梅鳳翔

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京100081)

動(dòng)軸理論及其應(yīng)用1)
--理論力學(xué)札記之十

梅鳳翔2)

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京100081)

動(dòng)軸理論是指用相對(duì)動(dòng)軸系的運(yùn)動(dòng)來(lái)列寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)或剛體的動(dòng)力學(xué)方程的理論.動(dòng)軸系可以固連于剛體上，也可以不固連于剛體上.動(dòng)軸理論給出的方程，有時(shí)是方便的.

動(dòng)軸理論，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

1 對(duì)任意動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)方程

研究剛體的一般運(yùn)動(dòng).令 C為剛體的質(zhì)心，Cx′y′z′為正交的動(dòng)軸系.令 u,v,w 為質(zhì)心速度在這些軸上的投影；θ1,θ2,θ3為動(dòng)軸系 Cx′y′z′的角速度在這些軸上的投影；令ω1,ω2,ω3是剛體絕對(duì)角速度在這些軸上的投影；F′x,F′y,F′z是作用在剛體上的外力的投影；M′x,M′y,M′z為外力對(duì)質(zhì)心的矩在這些軸上的投影.運(yùn)動(dòng)方程有形式[1]

其中T為剛體的動(dòng)能，有

其中m為剛體質(zhì)量，A,B,C,F,G,H為剛體對(duì)質(zhì)心的慣性矩和慣性積.

由矢量相對(duì)導(dǎo)數(shù)和絕對(duì)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)任意矢量A有

其中 ω 為動(dòng)系角速度.令 A 為動(dòng)量，A =(mu,mv,mw), ω =(θ1,θ2,θ3)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可導(dǎo)出方程(1)的前3個(gè)方程；令A(yù)為對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

則由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可導(dǎo)出方程(1)的后3個(gè)方程.方程(1)雖用動(dòng)能表示，但實(shí)際上是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理給出的方程.

如果動(dòng)軸系與剛體固連，則有

而方程(1)成為

方程(2)的后3個(gè)方程即為剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的Euler動(dòng)力學(xué)方程.

方程 (1)實(shí)際上是準(zhǔn)坐標(biāo)下的 Lagrange方程[1]，其中 u,v,w,ω1,ω2,ω3是準(zhǔn)速度.方程 (2)的前3個(gè)可用來(lái)研究質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng).

2 動(dòng)軸理論的應(yīng)用

動(dòng)軸理論可應(yīng)用于建立質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)方程.

例1 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

首先，列寫(xiě)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在極坐標(biāo)(ρ,?)中的方程.取動(dòng)軸 Cx′沿經(jīng)向，Cy′沿橫向，Cz′垂直于平面，C為質(zhì)點(diǎn)所在位置，動(dòng)系角速度為θ1=θ2=0,θ3=，則有

方程(1)的前3個(gè)給出

即

其次，列寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)在自然軸系中的微分方程.取動(dòng)軸系 Cx′y′z′，其中 C 為質(zhì)點(diǎn)所在位置，Cx′沿切向，Cy′沿主法向，Cz′沿副法向，則動(dòng)系角速度為θ1=θ2=0,θ3=.點(diǎn)的速度為

方程(1)的前3個(gè)給出

即

這樣用動(dòng)軸理論列寫(xiě)了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程.

例2 剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

在剛體質(zhì)心C上選一動(dòng)系Cx′y′z′與剛體固連.剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件為

將其代入方程(2)，得到

平面運(yùn)動(dòng)加力的限制為

代入式(4d)和式(4e)，得到

這表明軸 Cz′是主軸，即中心主軸.式(6)是對(duì)剛體質(zhì)量分布的限制.剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

在一些理論力學(xué)教材，也包括我們編寫(xiě)的教材中，通常將動(dòng)力學(xué)方程寫(xiě)成形式其中動(dòng)系Cx1y1z1是平行于定系的動(dòng)系，而很少討論平面運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體的質(zhì)量分布的限制.近年與洪嘉振教授、王琪教授討論，方知除運(yùn)動(dòng)學(xué)條件(3)，力的條件 (5)，還應(yīng)有質(zhì)量分布條件 (6).當(dāng)然，條件(6)是由條件(3)和條件(5)導(dǎo)出的.

例3 一剛體在平面Π上有3個(gè)接觸點(diǎn)A,B,D，其中A,D是兩腿在平面Π上的支點(diǎn)，可自由滑動(dòng)，B是固連于剛體上的刀片.試列寫(xiě)剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程.

解：首先，用動(dòng)軸理論.假設(shè)外力向點(diǎn)E簡(jiǎn)化為一個(gè)力F，它垂直于刀片，距刀片為a和一個(gè)力偶矩M?，如圖1所示.約束力FN垂直于刀片，限制剛體橫滑.設(shè)剛體質(zhì)心在平面Π上的投影為C，而CB垂直于刀片方向，在點(diǎn)C處取與剛體固連的動(dòng)軸系 Cx′y′z′，其中 Cx′平行于刀片，Cy′在BC方向上，Cz′垂直于平面Π，Cz′為剛體的主軸.動(dòng)軸系的角速度為 θ1=θ2=0,θ3=?˙.質(zhì)心C的速度在動(dòng)軸系上的投影為

其中(x,y)為點(diǎn)B的坐標(biāo).方程(1)給出

圖1

因Fx′=0，由第一個(gè)方程得到積分

即

表示不允許橫滑的非完整約束方程為

代入積分得

這個(gè)積分的物理意義是剛體對(duì)動(dòng)軸 Cx′的動(dòng)量守恒[2].

進(jìn)而,假設(shè)外力的合力FR與過(guò)點(diǎn)B的鉛垂軸相交,則方程(4)給出

其中α為合力FR水平投影與Cx′的夾角.由第1,第3個(gè)方程消去FR,得到

積分得

它表示剛體對(duì)過(guò)點(diǎn)B的鉛垂線(xiàn)軸的動(dòng)量矩守恒[2].其次,用剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程,有

由前兩個(gè)方程消去F+FN,得

又

于是有

考慮到非完整約束,上式可寫(xiě)成形式

由此得到積分

最后，用帶乘子的Lagrange方程.剛體動(dòng)能為

廣義力為

約束方程為

帶乘子的Lagrange方程給出

比較方程(8)～方程(10),可知?jiǎng)虞S理論給出的方程較簡(jiǎn)單.

例 4 一半徑為a的勻質(zhì)重球在通過(guò)球心C的合力作用下,在完全粗糙水平面Π上滾動(dòng).試證球心的運(yùn)動(dòng)如同一質(zhì)點(diǎn)在力為5:7作用下的運(yùn)動(dòng).

證明 首先，用動(dòng)軸理論建立運(yùn)動(dòng)方程.在球心 C 處取動(dòng)軸系 Cx′y′z′,其中平面 Cx′y′水平,軸Cz′鉛垂向上.取定軸系Oxyz,其中平面Oxy在過(guò)球心的水平面上,Oz鉛垂向上.點(diǎn)C的坐標(biāo)為r,θ,如圖2所示.點(diǎn)C的速度為

圖2

動(dòng)軸系的角速度為

方程(1)給出

其中,F,F′,FN為平面對(duì)球體的反力,為合力的分量.

表示球滾動(dòng)的非完整約束方程為

由方程(11)消去力F,F′,得到

利用約束消去˙ω1,˙ω2,得到

其次,用對(duì)固定系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)定理.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為

因

代入方程(12)前兩個(gè),得到

它們與方程(11)前兩個(gè)一致.

最后,用非完整系統(tǒng)的方程,若用Chaplygin方程,需引用 Euler角,列寫(xiě)方程是很復(fù)雜的.若用Boltzmann--Hamel方程也很復(fù)雜[3].

文獻(xiàn)[1,3-4]用動(dòng)軸理論解了一些滾動(dòng)問(wèn)題,如一個(gè)球在固定球面上的滾動(dòng),一個(gè)球在動(dòng)球上的滾動(dòng),一個(gè)球在鉛垂正圓柱內(nèi)壁上的滾動(dòng),平面上的滾盤(pán)等.對(duì)這些問(wèn)題,若用非完整動(dòng)力學(xué)的方程反而顯得笨重.20世紀(jì)80年代一次會(huì)上，呂茂烈先生曾說(shuō)過(guò)，用理論力學(xué)方法研究非完整力學(xué)有時(shí)是方便的.他的話(huà)很有道理.

3 結(jié)論

(1)動(dòng)軸理論給出的方程(1)，盡管是用動(dòng)能表示的，而實(shí)際上是由對(duì)動(dòng)軸系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理給出的方程.

(2)動(dòng)軸理論給出的方程(1)都包含約束力，因此這個(gè)理論應(yīng)屬于理論力學(xué)范疇.

(3)動(dòng)軸理論可用于建立質(zhì)點(diǎn)和剛體，質(zhì)點(diǎn)系和剛體系的動(dòng)力學(xué)方程.

(4)動(dòng)軸理論在解一些非完整動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如滾動(dòng)問(wèn)題，冰刀問(wèn)題等，如果動(dòng)軸系選得適當(dāng)，會(huì)顯示優(yōu)越性.

1 Whittaker ET.A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.4th Ed.Cambridge:Cambridge Univ Press,1937

2 梅鳳翔.關(guān)于動(dòng)量守恒律和動(dòng)量矩守恒律.力學(xué)與實(shí)踐,2003,25(1):56-58

3 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ).北京:北京工業(yè)學(xué)院出版社,1985

4 Routh EJ.The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies.6th Ed.New York:Dover,1905

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梅鳳翔.動(dòng)軸理論及其應(yīng)用--理論力學(xué)札記之十.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):479-483

Mei Fengxiang.Moving axes theory and its application.Mechanics in Engineering,2017,39(5):479-483

(責(zé)任編輯:胡 漫)