，也需要給出解釋.

1 豎蛋

文獻(xiàn)[2]稱“實(shí)際的雞蛋殼表面并不光滑，粗糙的尖端存在許多突起的小點(diǎn)與桌面接觸，這些接觸點(diǎn)圍成一個(gè)很小的區(qū)域.雞蛋的重力只要不越出這個(gè)小區(qū)域就能直立不倒”，與維基百科 (Wikipedia)所述類似[3].不過(guò)，肉眼或在小倍放大鏡下看來(lái)，雞蛋外殼通常并無(wú)明顯突起，而鴨蛋外殼更是堅(jiān)硬光潔.蛋殼具有一定的剛度，不會(huì)產(chǎn)生顯著的接觸變形以增大支承面積.

雞蛋大端的氣腔因薄膜而大致固定，可以手電或蠟燭等小光源檢查；吃蛋時(shí)先敲大端頗為合理，而《格列佛游記》中小人國(guó)竟就此發(fā)生爭(zhēng)論乃至戰(zhàn)爭(zhēng).氣腔使雞蛋的重心偏離形心而遠(yuǎn)離大端.筆者覺得，經(jīng)水洗、干燥后的雞蛋或鴨蛋，倘若表面光潔，似難以直立在干凈玻璃、拋光石材或平整木桌的表面上.不穩(wěn)定平衡位置的實(shí)現(xiàn)并不容易，認(rèn)為“只要有足夠耐心，在任何時(shí)刻任何地點(diǎn)都能將雞蛋豎起來(lái)”的人或許沒有伸手一試.網(wǎng)上有許多小學(xué)生的作文敘述了未能成功的經(jīng)歷.

當(dāng)然，因地面、木板表面的微小凹坑或桌布柔軟變形，雞蛋能夠直立.wikihow介紹的方法“Make a small mound of salt on a hard,smooth,level surface；carefully balance the egg on top of the salt,then gently blow the excess salt away”[4]也確實(shí)可行.試驗(yàn)表明，豎直雞蛋，輕輕前推，受阻即止，尺度不足 0.5mm的兩三顆鹽粒即可實(shí)現(xiàn)雞蛋的大端直立.作為參考，若雞蛋大端曲率半徑 18mm，0.3mm和0.1mm高度的鹽粒支撐，其距雞蛋頂點(diǎn)分別為 3.3mm和1.9mm；因而穩(wěn)定直立是容易實(shí)現(xiàn)的.又，鹽粒尺度較小且硬度較高，可嵌入蛋殼，從而豎蛋可便利地重復(fù)進(jìn)行.不過(guò)，如此“作弊”的行為真是需要提醒大家呢.

雞蛋個(gè)體差別很大，部分以大端靜立水滴之上兩三分鐘后即能直立 (圖 1)，可抵抗口腔呼氣的輕微擾動(dòng)而穩(wěn)定 60h.筆者已如此豎立 8個(gè)不同雞蛋，累計(jì)12次以上.

圖1 雞蛋的尺寸(mm)及水滴上的直立

當(dāng)然，并不是所有雞蛋都能借助水滴而直立，如圖1左側(cè)雞蛋經(jīng)多輪極度耐心的努力僅獲得1s的短暫直立.又，熟雞蛋因氣腔固定或許不再具有軸對(duì)稱性，似難以直立；但以小端或大端如陀螺旋轉(zhuǎn)即可直立，在平臥狀態(tài)快速轉(zhuǎn)動(dòng)后穩(wěn)定姿態(tài)亦可變化為直立，多為大端在下[5].生雞蛋直立時(shí)難以施力使其旋轉(zhuǎn)，平臥時(shí)也需多次驅(qū)動(dòng)才能逐步增速，且難以轉(zhuǎn)為直立，而抓起再放回桌面后卻可因內(nèi)部液體的慣性而繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).據(jù)此可便利地確認(rèn)雞蛋之生熟.

圖 1右側(cè)所立雞蛋高 54.3mm,中間直徑44.0mm;經(jīng)拍照測(cè)量，大端頂點(diǎn)的曲率半徑 R為18mm 或略大，且可確認(rèn)頂點(diǎn)附近不存在局部平面，難以直接立在拋光的石材表面.不過(guò)，石材臺(tái)面和雞蛋外殼都是沾水的，表面張力使雞蛋與桌面接觸點(diǎn)周圍形成邊緣厚度約1mm水墊，內(nèi)部壓力低于大氣壓，等價(jià)于在雞蛋底部提供拉力而有助于穩(wěn)定平衡；不過(guò)，實(shí)際計(jì)算表明這并不是決定性因素.

雞蛋與桌面接觸點(diǎn)附近可以用曲率半徑R的球面來(lái)代替(圖2)，水墊厚度h和直徑d滿足

水的表面張力系數(shù)TS，水墊內(nèi)壓強(qiáng)低于大氣壓的數(shù)值近似為

圖2 雞蛋與桌面的接觸點(diǎn)及水墊

該壓差引起雞蛋底部受到向下的等效拉力為

該值與水墊的幾何尺度--直徑或厚度無(wú)關(guān).TS在20?C時(shí)為73mN/m，F(xiàn)L=16.5mN；作為參照，60g雞蛋的重量是588mN.又，水墊厚度h=1mm時(shí)直徑d=12mm，相應(yīng)的壓強(qiáng)差近似為146Pa，相當(dāng)于15mm高水柱的壓力.對(duì)于圖1右側(cè)雞蛋，重心高度約25mm，底部作用數(shù)值為重量3%的拉力不能將合力作用點(diǎn)降低到18mm，即曲率中心的高度,因而單純的表面張力作用不足以使雞蛋滿足大端直立的穩(wěn)定平衡條件.

尺度較小時(shí)水與固體的關(guān)系非常復(fù)雜.就所討論的雞蛋而言，d=2mm時(shí)h=0.028mm，若考慮到雞蛋頂端的微小接觸變形，其與桌面之間存在一個(gè)直徑2mm、間隙小于0.02mm的區(qū)域，固體的引力以及自身黏性使得水不易流動(dòng)，類似于結(jié)合水而傳遞壓力，具有支承能力.

水的輔助支承主要在接觸點(diǎn)附近的微小區(qū)域，因而水滴豎蛋也不是伸手可得的事情；不過(guò)，雞蛋只要能夠直立，水墊蒸發(fā)而近乎消失時(shí)也能維持穩(wěn)定--即使不考慮蛋殼粗糙，其下方至少有直徑1mm的區(qū)域充水厚度小于0.005mm.該尺度是百元紙幣厚度0.1mm的1/20，與黏粒上限相當(dāng)；而干硬黏土的強(qiáng)度來(lái)源于包裹黏粒的結(jié)合水.

值得一說(shuō)的是，鄉(xiāng)村孩童頭疼發(fā)燒時(shí)(多為病毒性感冒)，家長(zhǎng)或請(qǐng)他人將洗凈的雞蛋立在碗中“叫魂”而后讓小孩食用.碗底微凹減小了縫隙的厚度(圖2)，增加了水滴支承的范圍和強(qiáng)度，直立雞蛋的困難顯著減小；而病毒性感冒屬于自限性疾病，在物理降溫后進(jìn)行精神安慰并補(bǔ)充營(yíng)養(yǎng)，才是適當(dāng)?shù)奶幹梅椒?

2 水中的蛋

基于浮力定律，利用臺(tái)秤測(cè)得新鮮雞蛋的比重在1.07g/cm3左右.雞蛋在水中不能浮起，其重心與浮心都在對(duì)稱軸上，但并不重合；因大端存在氣室浮心比重心更靠近大端.若以大端支承，雞蛋稍偏離豎直位置，因重心在上，且重力大于浮力，必然繼續(xù)偏離而失穩(wěn).這很容易得到試驗(yàn)確認(rèn).

蛋以小端支承，浮心B在上、重心W 在下，均高于小端頂點(diǎn)處曲率中心C?.記浮心、重心至小端距離為L(zhǎng)B和LW，兩者相距s=LB?LW；小端曲率半徑為r.若支承點(diǎn)P微小擾動(dòng)偏離，軸線與豎直方向夾角為小量δ，而法線仍通過(guò)曲率中心C?(圖3)，則穩(wěn)定平衡的條件是浮力FB和重力FW產(chǎn)生回復(fù)力矩

或?qū)憺?/p>

即重力與浮力的合力向下，其作用點(diǎn)T距小端小于曲率半徑r時(shí)雞蛋在水中穩(wěn)定直立，并不需要完全浮起.

圖3 豎直雞蛋在水中穩(wěn)定平衡的條件

實(shí)際稱量4個(gè)新鮮雞蛋，比重 γ為 1.068～1.079g/cm3，因水中有 FW= γFB，由式 (6)可知合力作用點(diǎn) T 從浮心 B 的偏移距離 t為(13.7～15.7)s，但尚未達(dá)到頂點(diǎn)曲率中心 C?而不能直立，平衡時(shí)軸線傾角θ在 15?～30?之間，小端在下.據(jù)此可知，這些雞蛋的s小于1mm.

雞蛋隨儲(chǔ)存時(shí)間增加將逐漸變質(zhì)，重量減小而大端氣腔增加，重心移向小端，即浮心與重心的距離s增大，可在水中以小端直立.對(duì)此可略作計(jì)算.

雞蛋完全沒有氣室時(shí)比重為γ0，重心與浮心重合.若雞蛋高為2a，不考慮兩端的形狀差異，一端出現(xiàn)氣室而比重為γ時(shí)，重心偏離浮心的距離s應(yīng)略小于 a(γ0? γ)/γ；點(diǎn) T 距浮心 t=sγ/(γ ? 1) ≈a(γ0?γ)/(γ?1). 圖 1右側(cè)雞蛋 a=27.2mm，若 γ0=1.085，則 γ=1.055時(shí)有 s=0.77mm 和t≈14.8mm；而T距小端的距離應(yīng)略大于a?t=12.4mm，已與小端曲率半徑14mm相當(dāng)，因而雞蛋將在水中直立.

存儲(chǔ)約 10個(gè)月的咸鴨蛋在水中穩(wěn)定平衡姿態(tài)各不相同 (圖 4)，顯示了質(zhì)量差異而不必采用燭照檢查；許多食品如菱角、荸薺等的品質(zhì)，也可依據(jù)其水中浮沉來(lái)簡(jiǎn)單判斷--實(shí)沉總是優(yōu)于虛浮.與流體壓力相比，浮力與生活有著更密切的關(guān)系，也更早得到關(guān)注[6].

圖4 咸鴨蛋在水中的姿態(tài)

加入食鹽可增加水的比重，從而增加浮力；雞蛋穩(wěn)定平衡的傾角將增大乃至直立和浮起--20?C時(shí)100g水中最多可溶解氯化鈉36g；農(nóng)村曬醬時(shí)可據(jù)此粗略地判斷鹽水的濃度.與此類似，觸地式欹器[7]若置于不同深度的水中，平衡姿態(tài)將隨著內(nèi)部水量增加出現(xiàn)更有趣的變化.

3 潛體的平衡

剛體密度大于液體則不能浮起，完全淹沒時(shí)浮心位置是確定的.若浮心與重心重合，其穩(wěn)定平衡姿態(tài)不受液體的影響，否則隨浮力而變化.

浮力FB和重力FW為平行力，浮心B與重心W 相距 s；合力為 FW?FB，作用點(diǎn) T在 BW 延長(zhǎng)線上，其距浮心即形心sFW/(FW?FB)，距重心sFB/(FW?FB).將點(diǎn)T作為等效重心就不必考慮浮力的作用--潛體穩(wěn)定平衡的條件就是：點(diǎn)T在支承點(diǎn)P處的法線上且低于其曲率中心C(圖5).

另一方面，潛體穩(wěn)定平衡時(shí)一定有浮力和重力對(duì)支承點(diǎn)P的力矩平衡

且從平衡位置發(fā)生微小變動(dòng)時(shí)將引起回復(fù)力矩.

圖5 潛體的穩(wěn)定平衡條件

浮心B、重心W 連線與支承面相交于點(diǎn)O，記OW=lW，OB=lB，定義支承面為勢(shì)能零線，則勢(shì)能

剛體偏離平衡位置，軸線與水平面的夾角變化dθ；為圖面簡(jiǎn)潔起見，將水平線轉(zhuǎn)置?dθ而保持剛體位置不變(圖5).傾角θ微小變動(dòng)時(shí)，lW和lB的改變量相同，記為dl，有

從圖 5看到，η=sinθdl=OP ×(?dθ)，于是

顯然，力矩平衡條件 M=0就是勢(shì)能達(dá)到極值；存在回復(fù)力矩的穩(wěn)定平衡就是勢(shì)能達(dá)到極小值[8].這是普遍結(jié)論[9]在潛體平衡中的應(yīng)用，其對(duì)潛體的形狀沒有任何設(shè)定.當(dāng)然，具體計(jì)算則需要確定或假定其形狀，如文獻(xiàn)[10]假設(shè)雞蛋為旋轉(zhuǎn)橢球.

4 討論和結(jié)語(yǔ)

水洗干燥后的雞蛋難以直立在干凈玻璃、拋光石材或平整木桌之上，但依賴兩三顆細(xì)小鹽?；蛘咚蔚妮o助支承即可實(shí)現(xiàn)大端直立.蛋在液體中姿態(tài)與浮力有關(guān)，在沒有浮起之前也可以小端直立.

“穩(wěn)定平衡時(shí)勢(shì)能達(dá)到極小”的物理原理有多種表述形式，如剛體重心在懸掛點(diǎn)下方，或者重心在支承點(diǎn)處法線上且低于其曲率中心，以及重心與支承點(diǎn)的距離達(dá)到極小值[1].解決實(shí)際問題時(shí)，該原理的應(yīng)用可能比力平衡分析更為簡(jiǎn)明[1112].

浮力的作用點(diǎn)即浮心是物體水下部分的形心.潛體的浮力和浮心是確定的，穩(wěn)定平衡時(shí)也是勢(shì)能達(dá)到極小值，可基于重力與浮力的合力而參照剛體分析.

浮心就是浮體的支承點(diǎn)，其位置隨物體的姿態(tài)而變化，若高于重心則與剛體懸掛類似而總是穩(wěn)定的.對(duì)于船舶而言，重心通常高于浮心乃至在水面之上；其不同姿態(tài)下浮心的全體相當(dāng)于剛體外輪廓，而穩(wěn)心相當(dāng)于曲率中心；浮體的穩(wěn)定平衡要求穩(wěn)心而不是浮心高于重心.這等價(jià)于重力和浮力構(gòu)成的勢(shì)能極小或重心與浮心的距離極小[13].

文獻(xiàn) [14]稱 “要保證船舶在水中的穩(wěn)定性，重心必須在浮心的下方”，想來(lái)有誤.作為參考，Queen Mary 2郵輪高 72m，有 17層甲板，而吃水深度10.1m(據(jù) Wikipedia). 與此相應(yīng)，長(zhǎng)江口天然深度在6m之內(nèi)；1998年起分三期進(jìn)行導(dǎo)流潛堤等工程，2011年后在常規(guī)人工疏浚下可維持12.5m深水航道[15].

1984年朱照宣先生《非線性力學(xué)》講義介紹，分析重心與浮心距離的極值條件得知：比重0＜λ＜1的正立方體木塊在水中穩(wěn)定姿態(tài)與1?λ時(shí)相同；在 0＜λ≤1/6和 1/4≤λ≤1/2時(shí)只有一個(gè)穩(wěn)定平衡姿態(tài)，分別為兩個(gè)面水平和一個(gè)對(duì)角線鉛直，即木塊與水面的交線分別為正方形和六邊形；而1/6＜λ＜1/4時(shí)則有2或3個(gè)穩(wěn)定平衡姿態(tài)，木塊與水面交線可能是正方形、六邊形、平行四邊形或五邊形；與水面交線是正三角形時(shí)則不可能成為穩(wěn)定平衡姿態(tài).

力學(xué)以物理為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)為工具，研究物體的受力以及運(yùn)動(dòng)、變形和破壞.平衡可以看作運(yùn)動(dòng)的特殊狀態(tài).力學(xué)問題明確而具體，物理原理清晰而簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)求解卻復(fù)雜而煩難.

1 劉延柱.不倒翁、烏龜翻身和岡布茨.力學(xué)與實(shí)踐,2010,32(2):147-149

2 劉延柱.立春時(shí)節(jié)話豎蛋.力學(xué)與實(shí)踐,2013,35(1):97-98

3 http://en.wikipedia.org/wiki/EggofLi Chun

4 http://www.wikihow.com/Balance-an-Egg

5 Sasaki K.Spinning eggs--which end will rise?American Journal of Physics,2004,72(6):775-781

6 武際可.力學(xué)史雜談.北京：高等教育出版社，2009:4-5

7 尤明慶.觸地式欹器的結(jié)構(gòu)特征及盈虛瓶的設(shè)計(jì).力學(xué)與實(shí)踐,2016,38(1):105-108

8 尤明慶.雞蛋的直立及潛體的平衡.http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-831289.html

9 朱照宣,周起釗,殷金生．理論力學(xué)(下).北京:北京大學(xué)出版社,1982:83-99

10 劉延柱.水中豎蛋與拉格朗日定理.力學(xué)與實(shí)踐,2014,36(4):420-421

11 尤明慶.均勻細(xì)桿在光滑圓錐曲線壁內(nèi)的穩(wěn)定平衡分析.力學(xué)與實(shí)踐，2016,38(2)：186-188

12 尤明慶.關(guān)于雨傘自動(dòng)撐開的注記.力學(xué)與實(shí)踐，2017,39(1):92-94

13 謝建華.關(guān)于浮體的平衡與穩(wěn)定.力學(xué)與實(shí)踐,2010,32(5):77-80

14 劉延柱.趣味振動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，2012,52:124

15 長(zhǎng)江口深水航道治理工程概況.http://www.cjkhd.com/index.php?id=175

O351

A

10.6052/1000-0879-17-041

2017-02-13收到第1稿，2017-02-24收到修改稿.

1)E-mail:youmq@hpu.edu.cn

尤明慶.雞蛋在水滴上的直立及水中的穩(wěn)定平衡.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):519-523

You Mingqing.Eggs standing at droplet on smooth surface and the stable balance in water.Mechanics in Engineering,2017,39(5):519-523

(責(zé)任編輯:胡 漫)